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破解策略1.全等型之“90°”如图，/AOB=/DCE=90°,0C专题16对角互补模型平分/AOB贝U(1)CD=CEO叶OE=一OC12(3)SOCDSOCEOC.2证明方法一：如图，过点C分别作CMLOACNLOB分线的性质可得CMkCN/MCN=90°.所以/MCH/NCE从而△MC^ANCE(ASA,故CD=CE易证四边形MON为正方形.所以ODFOE=ODFON^NE=2ON=,22MN.垂足分别为由角平OC.所以SOCDSOCES正方形MONCON—OC.2方法二：如图，过C作CF丄OC交OB于点F.易证/DOC=ZEFC=45°,CO=CF,/DCO=/ECF所以△DC9AECF(ASA所以CD=CEOD=FE可得ODFOE=O&2OC.SSS所以OCDOCEOCF【拓展】如图，当/DCE的一边与AO的延长线交于点D时，则:1A(1)CD=CE(2)OE-OD=2OC(3)SOCESOCD-OC2.如图，证明2上.同■Az/MC7O/NDf2.全等型之“120”如图，/AOB=2/DCE=120°OC平分/AOB则:B(1)CD=CE(2)ODbOE=OC(3)SOCDSOCE证明方法-二如图，过点c分别作CMLOACNLOB垂足分别为MN.2S所以SOCDSOCEONC易证△NCE(ASA,所以CD=CEODFOE=2ON=OC.2CC・DON■BO方法二：如图，以CO为一边作/易FCQ=60°，交O盯点尸，则厶OCF为等边三角形.证△DC@^ECF(ASA.所以CD=CEO內OE=OF=OC&32..SAOCD^OC^=&OCF=4【拓展】如图，当/DCE的一边与B0的延长线交于点E时，则:J32(1)CD=CE(2)OD-OE=OC(3)SAOC—SAOCE=--OC4如图，证明同上.AMEO3、全等型之“任意角”如图，/AOB=2，/DCE=180°—2,OC平分/AOB则：(1)CD=CE(-2)ODFOE=2OC-cos;(3)S^+S=C分别作CMLOACNL0B垂足分别为AMNE易证△MCD△NCE(ASA•.CD=CEODFOE=2ON=2OCcos••SOD*SAOE=2SAONC=方法二：如图，以CC为一边作/FCO=180°—2，交OB于点F.2sincos3易证△DC@AECF(ASACD=CEODFOE=OF=2OCcos/.S^2AODCOEG=&OGF=OCcos【拓展】如图，当/-sin(1)CD=CE(2)如图，证明同上DCE勺一边与BO的延长线交于点E时，则:2OD-OE=2OC-cos;(3)S^OD—ScosAOE=OC-sin4、相似性之“90°”如图，/AOB=ZDC=90°,/CO=，贝VCE=CD-tan方法CMLOACNLOB垂足分别为MNNEGECN易证△MC0△NCE.匸上tan，即CE=CDtanMDCDGM方法二：如图，过点C作CFLOC交OB于点F.4易证△CECFDCgECF•••—tan，即CE=CD-tanODCDCO方法三：如图，连接DE易证DOE、C四点共圆:丄CDE=ZCOE=，故CE=CD-tan【拓展】如图，当/DCE的一边与A0的延长线交于点D时，贝UCE=CD-tan如图，证明同上.例题讲解例1、已知△ABC是OO的内接三角形，AB=AC在/BAC所对弧”BC上任取一点D,连接ADBDCD.(1)如图1,若/BA=120°,那么B叶CD与AD之间的数量关系是什么？(2)如图2,若/BA=，那么BMCD与AD之间的数量关系是什么？.!CC解：(1)B內CD=.3ADBC如图3,过点A分别向/BDC勺两边作垂线，垂足分别为E、F.由题意可得/ADB=ZADC=30°5易证△AEB2AAFC•••BD+CD=2DE=3AD⑵BD+CD=2ADsin_.2如图4,作/EAD-ZBAC交DB的延长线于点E则厶EBA^ADCA所以作AF丄DE于点F,则ZFAD-_.所以BD^CD-DE=2DF=2ADsin_.22例2如图1，将一个直角三角板的直角顶点P放在正方形ABCD勺对角线BD上滑动，并使其一条直角边始终经过点A,另一条直角边与BC相交于点F.⑴求证：PA=PEAD-10,CD-8,求APPE的值；⑶如图3,在⑵的条件下，当P滑动到BD的延长线上时，APPE的值是否发生变化？⑵如图2，将⑴中的正方形变为矩形，其余不变，且ADBEC图1解：⑴如图4,过点P分别作PMLABPN丄BC垂足分别为MN.则PM=PNZMPN-90°,由已知条件可得ZAPE=90°,所以ZAPWZEPN所以△APM2△EPN故AP=PE图4⑵如图5,过点P分别作PMLABPNLBC垂足分别为MN.贝UPM/ADPN/CD.所以△BPMbABDA△BNP^AB8.可得-易证△APMb^EPN所以担电PEPN45聖史，所以列PNADBDCDADCD46图5⑶AP：PF的值不变.［如图，理由同⑵］进阶训练1如图，四边形ABCD被对角线BD分为等腰Rt△ABD和Rt△CBD其中/BAD和/BCD都是直角，另一条对角线AC的长度为2，则四边形ABC啲面积为________________.答案：四边形ABC啲面积为2.【提示】易证A、BCD四点共圆，则/BCA=ZBDA=ZABD=ZACD由“全等型之‘90°'的结论可得S四边形ABCD=1AC=2.22.在△ABC中,AB=AC/A=60°,D是BC边的中点，/EDF=120°,DE与AB边相交于点E,DF与AC边（或AC边的延长线）相交于点F.第1题图1⑴如图1,DF与AC边相交于点F,求证：BE+CF=1AB2⑵如图2，将图1中的/EDF绕点D顺时针旋转一定的角度，使DF与AC边的延长线交于点F,作DNLAC于点N若DN=FN求证：BE+CF=3(BE-CF.答案：略.7【提示】⑴过点D作DG/AC交AB于点6证厶DEG2ADFC从而BE+CF=BE+EG=BG=AB.212DN2,延长AB至点H,使3得BH=CF,则DH=DF=DE从而BE+CF=HE=2DE=2x2DN=2DN所以BE+CF=3(BE—CF).3.在菱形ABCD^,两条对角线ACBD相交于点Q/MOMZBCD=180°,/MOF绕点0旋转，射线OM交BC于点E,射线ON交CD于点F,连结EF.⑴如图1,当ZABC=90°时，△OEF的形状是______;⑵如图2,当ZABC=60°时，请判断厶OEF的形状，并说明理由；⑶如图3,在⑴的条件下，将ZMO的顶点移动到AO的中点O处，ZMON绕点O旋转，仍满足Z9MONMZBCD=180°,射线OM交直线BC于点E,射线ON交直线CD于点F,当BC=4,且时，求CE的长.2边形ABCD8第3题图1第3题图2答案：⑴等腰直角三角形；⑵厶OEF是等边三角形；⑶线段CE的长为33+3或33—3.【提示】⑵由“全等型之’120°'”的结论可得OE=OF⑶两种情况，如图:89