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专题3.3导数与函数的极值、最值讲考纲i•了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;2•会用导数求函数的极大值、极小值；3•会求闭区间上函数的最大值、最小值。讲基础知识点1•函数的单调性与导数的关系函数y=f(x)在某个区间内可导，则：(1)若f'x)0,则f(x)在这个区间内单调递增；⑵若f'x)0,贝Uf(x)在这个区间内单调递减；⑶若f'x)=0，则f(x)在这个区间内是常数函数知识点2•函数的极值与导数f'x0)=0条件xo附近的左侧f'x)0，右侧f'x)0xo附近的左侧f'x)0,右侧f'x(0图象形如山峰极值极值点形如山谷f(xo)为极小值xo为极小值点f(X0)为极大值X0为极大值点知识点3•函数的最值与导数(1)函数f(x)在［a,b］上有最值的条件如果在区间［a,b］上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值⑵求y=f(x)在［a,b］上的最大(小)值的步骤①求函数y=f(x)在(a,b)内的极值；②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.【特别提醒】1.函数f(x)在区间(a,b)上递增，则f'x(p“'x)0在(a,b)上成立是f(x)在(a,b)上单调递增的充分不必要条件.2.对于可导函数f(x),“'x0)=0是函数f(x)在x=xo处有极值的必要不充分条件.3.求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，不可想当然认为极值就是最值.4.函数最值是整体”概念，而函数极值是局部”概念，极大值与极小值之间没有必然的大小关系讲考点考点一利用导数解决函数的极值1【典例1】(2019哈尔滨三中模拟)已知函数f(x)=Inx-ax(a€R),当a=寸时，求f(x)的极值;11112一x【解析】当a=2■时，f(x)=Inx-十，函数的定义域为(0,+^且f'x)=［-孑二-一^,令f'x)=0,得x=2,于是当x变化时，f'x),f(x)的变化情况如下表.xf'x)(0,2)20(2,++—f(x)In2-1故f(x)在定义域上的极大值为f(x)极大值=f(2)=In2-1,无极小值。【方法技巧】运用导数求可导函数y=f(x)的极值的一般步骤：(1)先求函数y=f(x)的定义域，再求其导数f'x);(2)求方程f'x)=0的根；⑶检查导数f'x)在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；值点.【变式1】(2019河北衡水深州中学测试)讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数.如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值.特别注意：导数为零的点不一定是极【解析】由(1)知，函数的定义域为(0,+),，丫11—axf'x)=厂a=x(x0).当aW0寸,f'x)0在(0,+g上恒成立,即函数在(0,+^)上单调递增，此时函数在定义域上无极值点；1当a0时，当x€0,一时，fx(0,a1m当x€,+时，Fx)0,a1故函数在x=-处有极大值.a综上可知，当a0时，函数f(x)无极值点，1当a0时，函数y=f(x)有一个极大值点，且为x=-.a考点二已知函数的极(最)值求参数的取值范围【典例2】(2018北京卷)设函数f(x)=[ax2—(4a+1)x+4a+3]ex.①若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与x轴平行，求a;②若f(x)在x=2处取得极小值，求a的取值范围.【解析】①因为f(x)=[ax2—(4a+1)x+4a+3]ex,所以f'x)=[ax2—(2a+1)x+2]ex.f(1=)(1—a)e.由题设知f(1)==0,即(1—a)e=0，解得a=1.此时f(1)=3e^0.所以a的值为1.②f'x)=[ax2—(2a+1)x+2]ex=(ax—1)(x—2)ex.11若a-，则当x€一,2时，f'x)0;2a当x€(2,+g时，f'x)0.所以f(x)在x=2处取得极小值若a号，则当x€(0,2)时，x—20,ax—1|x—10,所以f'x)0.所以2不是f(x)的极小值点.1综上可知，a的取值范围是1，+g.【方法技巧】已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意:(1)根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解;待定系数法求解后必须检验•(2)因为导数值等于0不是此点为极值点的充要条件，所以用【变式2】(2017全国n卷)若x=—2是函数f(x)=(x2+ax—1)•一1的极值点,f(x)的极小值为()A.—1B.—2e—3C.5e—3D.1【解析】f'x)=[x2+(a+2)x+a—1]ex—1,则f'—2)=[4—2(a+2)+a—1]e—3=0?a=—1,贝Uf(x)=(x2—x—1)ex—1,f'x)=(x2+x—2)ex—1,令f'x)=0,得x=—2或x=1,当x—2或x1时，f'x)0,当一2x1时，f'x)0,所以x=1是函数f(x)的极小值点，则f(x)极小值为f(1)=—1.【答案】A考点三利用导数研究函数的最值【典例3】(2018全国卷I)已知函数f(x)=2sinx+sin2x,则f(x)的最小值是【解析】f'x)=2cosx+2cos2x=2cosx+2(2cos2x—1)=2(2cos2x+cosx—1)=2(2cosx—1)(cosx+1).■/cosx+10,1•••当cosxv2时，f'x)v0,f(x)单调递减；1当cosx2时，f'x)0,f(x)单调递增.1•••当cosx=2，f(x)有最小值.又f(x)=2sinx+sin2x=2sinx(1+cosx),•••当sinf(x)有最小值,即f(x)min=2X2【答案】—【方法技巧】求函数f(x)在闭区间［a,b］内的最值的思路(1)若所给的闭区间［a,b］不含有参数，则只需对函数f(x)求导，并求f'x)=0在区间［a,b］内的根，再计算使导数等于零的根的函数值，把该函数值与小值.f(a),f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最(2)若所给的闭区间［a,b］含有参数，则需对函数f(x)求导，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f(x)的最值.【变式3】(2019广东五校联考)已知函数f(x)=ax+Inx,其中a为常数.(1)当a=-1时，求f(x)的最大值；⑵若f(x)在区间(0,e］上的最大值为一3,求a的值.【解析】⑴易知f(x)的定义域为(0,+m),11一x当a=—1时，f(x)=—x+Inx,f'x)=—1+-=--x—令f'x)=0,得x=1.当0x1时，f，x(0;当x1时，f'x)0.•••f(x)在(0,1)上是增函数，在(1,+^上是减函数.--f(x)max=f(1)=—1.•••当a=—1时，函数f(x)在(0,+g上的最大值为一1.111(2)f，x)=a+,e],mx,x€(0x€e,+.1①若a亠，贝Uf'x)0从而f(x)在(0,e]上是增函数，e--f(x)max=f(e)=ae+1Q不合题意.②若a—丄，令f'x(0得a+丄0,结合x€(0,e］,解得0x—~；11令f'x)0得a+x0,结合x€(0,e］，解得—axe.—a从而f(x)在0，—上为增函数，在1a—，e上为减函数，1a-f(X)—1•max=fa=—1+In11令—1+In—=—3,得In—=—2,aa即a=—e2.1T—e2—一，•a=—e2为所求.e故实数a的值为一e2.考点四利用导数求解最优化问题exa【典例4】（2017全国I卷）如图，圆形纸片的圆心为O,半径为5cm,中心该纸片上的等边三角形ABC的为O.D,E,F为圆O上的点，△DBC,△ECA,△FAB分别是以BC,沿虚线剪开CA,AB为底边的等腰三角形.使后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，锥.当厶ABC的边长得D,E,F重合，得到三棱变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为__________________________【解析】由题意，连接OD，交BC与点G,由题意，OD丄BC,设OG=x,贝UBC=23x,DG=5—x,三棱锥的高h=DG2—OG2=25—10x+x2—x2=25—10x,S^ABC=2（2%3x）2sin60=3\3x2,则三棱锥的体积V=ABCh=3x2-25—10x=3-25x4—10x5,5令f(x)=25X4—10x5,x€0,2,则f'x)=100x3—50X4,令f'x)=0得x=2，当x€(0,2)时，f'x)0,f(x)单调递增；5当x€2,2时，f'x)0,f(x)单调递减,故当x=2时，f(x)取得最大值80,则VW3X80=415.•••体积最大值为415cm3.【答案】415【方法技巧】1•利用导数解决生活中优化问题的一般步骤：(1)设自变量、因变量，建立函数关系式⑵求函数的导数f'刈，解方程f'x)=0；(3)比较函数在区间端点和f'x)=0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；(4)回归实际问题作答.2•如果目标函数在定义域内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点就是最值点y=f(x)，并确定其定义域；【变式4】(2019•山东荷泽一中质量检测)传说中孙悟空的这定海神针在变形时永远保持为圆柱体，其底面半径原为20cm等速率增长•已知神针的底面半径只能从如意金箍棒”是由定海神针”变形得来的•12cm且以每秒1cm等速率缩短，而长度以每秒12cm缩到4cm,且知在这段变形过程中，当底面半径为10cm时其体积最大•假设孙悟空将神针体积最小时定形成金箍棒，则此时金箍棒的底面半径为________cm.【解析】设神针原来的长度为acm,t秒时神针的体积为V(t)cm3,则V(t)=n(2—t)2(a+20t),其中0WW8所以V'tx=[—2(12—t)(a+20t)+(12—t)2•20]。T因为当底面半径为10cm时其体积最大，所以10=12—t,解得t=2，此时V'(=0，解得a=60,所以V(t)=n(1—t)2(60+20t),其中0WW8V't(=60n(12—t)(2—t),当t€(0,2)时，V't)0,当t€(2,8)时，V't)0，从而V(t)在(0,2)上单调递增，在(2,8)上单调递减，V(0)=8640nV(8)=3520n所以当t=8时，V(t)有最小值3520n此时金箍棒的底面半径为4cm。【答案】4