《完全平方公式》典型例题精编版

……………………………………………………………最新资料推荐…………………………………………………《完全平方公式》典型例题例1利用完全平方公式计算：1（1）(23x)2；（2）(2ab4a)2；（3）(am2b)2．2例2计算：（1）(3a1)2；（2）(2x3y)2；（3）(3xy)2．例3用完全平方公式计算：（1）(3y例4运用乘法公式计算：（1）(xa)(xa)(x2a2)；（2）(abc)(abc)；（3）(x1)2(x1)2(x21)2．例5计算：22x)；（2）(ab)2；（3）(3a4b5c)2．31111（1）(x3)2x2；（2）(2ab)(2ab)；（3）(xy)2(xy)2．24221例6利用完全平方公式进行计算：（1）2012；（2）992；（3）(30)23例7已知ab3,ab12，求下列各式的值．（1）a2b2；（2）a2abb2；（3）(ab)2．例8若3(a2b2c2)(abc)2，求证：abc．1……………………………………………………………最新资料推荐…………………………………………………参考答案例1分析：这几个题都符合完全平方公式的特征，可以直接应用该公式进行计算．解：（1）(23x)222223x(3x)2412x9x2；（2）(2ab4a)2(2ab)222ab4a(4a)24a2b216a2b16a2；11（3）(am2b)2a2m22amb4b2．24说明：（1）必须注意观察式子的特征，必须符合完全平方公式，才能应用该公式；（2）在进行两数和或两数差的平方时，应注意将两数分别平方，避免出现(23x)2412x3x2的错误．例2分析：（2）题可看成[(2x)3y]2，也可看成(3y2x)2；（3）题可看成[(3xy)]2，也可以看成[(3x)y]2，变形后都符合完全平方公式．解：（1）(3a1)2(3a)223a1129a26a1（2）原式(2x)22(2x)3y(3y)24x212xy9y2或原式(3y2x)2(3y)223y2x(2x)29y212xy4x2（3）原式[(3xy)]2(3xy)2(3x)223xyy29x26xyy2或原式(3x)22(3x)yy22……………………………………………………………最新资料推荐…………………………………………………9x26xyy2说明：把题目变形为符合公式标准的形式有多种方式，做题时要灵活运用．2例3分析：第（1）小题，直接运用完全平方公式x为公式中a，3y为公3式中b，利用差的平方计算；第（2）小题应把(ab)2化为(ab)2再利用和的平方计算；第（3）小题，可把任意两项看作公式中a，如把(3a4b)作为公式中的a，5c作为公式中的b，再两次运用完全平方公式计算．解：（1）(3y2224x)=(x3y)2x24xy9y2339（2）(ab)2=(ab)2a22abb2（3）(3a4b5c)2(3a4b)210c(3a4b)25c2=9a230ac40bc25c216b224ab说明：运用完全平方公式计算要防止出现以下错误：(ab)2a2b2，(ab)2a2b2．例4分析：第（1）小题先用平方差公式计算前两个因式的积，再利用完全平方式计算．第（2）小题，根据题目特点，两式中都有完全相同的项ac，和互为相反数的项b，所以先利用平方差公式计算[(ac)b]与[(ac)b]的积，再利用完全平方公式计算(ac)2；第三小题先需要利用幂的性质把原式化为[(x10(x1)(x21)]2，再利用乘法公式计算．解：（1）原式=(x2a2)(x2a2)(x2a2)2x42a2x2a4（2）原式=[(ac)b][(ac)b](ac)2b2=a22acc2b2（3）原式=[(x1)(x1)(x21)]2[(x21)(x21)]2=(x41)2x82x41．说明：计算本题时先观察题目特点，灵活运用所学过的乘法公式和幂的性质，3……………………………………………………………最新资料推荐…………………………………………………以达到简化运算的目的．例5分析：（1）和（3）首先我们都可以用完全平方公式展开，然后合并同类项；第（2）题可以先根据平方差公式进行计算，然后如果还可以应用公式，我们继续应用公式．1111解：（1）(x3)2x2x23x9x293x；24441111（2）(2ab)(2ab)[(2ab)][(2ab)]222211(2ab)24a24abb2；44（3）(xy)2(xy)2x22xyy2(x22xyy2)x22xyy2x22xyy24xy．说明：当相乘的多项式是两个三项式时，在观察时应把其中的两项看成一个整体来研究．例6分析：在利用完全平方公式求一个数的平方时，一定要把原有数拆成两个数的和或差．解：（1）2012(2001)220022200140401；（2）992(1001)21002210019801．1111（3）(30)2＝(30)2302230()233331190020920.92说明：在利用完全平方公式，进行数的平方的简算时，应注意拆成的两个数必须是便于计算的两个数，这才能达到简算的目的．例7分析：（1）由完全平方公式(ab)2a22abb2，可知a2b2(ab)22ab，可求得a2b233；（2）a2abb2a2b2ab33(12)45；（3）(ab)2a22abb2332(12)57．解：（1）a2b2(ab)22ab322(12)92433（2）a2abb2(a2b2)ab33(12)3312454……………………………………………………………最新资料推荐…………………………………………………（3）(ab)2a22abb2(a2b2)2ab332(12)332457说明：该题是(ab)2a22abb2是灵活运用，变形为a2b2(ab)22ab，再进行代换．例8分析：由已知条件展开，若能得出(ab)2(bc)2(ca)20,就可得到ab0,bc0,ca0,进而ab,bccaabc,同时此题还用到公式(abc)2a2b2c22ab2ac2bc．证明：由3(a2b2c2)(abc)2,得3a23b23c2a2b2c22ab2bc2ac2a22b22c22ab2ac2bc0.则(a22abb2)(b22bcc2)(c22aca2)0(ab)2(bc)2(ca)20.∵(ab)20,(bc)20,(ca)20.∴ab0,bc0,ca0.即ab,bc,ca,得abc．5