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第一章整式的乘除1.6完全平方公式（第一课时）一、教材分析：（一）教材的地位与作用本节内容主要研究的是完全平方公式的推导和公式在整式乘法中的应用。它是在学生学习了代数式的概念、整式的加减法、幂的运算和整式的乘法后进行学习的，其地位和作用主要体现在以下几方面：（1）整式是初中代数研究范围内的一块重要内容，整式的运算又是整式中一大主干，乘法公式则是在学习了单项式乘法、多项式乘法之后来进行学习的；一方面是对多项式乘法中出现的较为特殊的算式的一种归纳、总结；另一方面，乘法公式的推导是初中代数中运用推理方法进行代数式恒等变形的开端，通过乘法公式的学习对简化某些整式的运算、培养学生的求简意识有较大好处。（2）乘法公式是后续学习的必备基础，不仅对学生提高运算速度、准确率有较大作用，更是以后学习因式分解、分式运算的重要基础，同时也具有培养学生逐渐养成严密的逻辑推理能力的功能。（3）公式的发现与验证给学生体验规律发现的基本方法和基本过程提供了很好模式。（二）教学目标的确定在素质背景下的数学教学应以学生的发展为本，学生的能力培养为重，尤其是创新、创造能力，以及培养学生良好的个性品质等。根据以上指导思想，同时参照义务教育阶段《数学课程标准》的要求，确定本节课的教学目标如下：1、知识目标：理解公式的推导过程，了解公式的几何背景，会应用公式进行简单的计算。2、能力目标：渗透建模、化归、换元、数形结合等思想方法，培养学生的发现能力、求简意识、应用意识、解决问题的能力和创新能力。3、情感目标：培养学生敢于挑战，勇于探索的精神和善于观察，大胆创新的思维品质。（三）教学重点与难点完全平方公式和平方差公式一样是主要的乘法公式，其本质是多项式乘法，是学生今后用于计算的一种重要依据，因此，本节教学的重点与难点如下：本节的重点是体会公式的发现和推导过程，理解公式的本质，并会运用公式进行简单的计算。本节的难点是从广泛意义上理解公式中的字母含义，判明要计算的代数式是哪两数的和（差）的平方。二、教学方法与手段（一）教学方法：1针对初一学生的形象思维大于抽象思维，注意力不能持久等年龄特点，及本节课实际，采用自主探索，启发引导，合作交流展开教学，引导学生主动地进行观察、猜测、验证和交流。同时考虑到学生的认知方式、思维水平和学习能力的差异进行分层次教学，让不同层次的学生都能主动参与并都能得到充分的发展。边启发，边探索边归纳，突出以学生为主体的探索性学习活动和因材施教原则，教师努力为学生的探索性学习创造知识环境和氛围，遵循知识产生过程，从特殊→一般→特殊，将所学的知识用于实践中。采用小组讨论，大组竞赛等多种形式激发学习兴趣。（二）教学手段：利用投影仪辅助教学，突破教学难点，公式的推导变成生动、形象、直观，提高教学效率。（三）学法指导：在学法上，教师应引导学生积极思维，鼓励学生进行合作学习，让每个学生都动口、动手、动脑，自己归纳出运算法则，培养学生学习的主动性和积极性。三、教材处理根据本节内容特点，本着循序渐进的原则，我将以“边长为(a+b)的正方形面积是多少？”这个实际问题引入新课，关于两数和的平方公式通过实例、推导、验证几个步骤完成。关于两数差的平方公式，我将为学生提供三种不同的思路，由学生自己选择学习、理解，然后再归纳的方法进行，再通过分层次练习，加以巩固。四、教学程序教学过程一、回顾与思考多项式的乘法：(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd练习：1、(x+2)(y+3)=2、(x-2)(y-3)=二、新课讲解1、做一做：一块边长为a米的正方形试验田，因需要将其边长b增加b米，形成新的试验田，以种植不同的新品种（如图），你能用不同的形式表示试验田的总面a积，并进行比较吗？ba图1-52设计意图通过较为简单的几何图形面积计算和较熟悉的整式乖法计算。引入本节学习内容(a+b)·(a+b)（根据初一学生年龄特点，采用图形变化来激发学生学习兴趣）问题是知识、能力的生长点，通过富有实际意义的问题能激活学生原有认知，促使学生主动地进行探索和思考。对公式法一：（直接求）总面积=(a+b)2法二：（间接求）总面积=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2探索：你发现了什么？(a+b)2=a2+2ab+b2（1）你能用多项式的乘法法则来说明它成立吗？(a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2（2）有两个同学对两数差的平方有不同的看法：甲：(a-b)2=a2-b2乙：(a-b)2=a2+2a(-b)+(-b)2它们是怎么想的？想法对吗？你会如何解决这个问题？想法①利用多项式乘法(a-b)2=(a-b)(a-b)=a2-2ab+b2发现甲同学的想法是错误的。想法②利用换元思想(a-b)2=[a+(-b)]2=a2+2a(-b)+(-b)2=a2-2ab+b2乙同学的想法是正确的。想法③利用图形b(a-b)2a-bbba-b图1-5(a-b)2=a2-ab-b(a-b)即(a-b)2=a2-2ab+b22、初始完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2结构特征：左边：两数和（差）的平方右边：两数的平方和，加上（减去）这两数乘积的两倍。3(a+b)2=a2+2ab+b2的形式进行初步认识，接触利用多项式乘法推导公式，使学生了解公式的来源以及理解乘法公式的本质。(1)说明：两数差的平方公式的教学，我为学生提供三种不同的思路。培养学生学习的主动性，开阔学生的思路。(2)同时对渗透数形结合思想、换元思想，也是分散、分步突破本节的难点的第一个层次；(3)体会辩证统一的唯物主义观点；(4)正确引导学生学习时知识的正迁移。(a±b)2=a2±2ab+b2使学生学会对公式的正确表述，有利于学生正确用于计算之中，此时也可以让学222(首±尾)=首±2首尾+尾生对两个公式特点进行讨论归纳，适当总结一定的口诀：“头例：利用完全平方公式计算平方，尾平方，两倍的乘积中间放。”(1)（x+2y)2(2)(2a-5)2(3)(-2s+t)2分析：公式中的字母含义的理解。（学生回答）加深学生对公式中的(1)(x+2y)2是哪两个数的和的平方？字母含义的理解，明确字母意义的广泛性222(x+2y)=()+2()()+()(2)(2a-5)2是哪两个数的差的平方？(2a-5)2=()2-2()()+()22(3)(-2s+t)是哪两个数的和的平方？(-2s+t)2=()2+2()()+()22变式(-2s+t)可以看成是哪两个数的差的平方？2222(-2s+t)=(t-2s)=()-2()()+()4语言表述：两数和（或差）的平方，等于这两数的平方和，加上（或减去）这两数积的2倍。注意：1、完全平方公式和平方差公式的区别2、(a+b)2≠a2+b2(a-b)2≠a2-b2口诀：首平方，尾平方，两倍的乘积中间放。三、巩固与提高1、随堂练习（一）利用完全平方公式计算：(1)(2+3x)2(2)(mn-a)21(3)(-2x+2y)2(4)(n+1)2-n22、同学互动出题3、随堂练习（二）（1）填空①(2x+y)2=4x2+()+y2②(x-)2=x2-()+25y2③(-b)2=9a2-()+()2练习题这几个式子由简单逐渐过渡到较难，讲练结合，目的巩固知识点并得到进一步的提升。（1）同学互动出题，学生自己出题，自己讲解题的想法和步骤，培养语言表达能力。(2)体会公式实际运用作用，增加学习兴趣(1)针对初一学生注意力不能持久的特22④X+x+()=(x+)点，遵循及时巩固原则。(2)形成知识网络，有利于学生进一四、小结步学习公式的运用。本节课你学到了什么？随堂练习（二）进一1、注意完全平方公式与平方差公式不同：步辨析完全平方公完全平方公式的结果是三项式，式。即(a±b)2=a2±2ab+b2平方差公式的结果是两项，即（a+b)(a-b)=a2-b22、在解题过程中要准确确定a和b，对照公式原形的两边，做到不丢项，不弄错符号，2ab不少乘23、有时需要进行变形，使变形后的式子符合应用完全平方公式的条件，即为“两数和（差）的平方”然后应用公式计算。5教学过程五、作业1、书26习题1.1知识技能12、思考：（1001）2可以用完全平方公式进行计算吗？3、思考：完全平方公式的变形应用：（1）已知：x+y=3;xy=2求：x2+y2;(x-y)2的值（2）已知：a-b=1;a2+b2=25求ab的值（3）已知:(x+y)2=9;(x-y)2=5求xy;x2+y2的值设计意图作业1主要以培养学习良好的学习习惯为目的。结合学生实际情况，贯彻面向全体学生，因材施教原则。作业2、3为思考题，部分学有余力的学生可选做。在减轻学生的课业负担同时，注重人本思想，以学生的能力发展为重。也能满足不同层次学生的不同要求。同时为下一节课进行铺垫。6附：评测练习：（一）、例：利用完全平方公式计算(1)（x+2y)2(2)(2a-5)2(3)(-2s+t)2（二）巩固与提高1、随堂练习（一）利用完全平方公式计算：（1）(2+3x)2（2）(mn-a)2（3）(-12x+2y)2（4）(n+1)2-n22、同学互动出题3、随堂练习（二）（1）填空①(2x+y)2=4x2+()+y2②(x-)2=x2-()+25y2③(-b)2=9a2-()+()2④X2+x+()=(x+)27