八个有趣的模型的外接球与内接球

a2b2c2SDHE空间几何体的外接球与内切球类型一、墙角模型（三条线两个垂直，不找球心的位置即可求出球半径）图1图2图3方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式(2R)2求出R图4a2b2c2，即2R，例1（1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是（）A．16B．20C．24D．32解：Va2h16，a2，4R2a2a2h2441624，S24，选C；ACB(3)题-1引理：正三棱锥的对棱互垂直。（4）在四面体SABC中，SA平面ABC，BAC120,SAAC2,AB1,则该四面体的外接球的表面积为（D）A.11B.7C.10D.4033（5）如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为6、4、3，那么它的外接球的表面积是（6）已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几何体外接球的体积为PcAabCBPcCbAaBPcCbAaBPO2cBbCaAPA2(2r)2r2OO2类型二、垂面模型（一条直线垂直于一个平面）1．题设：如图5，PA平面ABC图5解题步骤：第一步：将ABC画在小圆面上，A为小圆直径的一个端点，作小圆的直径AD，连接PD，则PD必过球心O；第二步：O1为ABC的外心，所以OO1平面ABC，算出小圆O的半1径ODr（三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得1abc2r），OO1PA；sinAsinBsinC12第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①(2R)2PA2(2r)22R；②R2r2OO21R12．题设：如图6，7，8，P的射影是ABC的外心三棱锥PABC的三条侧棱相等三棱锥PABC的底面ABC在圆锥的底上，顶点P点也是圆锥的顶点图6图7-1图7-2图8图8-1图8-2图8-3PAO2DBOPABO2OCPABO2CDOPOCAO1BDPOCAO1DBPOCAO1BPOCAO1BPOCAO1BR2OO2解题步骤：第一步：确定球心O的位置，取ABC的外心O1，则P,O,O1三点共线；第二步：先算出小圆O1的半径AO1r，再算出棱锥的高PO1h（也是圆锥的高）；第三步：勾股定理：OA2OA21OO21R2(hR)2r2，解出R方法二：小圆直径参与构造大圆。例2一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体外接球的表面积为()CA．3B．2C．163类型三、切瓜模型（两个平面互相垂直）D．以上都不对图9-1图9-2图9-3图9-41．题设：如图9-1，平面PAC平面ABC，且ABBC（即AC为小圆的直径）第一步：易知球心O必是PAC的外心，即PAC的外接圆是大圆，先求出小圆的直径AC2r；第二步：在PAC中，可根据正弦定理abc2R，求出RsinAsinBsinC2．如图9-2，平面PAC平面ABC，且ABBC（即AC为小圆的直径）OC2OC21OO21R2r2OO21AC213．如图9-3，平面PAC平面ABC，且ABBC（即AC为小圆的直径），且P的射影是ABC的外心三棱锥PABC的三条侧棱相等三棱PABC的底面ABC在圆锥的底上，顶点P点也是圆锥的顶点POAO1CBPOAO1CBPOAO1CBPACB解题步骤：第一步：确定球心O的位置，取ABC的外心O1，则P,O,O1三点共线；第二步：先算出小圆O1的半径AO1r，再算出棱锥的高PO1h（也是圆锥的高）；第三步：勾股定理：OA2OA21OO21R2(hR)2r2，解出R例3（1）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为1，底面边长为2，则该球的表面积为。（2）正四棱锥SABCD的底面边长和各侧棱长都为，各顶点都在同一个球面上，则此球的体积为（3）已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的求面上,ABC是边长为1的正三角形,SC为球O的直径,且SC2，则此棱锥的体积为（）A2322A．6B．6C．3D．2类型四、汉堡模型（直棱柱的外接球、圆柱的外接球）图10-1图10-2图10-3题设：如图10-1，图10-2，图10-3,直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）第一步：确定球心O的位置，O1是ABC的外心，则OO1平面ABC；第二步：算出小圆O的半径AOr，OO1AA1h（AAh也是圆柱的高）；1112121h第三步：勾股定理：OA2OA21OO21R2()2r2R2，解出R例4（1）一个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在9同一个球面上，且该六棱柱的体积为8，底面周长为3，则这个球的体积为C1A1O2B1OCAO1BC1A1O2B1OCAO1BC1A1OB21OCAO1B32hr()222AO1OMO2（2）直三棱柱ABCABC的各顶点都在同一球面上，若ABACAA2,1111BAC120，则此球的表面积等于。（3）已知EAB所在的平面与矩形ABCD所在的平面互相垂直，EAEB3,AD2,AEB60，则多面体EABCD的外接球的表面积为。EDBC类型五、折叠模型题设：两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠(如图11)A图11第一步：先画出如图所示的图形，将BCD画在小圆上，找出BCD和ABD的外心H1和H；2第二步：过H和H分别作平面BCD和平面ABD的垂线，两垂线的交点即为球心O，连12接OE,OC；第三步：解OEH1，算出OH1，在RtOCH1中，勾股定理：OH21CH21OC2例5三棱锥PABC中，平面PAC平面ABC，△PAC和△ABC均为边长为2的正三角形，则三棱锥PABC外接球的半径为.类型六、对棱相等模型（补形为长方体）题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（ABCD，ADBC，ACBD）第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱；A'OH2DH1ECBa2b2c2x2y2z22112第二步：设出长方体的长宽高分别为a,b,c，ADBCx，ABCDy，ACBDz，列方程组，a2b2x2x2y2z2b2c2y2(2R)2a2b2c2，2c2a2z2图12补充：VABCDabcabc4abc63第三步：根据墙角模型，2R，Rx2y2z2，R8，求出R，例如，正四面体的外接球半径可用此法。例6（1）棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中三角形(正四面体的截面)的面积是.(1)题（2）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（）A．33B．3C．3D．343412AxDyyczzxCbBax2y2z28PEODH（4）如图所示三棱锥ABCD，其中ABCD5,ACBD6,ADBC7,则该三棱锥外接球的表面积为.类型七、两直角三角形拼接在一起(斜边相同,也可看作矩形沿对角线折起所得三棱锥)模型CA图13题设：APBACB90，求三棱锥PABC外接球半径（分析：取公共的斜边的中点O，连接OP,OC，则OAOBOCOP1AB，O为三棱锥PABC外接球球心，然后在2OCP中求出半径），当看作矩形沿对角线折起所得三棱锥时与折起成的二面角大小无关，只要不是平角球半径都为定值。例7（1）在矩形ABCD中，AB4，BC3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角BACD，则四面体ABCD的外接球的体积为（）A．125B．125C．125D．12512963类型八、锥体的内切球问题1．题设：如图14，三棱锥PABC上正三棱锥，求其外接球的半径。第一步：先现出内切球的截面图，E,H分别是两个三角形的外心；ACB图14第二步：求DH1BD，POPHr，PD是侧面ABP的高；3第三步：由POE相似于PDH，建立等式：OEPO，解出rDHPD2．题设：如图15，四棱锥PABC上正四棱锥，求其外接球的半径PBO3PGOAEDHFBC图15第一步：先现出内切球的截面图，P,O,H三点共线；第二步：求FH1BC，POPHr，PF是侧面PCD的高；2第三步：由POG相似于PFH，建立等式：OGPO，解出HFPF3．题设：三棱锥PABC是任意三棱锥，求其的内切球半径方法：等体积法，即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等第一步：先画出四个表面的面积和整个锥体体积；第二步：设内切球的半径为r，建立等式：VPABCVOABCVOPABVOPACVOPBCVPABC1S3ABCr1S3PABr1S3PACr1S3PBCr1(S3ABCSPABSPACSPBC)r第三步：解出rS3VPABCSSSOABCOPABOPACOPBC课后练习典例1已知正三棱锥P﹣ABC，点P，A，B，C都在半径为的球面上，若PA，PB，PC两两互相垂直，则球心到截面ABC的距离为（）A．33B．23C．34D．24典例2在三棱锥OABC中，OA，OB，OC两两垂直，且OA3，OBOC2.若以O为球心，rr0为半径做一个球，当球面与ABC所在平面相切时，r.1.已知三棱锥A-BCD的顶点均在球O的球面上，且ABACAD3,BCD，2若H是点A在平面BCD内的正投影，且CH，则球O的体积是（）2，9A．43B．282C．34D．32.四面体PABC的四个顶点坐标为P0,0,2，A0,0,0，B0,23,0C3,3,0则该四面体外接球的体积为（）32A．3B．2053C．20D．64233.已知圆柱的上底面圆周经过正三棱锥PABC的三条侧棱的中点，下底面圆心为此三棱锥底面中心O.若三棱锥PABC的高为该圆柱外接球半径的2倍，则该三棱锥的外接球与圆柱外接球的半径之比为（）A．2:1B．7:4C．3:1D．5:34.已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为A．86B．46C．26D．65.已知三棱锥PABC中，PA平面ABC，ABC2，PA4，若三棱锥PABC3外接球的表面积为32，则直线PC与平面ABC所成角的正弦值为（）A．7B．676C．27D．2776.在正方体ABCDABCD中，E为棱AB上一点，且AB2，若二面角BBCE11111111为45，则四面体BBCE的外接球的表面积为（）A．17211B．12C．9D．107.已知四面体ABCD中，AB=CD=5，AC=BD=,AD=BC=41，O为其外接球球心，AO与AB,AC,AD所成的角分别为，，．有下列结论：①该四面体的外接球的表面积为50②该四面体的体积为10③cos2cos2cos21④BACCADDAB180o其中所有正确结论的编号为：（）A．①④B．①②C．②③D．③④34，8.已知P，A，B，C，D是球O的球面上的五个点，四边形ABCD为梯形，AD//BC，ABDCAD2，BCPA4，PA面ABCD，则球O的体积为（）642A．3B．1623C．162D．16