2021年全国高考乙卷数学(理)试题(教师版)

绝密★启用前2021年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设2zz3zz46i，则z（）A.12i【答案】C【解析】【分析】设zabi，利用共轭复数的定义以及复数的加减法可得出关于a、b的等式，解出这两个未知数的值，即可得出复数z.【详解】设zabi，则zabi，则2zz3zz4a6bi46i，所以，B.12iC.1iD.1i4a4，解得ab1，因此，z1i.6b6故选：C.2.已知集合Sss2n1,nZ，Ttt4n1,nZ，则SÇT=（）A.【答案】C【解析】【分析】分析可得TS，由此可得出结论.【详解】任取tT，则t4n122n1，其中nZ，所以，tS，故TS，B.SC.TD.Z因此，STT.故选：C.3.已知命题p:xR,sinx1﹔命题q:xR﹐e|x|1，则下列命题中为真命题的是（）A.pq【答案】A【解析】【分析】由正弦函数的有界性确定命题p的真假性，由指数函数的知识确定命题q的真假性，由此确定正确选项.【详解】由于sin0=0，所以命题p为真命题；x由于ye在R上为增函数，x0，所以e|x|e01，所以命题q为真命题；B.pqC.pqD.pq所以pq为真命题，pq、pq、pq为假命题.故选：A．4.设函数f(x)Afx111x，则下列函数中为奇函数的是（）1xB.fx11C.fx11D.fx11.【答案】B【解析】【分析】分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可.【详解】由题意可得f(x)1x21，1x1x对于A，fx1122不是奇函数；x2是奇函数；x22，定义域不关于原点对称，不是奇函数；x22，定义域不关于原点对称，不是奇函数.x2对于B，fx11对于C，fx11对于D，fx11故选：B【点睛】本题主要考查奇函数定义，考查学生对概念的理解，是一道容易题.5.在正方体ABCDA1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为（）A.π2B.π3C.π4D.π6【答案】D【解析】【分析】平移直线AD1至BC1，将直线PB与AD1所成的角转化为PB与BC1所成的角，解三角形即可.【详解】如图，连接BC1,PC1,PB，因为AD1∥BC1，所以PBC1或其补角为直线PB与AD1所成的角，因为BB1平面A1B1C1D1，所以BB1PC1，又PC1B1D1，BB1B1D1B1，所以PC1平面PBB1，所以PC1PB，设正方体棱长为2，则BC122,PC11D1B12，2sinPBC1故选：DPC11，所以PBC1.BC1266.将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（）A.60种【答案】C【解析】【分析】先确定有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，然后利用组合，排列，乘B.120种C.240种D.480种法原理求得.【详解】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有C5种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有2C524!240种不同的分配方案，故选：C.【点睛】本题考查排列组合的应用问题，属基础题，关键是首先确定人数的分配情况，然后利用先选后排思想求解.7.把函数yf(x)图像上所有点的横坐标缩短到原来的1倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个23ysinx单位长度，得到函数的图像，则f(x)（）4A.sinx7x212B.sinx2127sin2xC.12【答案】B【解析】sin2xD.12【分析】解法一：从函数yf(x)的图象出发，按照已知的变换顺序，逐次变换，得到yf2x，即得f2xsinx，再利用换元思想求得yf(x)的解析表达式；334解法二：从函数ysinx达式.【详解】解法一：函数yf(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的出发，逆向实施各步变换，利用平移伸缩变换法则得到yf(x)的解析表41倍，纵坐标不变，得到yf(2x)2的图象，再把所得曲线向右平移3个单位长度，应当得到yf2x的图象，3根据已知得到了函数ysinx4的图象，所以f2xsinx，34令t2x3,则xtt,x,234212所以ftsintx,所以fxsin；212212解法二：由已知的函数ysinx逆向变换，4第一步：向左平移3个单位长度，得到ysinx3sinx的图象，412x的图象，212第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到ysinxfxsinyfx即为的图象，所以.212故选：B.8.在区间(0,1)与(1,2)中各随机取1个数，则两数之和大于A.7的概率为（）4D.2979B.2332C.932【答案】B【解析】【分析】设从区间0,1,1,2中随机取出的数分别为x,y，则实验的所有结果构成区域为()()x,y0x1,1y2，设事件A表示两数之和大于7，则构成的区域为47Ax,y0x1,1y2,xy，分别求出,A对应的区域面积，根据几何概型的的概率公式即4可解出．【详解】如图所示：设从区间0,1,1,2中随机取出的数分别为x,y，则实验的所有结果构成区域为()()x,y0x1,1y2，其面积为S111．设事件A表示两数之和大于77，则构成的区域为Ax,y0x1,1y2,xy，即图中的阴影44SA2313323PA部分，其面积为SA1，所以．S3224432故选：B.【点睛】本题主要考查利用线性规划解决几何概型中的面积问题，解题关键是准确求出事件,A对应的区域面积，即可顺利解出．是关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点E，H，G9.魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG称为“表距”，GC和EH都称为“表目距”，GC与EH的差称为“表目距的差”则海岛的高AB（）A.表高表距表高表目距的差表高表距表距表目距的差B.表高表距表高表目距的差表高表距-表距表目距的差C.D.【答案】A【解析】【分析】利用平面相似的有关知识以及合分比性质即可解出．【详解】如图所示：由平面相似可知，DEEHFGCG,，而DEFG，所以ABAHABACDEEHCGCGEHCGEH，而CHCEEHCGEHEG，ABAHACACAHCH即ABCGEHEGEGDE表高表距+表高．DEDE＝表目距的差CGEHCGEH故选：A.【点睛】本题解题关键是通过相似建立比例式，围绕所求目标进行转化即可解出．10.设a0，若xa为函数fxaxaA.ab【答案】D【解析】【分析】先考虑函数的零点情况，注意零点左右附近函数值是否编号，结合极大值点的性质，对类讨论，画出图象，即可得到a,b所满足的关系，由此确定正确选项.32xb的极大值点，则（C.aba2）D.aba2B.ab进行分【详解】若ab，则fxaxa为单调函数，无极值点，不符合题意，故ab.fx有xa和xb两个不同零点，且在xa左右附近是不变号，在xb左右附近是变号的.依题意，为函数的极大值点，在xa左右附近都是小于零的.当a0时，由xb，fx0，画出fx的图象如下图所示：由图可知ba，a0，故aba2.当a0时，由xb时，fx0，画出fx的图象如下图所示：由图可知ba，a0，故aba2.综上所述，aba2成立.故选：D【点睛】本小题主要考查三次函数的图象与性质，利用数形结合的数学思想方法可以快速解答.x2y211.设B是椭圆C:221(ab0)的上顶点，若C上的任意一点P都满足|PB|2b，则C的离心ab率的取值范围是（）2,1A.2【答案】C【解析】1B.,122C.0,2D.0,21【分析】设Px0,y0，由B0,b，根据两点间的距离公式表示出PB，分类讨论求出PB的最大值，再构建齐次不等式，解出即可．22x0y0【详解】设Px0,y0，由B0,b，因为221，a2b2c2，所以ab2y0c2b3b422a12y0b2y022a2b2，bccb22PBx0y0b222b3因为by0b，当2b，即b2c2时，PBmax4b2，即PBmax2b，符合题意，由b2c2c可得a22c2，即0e2；2b3b4b422222222222当2b，即bc时，PB，即，化简得，cb0，显abab4b22maxccc然该不等式不成立．故选：C．【点睛】本题解题关键是如何求出PB的最大值，利用二次函数求指定区间上的最值，要根据定义域讨论函数的单调性从而确定最值．12.设a2ln1.01，bln1.02，c1.041．则（）A.abc【答案】B【解析】【分析】利用对数的运算和对数函数的单调性不难对a,b的大小作出判定，对于a与c，b与c的大小关系，将0.01换成x,分别构造函数fx2ln1x14x1,gxln12x14x1，利用导数分析其在0的右侧包括0.01的较小范围内的单调性，结合f(0)=0,g(0)=0即可得出a与c，b与c的大小关系.B.bcaC.bacD.cab【详解】a2ln1.01ln1.01ln10.01ln120.010.01222ln1.02b,所以ba;下面比较c与a,b的大小关系.214x1x22f00fx2ln1x14x1,则,fx记，1x14x1x14x由于14x1x2xx2x2x所以当0x2时，14x1x0,即14x1x,fx0,22所以fx在0,2上单调递增，所以f0.01f00,即2ln1.011.041,即ac;214x12x22,令gxln12x14x1,则g00,gx12x14x1x14x由于14x12x4x