2021年全国高考乙卷数学(文)试题(解析版)

2021年普通高等学校招生全国统一考试文科数学一、选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集U1,2,3,4,5，集合M1,2,N3,4，则ðU(MN)（）A.5【答案】A【解析】【分析】首先进行并集运算，然后进行补集运算即可.【详解】由题意可得：MUN1,2,3,4，则ðUMN5.故选：A.2.设iz43i，则z（）A.–34i【答案】C【解析】【分析】由题意结合复数的运算法则即可求得z的值.【详解】由题意可得：z故选：C.3.已知命题p:xR,sinx1﹔命题q:xR﹐e|x|1，则下列命题中为真命题的是（）A.pq【答案】A【解析】【分析】由正弦函数的有界性确定命题p的真假性，由指数函数的知识确定命题q的真假性，由此确定正确选项.【详解】由于sin0=0，所以命题p为真命题；x由于ye在R上为增函数，x0，所以e|x|e01，所以命题q为真命题；B.1,2C.3,4D.1,2,3,4B.34iC.34iD.34i43i43ii4i334i.2ii1B.pqC.pqD.pq所以pq为真命题，pq、pq、pq为假命题.故选：A．4.函数f(x)sinA3π和2xxcos的最小正周期和最大值分别是（）33B.3π和2C.6π和2D.6π和2.【答案】C【解析】【分析】利用辅助角公式化简fx，结合三角函数周期性和值域求得函数的最小正周期和最大值.2xxx2xxsincos2sin【详解】由题，f(x)sincos2，所以fx的最小正23332334周期为T=2p=6p1，最大值为2.3故选：C．xy4,5.若x,y满足约束条件xy2,则z3xy的最小值为（）y3,A.18【答案】C【解析】【分析】由题意作出可行域，变换目标函数为y3xz，数形结合即可得解.【详解】由题意，作出可行域，如图阴影部分所示，B.10C.6D.4由xy4可得点A1,3,y3转换目标函数z3xy为y3xz，上下平移直线y3xz，数形结合可得当直线过点A时,z取最小值，此时zmin3136.故选：C.6.cos2π5πcos2（）1212B.A.1233C.22D.32【答案】D【解析】【分析】由题意结合诱导公式可得cos【详解】由题意，cos2212cos25cos2sin2，再由二倍角公式即可得解.12121212cos25cos2cos2cos2sin212121212212cos63.2故选：D.7.在区间0,随机取1个数，则取到的数小于的概率为（）2311A.34B.23C.13D.16【答案】B【解析】【分析】根据几何概型的概率公式即可求出.1【详解】设“区间0,随机取1个数”，对应集合为：x0x211，区间长度为，22111，对应集合为：x0x，区间长度为，A“取到的数小于”3331lA302．所以PA1l032故选：B．【点睛】本题解题关键是明确事件“取到的数小于求出．8.下列函数中最小值为4的是（）A.yx2x421”对应的范围，再根据几何概型的概率公式即可准确3B.ysinx4sinxC.y2x22x【答案】C【解析】D.ylnx4lnx【分析】根据二次函数的性质可判断A选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出B,D不符合题意，C符合题意．【详解】对于A，yx22x4x133，当且仅当x1时取等号，所以其最小值为3，A不符合题意；对于B，因为0sinx1，ysinx所以其最小值不为4，B不符合题意；对于C，因为函数定义域为R，而2x0，y22时取等号，所以其最小值为4，C符合题意；对于D，ylnxx2x24244，当且仅当sinx2时取等号，等号取不到，sinx2x4244，当且仅当2x2，即x1x24，函数定义域为0,11,，而lnxR且lnx0，如当lnx1，lnxy5，D不符合题意．故选：C．【点睛】本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数的性质即可解出．9.设函数f(x)A.fx11【答案】B【解析】1x，则下列函数中为奇函数的是（）1xB.fx11C.fx11D.fx11【分析】分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可.【详解】由题意可得f(x)1x21，1x1x对于A，fx1122不是奇函数；x2是奇函数；x22，定义域不关于原点对称，不是奇函数；x22，定义域不关于原点对称，不是奇函数.x2对于B，fx11对于C，fx11对于D，fx11故选：B【点睛】本题主要考查奇函数定义，考查学生对概念的理解，是一道容易题.10.在正方体ABCDA1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为（）A.π2B.π3C.π4D.π6【答案】D【解析】【分析】平移直线AD1至BC1，将直线PB与AD1所成的角转化为PB与BC1所成的角，解三角形即可.【详解】如图，连接BC1,PC1,PB，因为AD1∥BC1，所以PBC1或其补角为直线PB与AD1所成的角，因为BB1平面A1B1C1D1，所以BB1PC1，又PC1B1D1，BB1B1D1B1，所以PC1平面PBB1，所以PC1PB，设正方体棱长为2，则BC122,PC11D1B12，2sinPBC1故选：DPC11，所以PBC1.BC126x211.设B是椭圆C:y21的上顶点，点P在C上，则PB的最大值为（）5A.52B.6C.5D.2【答案】A【解析】2x220【分析】设点Px0,y0，由依题意可知，B0,1，y01，再根据两点间的距离公式得到PB，然5后消元，即可利用二次函数的性质求出最大值．2x20【详解】设点Px0,y0，因为B0,1，y01，所以5125，PBxy0151yy014y2y064y0242202202202而1y01，所以当y0故选：A．15时，PB的最大值为．22【点睛】本题解题关键是熟悉椭圆的简单几何性质，由两点间的距离公式，并利用消元思想以及二次函数的性质即可解出．易错点是容易误认为短轴的相对端点是椭圆上到上定点B最远的点，或者认为是椭圆的长轴的端点到短轴的端点距离最大，这些认识是错误的，要注意将距离的平方表示为二次函数后，自变量的取值范围是一个闭区间，而不是全体实数上求最值.．12.设a0，若xa为函数fxaxaA.ab【答案】D【解析】【分析】先考虑函数的零点情况，注意零点左右附近函数值是否编号，结合极大值点的性质，对进行分B.ab2xb的极大值点，则（）C.aba2D.aba2类讨论，画出图象，即可得到a,b所满足的关系，由此确定正确选项.3【详解】若ab，则fxaxa为单调函数，无极值点，不符合题意，故ab.fx有xa和xb两个不同零点，且在xa左右附近是不变号，在xb左右附近是变号的.依题意，为函数的极大值点，在xa左右附近都是小于零的.当a0时，由xb，fx0，画出fx的图象如下图所示：由图可知ba，a0，故aba2.当a0时，由xb时，fx0，画出fx的图象如下图所示：由图可知ba，a0，故aba2.综上所述，aba2成立.故选：D【点睛】本小题主要考查三次函数的图象与性质，利用数形结合的数学思想方法可以快速解答.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．rr13.已知向量a2,5,b,4，若a//b，则_________．【答案】【解析】【分析】利用向量平行的充分必要条件得到关于的方程，解方程即可求得实数的值.【详解】由题意结合向量平行的充分必要条件可得：2450，解方程可得：故答案为：858.58.5x2y214.双曲线1的右焦点到直线x2y80的距离为________．45【答案】5【解析】【分析】先求出右焦点坐标，再利用点到直线的距离公式求解.【详解】由已知，ca2b2543，所以双曲线的右焦点为(3,0)，|3208|122255.5所以右焦点(3,0)到直线x2y80的距离为故答案为：515.记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为3，B60，a2c23ac，则b________．【答案】22【解析】【分析】由三角形面积公式可得ac4，再结合余弦定理即可得解.【详解】由题意，SABC所以ac4,ac12，所以bac2accosB122422213acsinBac3，242218，解得b22（负值舍去）.2故答案为：22.16.以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为_________（写出符合要求的一组答案即可）．【答案】③④（答案不唯一）【解析】【分析】由题意结合所给的图形确定一组三视图的组合即可.【详解】选择侧视图为③，俯视图为④，如图所示，长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC2,BB11，E,F分别为棱BCC的中点，11,B则正视图①，侧视图③，俯视图④对应的几何体为三棱锥EADF.故答案为：③④.【点睛】三视图问题解决的关键之处是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系.三、解答题．共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：旧设备新设备9.810.110.310.410.010.110.210.09.910.19.810.310.010.610.110.510.210.49.710.522旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为x和y，样本方差分别记为S1和S2．（1）求x，y，S1，S2；2S12S2（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果yx2，则认为1022新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）．2【答案】（1）x10,y10.3,S120.036,S2新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有0.04；（2）显著提高.【解析】【分析】（1）根据平均数和方差的计算方法，计算出平均数和方差.（2）根据题目所给判断依据，结合（1）的结论进行判断.【详解】（1）x9.810.31010.29.99.81010.110.29.710，1010.110.410.11010.110.310.610.510.410.5y10.3，10210.220.3200.220.120.2200.120.220.32S0.036，100.220.120.220.320.2200.320.220.120.22S0.04.1022（2）依题意，yx