金融工程计算题练习 附答案

计算题练习1、某股票预计在2个月和5个月后每股分别派发1元股息，该股票当前市价为30元，所有期限的无风险连续复利年利率均为6%，某投资者刚取得该股票6个月期的远期合约（交割价为远期价格）空头，交易单位为100。请问：（1）当前时点该股票的远期价格是多少？合约初始价值为多少？（2）3个月后，若该股票价格涨至35元，若利率期限结构没变，此时，远期价格是多少？合约对该投资者的价值是多少？解答：（1）2个月和5个月后派发的1元股息的现值：I＝e分）6%2/12＋e6%5/12＝1.9654元（11.97)e远期价格：F＝(30－6%6/12＝28.88元（1.5分）因为交割价等于远期价，所以合约价值为0。（1.5分）（2）3个月后的时点，2个月后派发的1元股息的现值：Ie分）远期价格：F(350.99)e6%3/126%2/120.99元（134.52元（1.5分）6%3/12合约价值：f100(28.8834.52)e555.64元（1.5分）2、2012年5月22日，市场中美国和欧元的利率和即期汇率数据如下表所示，若欧元远期汇率为1EUR=1.2750USD，判断是否存在套利机会？如果存在套利机会，该如何进行套利操作？１年后所获套利利润是多少？（不考虑交易成本）CurrenciesEURUSD1年期市场无风险利率（连续复利）1.25%1.00%即期汇率1.2683USD/EUR（1）1年期欧元远期汇率的理论价格为：FSe(rrf)(Tt)1.2683e(1%1.25%)11.26511.2751（3分）（2）因为实际报价高于理论价格，所以存在套利机会。投资者可以通过借入$1.2683exp(-1.25%)，在即期外汇市场换成€exp(-1.25%)，并在远期市场以€1=$1.2751将到期获得的€1换成$1.2751，归还债务本息和$1.2651（=1.2683exp(-1.25%+1%)），可获套利$0.0100。（5分）3、假设在一笔互换合约中，某一金融机构每半年支付6个月期的LIBOR，收取固定利率，互换的期限1.5年。已知6个月、12个月和18个月的LIBOR（连续复利利率）分别为10%、11%和12%。试确定此互换中固定利率的合理水平。解答：设互换本金为A，固定利率为rfix（半年付息一次）。因为互换之初浮动利率等于贴现利率，所以浮动利率债券的价值Bfloat为：BfloatA（2分）固定利率债券的价值Bfix为：BfixA[rfix/2(e10%1/2e11%1e12%3/2)1e12%3/2]（3分）合理的固定利率应使得互换价值为0，即BfixBfloat解得：rfix12.28%（3分）4、公司A和B可按以下利率借入期限为5年的1000万美元：固定利率公司A公司B12.0%13.4%浮动利率LIBOR＋0.1%LIBOR＋0.6%公司A想获得浮动利率贷款；公司B想获得固定利率贷款。请设计一个互换，一家银行作为中介，净收益为年率0.1%，并且使得该互换对A和B双方都同样有吸引力。解答：12%公司ALIBOR12.3%FIsLIBOR12.4%公司BLIBOR＋0.6%评分标准：比较优势选择正确，2分；现金流方向正确，3分；利率数据正确，3分。5、执行价格为30元的3个月期某股票欧式看涨期权和欧式看跌期权的价格分别为3元和1元。标的股票价格为31元，3个月期的无风险利率为10%（连续复利），问：是否存在套利机会？若存在套利机会，该如何进行套利操作？3个月后的套利利润是多少？（不考虑交易摩擦）5、解答：（1）cXer(Tt)330e10%3/1232.26pS31132cXer(Tt)pS，存在套利机会。（3分）（2）套利操作：卖出1份CallOption，借入期限为3个月，利率为10%的资金29美元（3113），买入PutOption和股票各1份。到期CallOption空头、PutOption多头加股票多头的组合将获得30美元。偿还债务本息和29.73美元，可获利润0.27美元。（5分）6、2012年5月20日，美元6个月期与1年期的无风险年利率（连续复利）分别为4%与6%。市场上一种10年期国债现金价格为1000美元，该证券一年期远期合约的交割价格为900美元，该债券在6个月和12个月后都将收到50美元的利息，且第二次付息日在远期合约交割日之前，求该合约多头及空头的价值各为多少？解答：（1）根据已知条件，算出该债券已知现金收益的现值为：I50e4%1/250e6%196.10（3分）因此，该远期合约多头的价值为：FSIKer(Tt)100096.10e6%156.31（3分）相应地，该合约空头的远期价值为-56.31美元。（2分）7、美元和英镑的1年期连续复利分别为3.92%和6.77%，英镑的现货汇率为1.60美元，1年期的英镑远期价格为1.58美元，问是否存在套利机会？如果存在，如何套利？利润是多少？解答：（1）1年期英镑远期汇率的理论价格为：(rrf)(Tt)FSe1.60e(3.92%6.77%)11.561.58（3分）（2）因为实际报价高于理论价格，所以存在套利机会。投资者可以通过借入$1.60exp(-6.77%)，在即期外汇市场换成₤exp(-6.77%)，并在远期市场以₤1=$1.58将到期获得的₤1换成$1.58，归还债务本息和$1.56（=1.60exp(-6.77%+3.92%)），可获套利$0.02。（5分）8、A公司和B公司均需要在市场上进行10年期500万美元的投资，且A公司希望以固定利率投资，B公司希望以浮动利率投资。两个公司可获得的投资收益如下：以固定利率投资A公司可获利率8.0%，B公司可获利率8.8%；以浮动利率投资均获得LIBOR。试设计一利率互换，其中银行作为中介获得利差0.2%的报酬，而两个公司获相同收益。解答：X公司在固定利率投资上的年利差为0.8％，在浮动利率投资上的年利差为0。因此互换带来的总收益是0.8％。其中有0.2％要支付给银行，剩下的X和Y每人各得0.3％。换句话说，X公司可以获得8.3％的回报，Y公司可以获得LIBOR＋0.3％的回报。互换流程如图所示。8.3%8.5%LIBORX金融中介Y8.8%LIBORLIBOR评分标准：比较优势选择正确，2分；现金流方向正确，3分；利率数据正确，3分9、标的股票现价为24美元，2个月和5个月后每股将分别派发0.5美元红利。现有执行价格均为25美元，6个月后到期的欧式看涨期权和欧式看跌期权，售价都为2美元。设无风险年利率为10%（连续复利）。问是否存在套利机会？若有，请构造套利组合。解答：cXer(Tt)225e10%6/1225.7810%2/120.5e10%5/1225.03PSD2240.5er(Tt)PSD，违背了欧式看涨期权和看跌期权的平价关系，所以存在套利cXe机会。10、2012年5月25日，GE的股票报价19.25美元，其在CBOE交易的执行价格16美元，2012年7月15日到期的该股票CallOption报价3.25美元；执行价格21美元，同一到期日的CallOption报价0.12美元。假设CBOE交易的该股票期权为欧式期权，请问：（1）利用上述期权如何构造出BullSpread？（2）列出该组合的profit状况。解答：牛市差价组合可以通过购买执行价格为16美元的call，并卖出执行价格为21美元的call来构造。该组合期初产生2.91美元的现金流出。该组合的盈亏和回报如下表所示：StockpriceST≤1616＜ST≤21ST＞21看涨期权多头的盈亏X=16，c=3.25－3.25ST－16－3.25ST－16－3.25看涨期权空头的盈亏X=21，c=0.120.120.1221－ST＋0.12总盈亏－3.13ST－19.131.8711、2011年6月2日，Coca-ColaCompany股票报价66.76美元，其在ISE交易的2011年11月18日到期（距离到期日还有169天，1年按365天计），执行价格为70美元的该股票CallOption售价为1.16美元，PutOption售价为5.15美元，无风险年利率为0.25%（连续复利）。假设ISE交易的该股票期权为欧式期权，期间无红利支付，请问：（1）对投资者而言，是否存在套利机会？（2）如果存在套利机会，应如何套利？1单位的套利净利润是多少？解答：根据欧式看涨期权和看跌期权的平价关系，可以得到：（1）cXerTt1.1670e0.25%169/36571.08;pS5.1566.7671.91（4分）（2）套利方法为：买入Call，卖空PutOption和股票。将净现金收入70.75(＝66.76＋5.15－1.16)元进行169天的无风险投资，到期时将获得70.83(＝70.75e0.25%×169/365)美元。如果到期时股票价格高于70美元，将执行CallOption；如果低于70美元，PutOption将被执行，因此无论如何，投资者均将按照70美元购买股票，正好用于平仓卖空的股票，因此将获得净收益0.83美元。12、2011年6月1日，MICROSOFTCORP.股票报价25.01美元，其在CBOE交易的执行价格22美元，2011年7月15日到期的该股票CallOption报价3.00美元；执行价格27美元，同一到期日的CallOption报价0.09美元。假设CBOE交易的该股票期权为欧式期权，请问：（1）利用上述期权如何构造出BearSpread？（2）利用表格列出该组合的profit状况。（3）绘制profit图。解答：熊市差价组合可以通过购买执行价格为27美元的call，并卖出执行协议价格为22美元的call来构造。该组合期初产生2.91美元的现金流入。该组合的盈亏和回报如下表所示：StockpriceST≤2222＜ST≤27ST＞27看涨期权多头的盈亏X=27，c=0.09－0.09－0.09ST－27－0.09看涨期权空头的盈亏X=22，c=3.003.0022－ST＋3.0022－ST＋3.00总盈亏2.9124.91－ST－2.0930期权到期时的股价差价组合评分标准：（1）构造组合1分；0-15（2）profit表格5分，其中每2个单元格填写正确得1-30分；050100盈亏（3）图形绘制正确2分。13、A公司是AAA级的大型绩优公司，其长期固定利率融资成本为年息7%，短期浮动利率融资成本为LIBOR＋0.4%。B公司BBB级的中小型公司，其固定利率融资成本为8.5%，浮动利率融资成本为LIBOR＋0.7%。现假设A公司具有浮动利率的收益，希望以浮动利率支付其债务利息，而B公司则具有固定利率的收益，希望以固定利率支付其债务利息。由A、B如何应用互换降低各自的筹资成本？14、2011年6月3日，市场中美国和欧元区的利率和汇率数据如下表所示，不考虑交易成本，请问：（1）1年期欧元远期汇率的理论价格是多少？（2）观察表中数据，判断是否存在套利机会？如果存在套利机会，请问如何套利？１年后1单位货币的无风险套利利润是多少？1年期市场无风险利率Currencies即期汇率1年期远期汇率（连续复利）EUR1.25%1.44881.4312USD0.25%15低协议价格的期权盈亏低协议价格高协议价格的期权盈亏高协议价格组合的总盈亏解答：（1）1年期欧元远期汇率的理论价格为：FSe(rrf)(Tt)1.4488e(0.25%1.25%)11.43441.4312（4分）（2）因为实际报价＜理论价格，所以存在套利机会。投资者可以通过借欧元，买入美元，再买入欧元远期来套利。（2分）借入€1，1年后需归还€1.0125；€1立即兑换成$1