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2021年高考数学真题试卷（新高考Ⅱ卷）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（共8题；共40分）1.复数2𝑖13𝑖在复平面内对应的点所在的象限为（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.设集合𝑈={1,2,3,4,5,6},𝐴={1,3,6},𝐵={2,3,4}，则𝐴∩(∁𝑈𝐵)=（）A.{3}B.{1,6}C.{5,6}D.{1,3}3.抛物线𝑦2=2𝑝𝑥(𝑝0)的焦点到直线𝑦=𝑥+1的距离为√2，则𝑝=（）A.1B.2C.2√2D.44.北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为36000km（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球心为O，半径r为6400km的球，其上点A的纬度是指𝑂𝐴与赤道平面所成角的度数．地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为𝛼，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为𝑆=2𝜋𝑟2(1cos𝛼)（单位：km2），则S占地球表面积的百分比约为（）A.26%B.34%C.42%D.50%5.正四棱台的上下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（）A.20+12√3B.28√2C.3D.28√23566.某物理量的测量结果服从正态分布𝑁(10,𝜎2)，下列结论中不正确的是（）A.𝜎越小，该物理量在一次测量中在(9.9,10.1)的概率越大B.𝜎越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5C.𝜎越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等D.𝜎越小，该物理量在一次测量中落在(9.9,10.2)与落在(10,10.3)的概率相等7.已知𝑎=log52,𝑏=log83,𝑐=2，则下列判断正确的是（）A.𝑐𝑏𝑎B.𝑏𝑎𝑐C.𝑎𝑐𝑏D.𝑎𝑏𝑐8.已知函数𝑓(𝑥)的定义域为𝑅，𝑓(𝑥+2)为偶函数，𝑓(2𝑥+1)为奇函数，则（）A.𝑓(2)=0B.𝑓(1)=0C.𝑓(2)=0D.𝑓(4)=011二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．（共4题；共20分）9.下列统计量中，能度量样本𝑥1,𝑥2,⋯,𝑥𝑛的离散程度的是（）A.样本𝑥1,𝑥2,⋯,𝑥𝑛的标准差B.样本𝑥1,𝑥2,⋯,𝑥𝑛的中位数C.样本𝑥1,𝑥2,⋯,𝑥𝑛的极差D.样本𝑥1,𝑥2,⋯,𝑥𝑛的平均数10.如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点．则满足𝑀𝑁⊥𝑂𝑃的是（）A.B.C.D.11.已知直线𝑙:𝑎𝑥+𝑏𝑦−𝑟2=0与圆𝐶:𝑥2+𝑦2=𝑟2，点𝐴(𝑎,𝑏)，则下列说法正确的是（）A.若点A在圆C上，则直线l与圆C相切B.若点A在圆C内，则直线l与圆C相离C.若点A在圆C外，则直线l与圆C相离D.若点A在直线l上，则直线l与圆C相切12.设正整数𝑛=𝑎0⋅20+𝑎1⋅2+⋯+𝑎𝑘−1⋅2𝑘−1+𝑎𝑘⋅2𝑘，其中𝑎𝑖∈{0,1}，记𝜔(𝑛)=𝑎0+𝑎1+⋯+𝑎𝑘．则（）A.𝜔(2𝑛)=𝜔(𝑛)B.𝜔(2𝑛+3)=𝜔(𝑛)+1C.𝜔(8𝑛+5)=𝜔(4𝑛+3)D.𝜔(2𝑛−1)=𝑛三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．（共4题；共20分）13.已知双曲线𝐶:𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎0,𝑏0)，离心率𝑒=2，则双曲线C的渐近线方程为________．14.写出一个同时具有下列性质①②③的函数𝑓(𝑥):________．①𝑓(𝑥1𝑥2)=𝑓(𝑥1)𝑓(𝑥2)；②当𝑥∈(0,+∞)时，𝑓′(𝑥)0；③𝑓′(𝑥)是奇函数．→→→→→→→15.已知向量→𝑎+𝑏+𝑐=0,|𝑎|=1,|𝑏|=|𝑐|=2，则𝑎⋅𝑏+𝑏⋅𝑐+𝑐⋅𝑎=________．→→→→→16.已知函数𝑓(𝑥)=|𝑒𝑥−1|,𝑥10,𝑥20，函数𝑓(𝑥)的图象在点𝐴(𝑥1,𝑓(𝑥1))和点𝐵(𝑥2,𝑓(𝑥2))的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则|𝐴𝑀||𝐵𝑁|取值范围是________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明证明过程或演算步骤．（共6题；共70分）17.记𝑆𝑛是公差不为0的等差数列{𝑎𝑛}的前n项和，若𝑎3=𝑆5,𝑎2𝑎4=𝑆4．（1）求数列{𝑎𝑛}的通项公式𝑎𝑛；（2）求使𝑆𝑛𝑎𝑛成立的n的最小值．18.在△𝐴𝐵𝐶中，角A，B，C所对的边长分别为𝑎,𝑏,𝑐,𝑏=𝑎+1,𝑐=𝑎+2．（1）若2sin𝐶=3sin𝐴，求△𝐴𝐵𝐶的面积；（2）是否存在正整数a，使得△𝐴𝐵𝐶为钝角三角形?若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．19.在四棱锥𝑄−𝐴𝐵𝐶𝐷中，底面𝐴𝐵𝐶𝐷是正方形，若𝐴𝐷=2,𝑄𝐷=𝑄𝐴=√5,𝑄𝐶=3．（1）证明：平面𝑄𝐴𝐷⊥平面𝐴𝐵𝐶𝐷；（2）求二面角𝐵−𝑄𝐷−𝐴的平面角的余弦值．20.已知椭圆C的方程为𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎𝑏0)，右焦点为𝐹(√2,0)，且离心率为√63．（1）求椭圆C的方程；（2）设M，N是椭圆C上的两点，直线𝑀𝑁与曲线𝑥2+𝑦2=𝑏2(𝑥0)相切．证明：M，N，F三点共线的充要条件是|𝑀𝑁|=√3．21.一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，𝑃(𝑋=𝑖)=𝑝𝑖(𝑖=0,1,2,3)．（1）已知𝑝0=0.4,𝑝1=0.3,𝑝2=0.2,𝑝3=0.1，求𝐸(𝑋)；（2）设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程：𝑝0+𝑝1𝑥+𝑝2𝑥2+𝑝3𝑥3=𝑥的一个最小正实根，求证：当𝐸(𝑋)≤1时，𝑝=1，当𝐸(𝑋)1时，𝑝1；（3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义．22.已知函数𝑓(𝑥)=(𝑥−1)𝑒𝑥−𝑎𝑥2+𝑏．（1）讨论𝑓(𝑥)的单调性；（2）从下面两个条件中选一个，证明：𝑓(𝑥)有一个零点①𝑎≤21𝑒221,𝑏2𝑎；②0𝑎2,𝑏≤2𝑎．答案解析部分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.【答案】A【考点】复数的代数表示法及其几何意义，复数代数形式的混合运算【解析】【解答】解：13𝑖=(13𝑖)(13𝑖)=故答案为：A【分析】根据复数的运算法则，及复数的几何意义求解即可2.【答案】B【考点】子集与交集、并集运算的转换【解析】【解答】解：由题设可得𝐶𝑈𝐵={1,5,6}，故𝐴∩(𝐶𝑈𝐵)={1,6}.故答案为：B【分析】根据交集、补集的定义求解即可.3.【答案】B【考点】点到直线的距离公式，抛物线的简单性质【解析】【解答】解：抛物线的焦点坐标为(2,0)，则其到直线x-y+1=0的距离为𝑑=得p=2或p=-6(舍去)，故p=2.故答案为：B【分析】根据抛物线的几何性质，结合点到直线的距离公式求解即可4.【答案】C【考点】球的体积和表面积【解析】【解答】解：由题意可得，S故答案为：C【分析】结合题意所给的表面积公式和球的表面积公式整理计算即可求得最终结果.5.【答案】D【考点】棱台的结构特征，棱柱、棱锥、棱台的体积64002𝜋𝑟2(1cos𝛼)1cos𝛼1=2=640036000≈0.42=42%占地球表面积的百分比约为：4𝜋𝑟22𝑝22𝑖(2𝑖)(13𝑖)55𝑖10=𝑖，表示的点为(，)，位于第一象限.22221111𝑝|1|√2=√2，解【解析】【解答】解：作出图形，连接该正四棱台上下底面的中心，如图，因为该四棱台上下底面边长分别为2，4，侧棱长为2，所以该棱台的高，下底面面积S1=16，上底面面积S2=4，所以棱台的体积为𝑉=3𝑆1+√𝑆1𝑆2+𝑆2=3×√2×16+√16×4+4=故答案为：D【分析】由四棱台的几何特征算出该几何体的高及上下底面面积，再由棱台的体积公式即可得解.6.【答案】D【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义【解析】【解答】解：对于A，𝜎2为数据的方差，所以𝜎越小，数据在μ=10附近越集中，所以测量结果落在（9.9,10.1）内的概率越大，故A正确；对于B，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为0.5，故B正确；对于C，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等，故C正确；对于D，因为该物理量一次测量结果落在（9.9,10.0）的概率与落在（10.2,10.3）的概率不同，所以一次测量结果落在（9.9,10.2）的概率与落在（10,10.3）的概率不同，故D错误.故选：D.【分析】由正态分布密度曲线的特征逐项判断即可得解.7.【答案】C【考点】对数函数的单调性与特殊点【解析】【解答】解：𝑎=log52log5√5=2=log82√2log83=𝑏，即acb.故答案为：C【分析】根据对数函数的单调性可比较a、b与c的大小关系，由此可得出结论.8.【答案】B【考点】奇函数，偶函数，函数的周期性111283√2【解析】【解答】解：因为𝑓(𝑥+2)为偶函数，则有f(2+x)=f(2-x)，可得f(x+3)=f(1-x)，又因为𝑓(2𝑥+1)为奇函数，则有f(1-2x)=-f(2x-1)，可得f(1-x)=-f(x+1)，所以f(x+3)=-f(x+1)=f(x-1)，即f(x)=f(x+4)故函数f(x)的周期为T=4又因为函数F(x)=f(2x+1)是奇函数，则F(0)=f(1)=0故f(-1)=-f(1)=0故答案为：B【分析】推导出函数f(x)是以4为周期的周期函数，由已知条件得出f(1)=0，结合已知条件可得出结论.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.【答案】A,C【考点】众数、中位数、平均数，极差、方差与标准差【解析】【解答】解：由标准差的定义可知，标准差考查的是数据的离散程度；由中位数的定义可知，中位数考查的是数据的集中趋势；由极差的定义可知，极差考查的是数据的离散程度；由平均数的定义可知，平均数考查的是数据的集中趋势；故选：AC.【分析】根据标准差，极差，中位数及平均数的定义与意义求解即可.10.【答案】B,C【考点】异面直线及其所成的角，直线与平面垂直的判定【解析】【解答】解：对于A，如图（1）所示，连接AC，则MN//AC，故∠POC（或其补角）为异面直线OP,MN所成的角.在直角三角形OPC中，𝑂𝐶=√2，CP=1，故tan∠𝑃𝑂𝐶=故MN⊥OP不成立，故A错误；对于B，如图（2）所示，1√=2√22取NT的中点Q，连接PQ,OQ，则OQ⊥NT，PQ⊥MN，由正方体SBCM-NADT可得SN⊥平面ANDT，而𝑂𝑄⊂平面ANDT，故SN⊥OQ，而SN∩MN=N，故OQ⊥平面SNTM，又𝑀𝑁⊂平面SNTM，则OQ⊥MN，而OQ∩PQ=O，所以MN⊥平面OPQ，而𝑂𝑃⊂平面OPQ，故MN⊥OP.故B正确；对于C，如图（3）所示