搜索
计算（三）等差数列求和知识精讲1、定义：一个数列的前项的和为这个数列的和。2、表达方式：常用来表示。三：求和公式：和(首项末项)项数，。对于这个公式的得到可以从两个方面入手：(思路1) (思路2)这道题目，还可以这样理解：即，和。四、中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首项与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数。譬如：①，题中的等差数列有9项，中间一项即第5项的值是20，而和恰等于；②，题中的等差数列有33项，中间一项即第17项的值是33，而和恰等于。例题精讲：例1：求和：（1）1+2+3+4+5+6=（2）1+4+7+11+13=（3）1+4+7+11+13＋…＋85=分析：弄清楚一个数列的首项，末项和公差，从而先根据项数公式求项数，再根据求和公式求和。例如（3）式项数=（85-1）÷3+1=29和=（1+85）×29÷2=1247答案：（1）21（2）36（3）1247例2：求下列各等差数列的和。（1）1+2+3+4+…+199（2）2+4+6+…+78（3）3+7+11+15+…+207分析：弄清楚一个数列的首项，末项和公差，从而先根据项数公式求项数，再根据求和公式求和。例如（1）式=（1+199）×199÷2=19900答案：（1）19900（2）1160（3）5355例3：一个等差数列2，4，6，8，10，12，14，这个数列的和是多少？分析：根据中项定理，这个数列一共有7项，各项的和等于中间项乘以项数，即为：答案：56例4：求1+5+9+13+17……+401该数列的和是多少。分析：这个数列的首项是1，末项是401，项数是（401-1）÷4+1=101，所以根据求和公式，可有：和=（1+401）×101÷2=20301答案：20301例5：有一串自然数2、5、8、11、……，问这一串自然数中前61个数的和是多少？分析：即求首项是2，公差是3，项数是61的等差数列的和，根据末项公式：末项=2+（61-1）×3=182根据求和公式：和=（2+182）×61÷2=5612答案：5612例6：把自然数依次排成“三角形阵”，如图。第一排1个数；第二排3个数；第三排5个数；…求： （1）第十二排第一个数是几？最后一个数是几？（2）207排在第几排第几个数？（3）第13排各数的和是多少？分析：整体看就是自然数列，每排的个数的规律是1,3,5，7...即为奇数数列若排数为n（n≥2de自然数)，则这排之前的数共有（n-1）（n-1)个。（1）第十二排共有23个数。前面共有（1+21）×11÷2=121个数，所以第十二排的第一个数为122，最后一个数为122+（23-1）×1=144（2）前十四排共有196个数，前十五排共有225个数，所以207在第十五排，第十五排的第一个数是197，所以207是第（207-197=10）个数（3）前十二排共有144个数，所以第十三排的第一个数是145，而第十三排共有25个数，所以最后一个数是145+（25-1）×1=169，所以和=（145+169）×25÷2=3925答案：（1）122；144（2）第十五排第10个数（3）3925例7：15个连续奇数的和是1995，其中最大的奇数是多少？分析：由中项定理，中间的数即第8个数为：，所以这个数列最大的奇数即第15个数是：。答案：147。例8：把210拆成7个自然数的和，使这7个数从小到大排成一行后，相邻两个数的差都是5，那么，第1个数与第6个数分别是多少？分析：由题可知：由210拆成的7个数必构成等差数列，则中间一个数为210÷7=30，所以，这7个数分别是15、20、25、30、35、40、45。即第1个数是15，第6个数是40。答案：第1个数：15；第6个数：40。例9：已知等差数列15，19，23，……443，求这个数列的奇数项之和与偶数项之和的差是多少？分析：公差=19-15=4项数=（443-15）÷4+1=108倒数第二项=443-4=439奇数项组成的数列为：15，23，31……439，公差为8，和为（15+439）×54÷2=12258偶数项组成的数列为：19，27，35……443，公差为8，和为（19+443）×54÷2=12474差为12474-12258=216答案：216例10：在这一百个自然数中，所有能被9整除的数的和是多少？分析：每9个连续数中必有一个数是9的倍数，在中，我们很容易知道能被9整除的最小的数是，最大的数是，这些数构成公差为9的等差数列，这个数列一共有：项，所以，所求数的和是：．也可以从找规律角度分析．答案：例11：一串数按下面的规律排列：1、2、3、2、3、4、3、4、5、4、5、6……问：从左面第一个数起，前105个数的和是多少？分析：这些数字直接看没有什么规律，但是如果3个一组，会发现这样一个数列：6,9,12,15......即求首项是6，公差是3，项数是105÷3=35的和末项=6+3×（35-1）=108和=（6+108）×35÷2=1995答案：1995例12：在下面个方框中各填入一个数，使这个数从左到右构成等差数列，其中、已经填好，这个数的和为。分析：由题意知：这个数列是一个等差数列，又由题目给出的两个数和知：公差为，那么第一个方格填，最后一个方格是，由等差数列求和公式知和为：。答案：180。本讲小结：1.一个数列的前项的和为这个数列的和，我们称为。2.求和公式：和(首项末项)项数，。3.对于任意一个奇数项的等差数列，各项和等于中间项乘以项数。练习：1.求和：（1）1+3+5+7+9=（2）1+2+3+4＋…＋21=（3）1+3+5+7+9＋…＋39=分析：弄清楚一个数列的首项，末项和公差，从而先根据项数公式求项数，再根据求和公式求和。答案：（1）25（2）231（3）4002.求下列各等差数列的和。（1）1+2+3+…+100（2）3+6+9+…+39分析：弄清楚一个数列的首项，末项和公差，从而先根据项数公式求项数，再根据求和公式求和。答案：（1）5050（2）2733.一个等差数列4,8,12,16,20,24,28,32，36这个数列的和是多少?分析：根据中项定理，这个数列一共有9项，各项的和等于中间项乘以项数，即为：20×9=180答案：1804.所有两位单数的和是多少？分析：即求首项是11，末项是99的奇数数列的和为多少。和=（11+99）×45÷2=2475答案：24755.数列1、5、9、13、……，这串数列中，前91个数和是多少？分析：首项是1，公差是4，项数是91，根据重要公式，可得：末项=1+（91-1）×4=361和=（1+361）×91÷2=16471答案：164716.如图，把边长为1的小正方形叠成“金字塔形”图，其中黑白相间染色。如果最底层有15个正方形，问：“金字塔”中有多少个染白色的正方形，有多少个染黑色的正方形？分析：由题意可知，从上到下每层的正方形个数组成等差数列，其中，，，所以，所以，白色方格数是： 黑色方格数是：。答案：287.。分析：根据中项定理知：,所以原式。答案：7。8.把248分成8个连续偶数的和，其中最大的那个数是多少？分析：公差为2的递增等差数列。平均数：248÷8=31，第4个数：31-1=30；首项：30-6=24；末项：24+（8-1）×2=38。即：最大的数为38。答案：389.求从1到2000的自然数中，所有偶数之和与所有奇数之和的差。分析：解法1：可以看出，2，4，6，…，2000是一个公差为2的等差数列，1，3，5，…，1999也是一个公差为2的等差数列，且项数均为1000，所以：原式=（2+2000)×1000÷2-（1+1999）×1000÷2=1000解法2：注意到这两个等差数列的项数相等，公差相等，且对应项差1，所以1000项就差了1000个1，即原式=1000×1=1000答案：100010.在这一百个自然数中，所有不能被9整除的数的和是多少？分析：先计算的自然数和，再减去能被9整除的自然数和，就是所有不能被9整除的自然数和了．，，所有不能被9整除的自然数和：．如果直接计算不能被9整除的自然数和，是很麻烦的，所以先计算所有的自然数和，再排除掉能被9整除的自然数和，这样计算过程变得简便多了。答案：59411.一个建筑工地旁，堆着一些钢管（如图），聪明的小朋友，你能算出这堆钢管一共有多少根吗？分析：观察发现，这堆钢管的排列就是一个等差数列：首项是3，公差是1，末项是10，项数是8根据求和公式，和=（3+10）×8÷2=52（根）所以这堆钢管共有52根。答案：52根。12.求100以内除以3余2的所有数的和。解析：100以内除以3余2的数为2、5、8、11、……98公差为3的等差数列，首先求出一共有多少项，，再利用公式求和。答案：1650。