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第4讲 数列通项公式求法一、观察法（关键是找出各项与项数n的关系.）例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式：（1）9，99，999，9999，…（2）（3）（4）二、公式法公式法1：等差与等比数列例2.等差数列是递减数列，且=48，=12，则数列的通项公式是（）(A)(B)(C)(D)例3：已知数列{an}是公差为d的等差数列，数列{bn}是公比为q的(q∈R且q≠1)的等比数列，若函数f(x)=(x－1)2，且a1=f(d－1)，a3=f(d+1)，b1=f(q+1)，b3=f(q－1)，(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；例4.已知等比数列的首项，公比，设数列的通项为，求数列的通项公式.公式法2：知利用公式.例5：已知下列两数列的前n项和sn的公式，求的通项公式.（1）.（2）练习：1.已知数列的前项和，满足关系.试证数列是等比数列，并写出的通项公式2：已知数列前n项的和为s＝a－3，求这个数列的通项公式。3：已知正项数列中，s＝（a+），求数列的通项公式.三、累加法【型如的递推关系】简析：已知,，其中f(n)可以是关于n的一次、指数函数、分式函数，求通项.①若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;②若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;③若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和各式相加得例6、已知数列满足，求数列的通项公式。例7、已知数列满足，求数列的通项公式。练习1：若在数列中，，，求通项。练习2：已知数列6，9，14，21，30，…求此数列的一个通项.练习3：若在数列中，，，求通项练习4：已知数列满足，，求此数列的通项公式.四、累积法【形如=(n)·型】（1）当f(n)为常数，即：（其中q是不为0的常数），此时数列为等比数列，=.（2）当f(n)为n的函数时,用累乘法.例7.若满足求这个数列的通项公式。例8、（2004年全国I第15题，原题是填空题）已知数列满足，求的通项公式。练习1：在数列｛｝中，=2,(n+2)·=(n+1)·，求的表达式.练习2：已知,,求数列通项公式.练习3：已知数列中，，前项和与的关系是，试求通项公式.思考题1：已知,求数列{an}的通项公式.分析：原式化为若令,则问题进一步转化为形式，累积得解.五、构造特殊数列法通过变换递推关系，可将非等差数列或等比数列转化为等差或等比数列而求得通项公式的方法。(待定系数法)例9：已知数列中满足，,求数列的通项公式。（倒数法）例10:已知数列中满足，，求数列的通项.练习1：已知数列的递推关系为，且求通项.练习2：知数列中满足，，求数列的通项.练习3：已知数列中满足，,求数列的通项公式。练习4：在数列中，，，，求.练习5：已知数列｛｝中且（），，求数列的通项公式.练习6：已知数列满足，，求数列的通项公式。练习7：已知数列满足，求数列的通项公式。练习8：已知数列满足，求数列的通项公式。六、迭代法【一般是递推关系含有的项数较多】例11：（1）数列{}满足,且,求数列{an}的通项公式.（2）数列{}满足,且,求数列{an}的通项公式（3）已知数列中，求通项.七、数学归纳法例12．数列{an}满足Sn＝2n－an(n∈N*)．(1)计算a1，a2，a3，a4,并由此猜想通项an的表达式；(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．练习1.用数学归纳法证明：.练习2.已知数列满足（1）求；（2）由（1）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明。练习3.在各项均为正数的数列中，数列的前项和满足（1）求；（2）由（1）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明。练习4.已知数列满足，求数列的通项公式。练习5.用数学归纳法证明不等式：1＋＋＋…＋＜2(n∈N*)．第4讲 数列通项公式求法1、观察法（关键是找出各项与项数n的关系.）例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式：（1）9，99，999，9999，…（2）（3）（4）答案：（1）（2）（3）（4）.2、公式法公式法1：等差与等比数列例2.等差数列是递减数列，且=48，=12，则数列的通项公式是（）(A)(B)(C)(D)答案：(D)例3：已知数列{an}是公差为d的等差数列，数列{bn}是公比为q的(q∈R且q≠1)的等比数列，若函数f(x)=(x－1)2，且a1=f(d－1)，a3=f(d+1)，b1=f(q+1)，b3=f(q－1)，(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；解：(1)∵a1=f(d－1)=(d－2)2，a3=f(d+1)=d2，∴a3－a1=d2－(d－2)2=2d，∴d=2，∴an=a1+(n－1)d=2(n－1)；又b1=f(q+1)=q2，b3=f(q－1)=(q－2)2，∴=q2，由q∈R，且q≠1，得q=－2，∴bn=b·qn－1=4·(－2)n－1例4.已知等比数列的首项，公比，设数列的通项为，求数列的通项公式.简析：由题意，，又是等比数列，公比为∴，故数列是等比数列，易得.点评：当数列为等差或等比数列时，可直接利用等差或等比数列的通项公式，只需求首项及公差公比.公式法2：知利用公式.例5：已知下列两数列的前n项和sn的公式，求的通项公式.（1）.（2）答案：（1）=3，（2）点评：先分n=1和两种情况，然后验证能否统一.练习：1.已知数列的前项和，满足关系.试证数列是等比数列，并写出的通项公式2：已知数列前n项的和为s＝a－3，求这个数列的通项公式。分析：用a替换s-s(n2)得到数列项与项的递推关系来求。解：a=a-3,a=6s＝a－3（nN）①s＝a－3(n2且nN)②1－②得：a＝a－aa＝a，即＝3(n2且nN)数列是以a=6，公比q为3的等比数列.a＝aq＝63＝23。3：已知正项数列中，s＝（a+），求数列的通项公式.分析：用s-s(n2)替换a得到数列与的递推关系来求较易。解s＝（a+），a=(a+)a=1又a＝s－s(n2且nN)s＝（s－s＋）2s＝s－s＋s＋s＝s－s＝1(n2且nN)数列是以a=1为首项，公差为1的等差数列。s＝1＋（n－1）1＝n，即s＝，当n2时，s－s＝a＝－将n＝1代入上式得a＝－三、累加法【型如的递推关系】简析：已知,，其中f(n)可以是关于n的一次、指数函数、分式函数，求通项.①若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;②若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;③若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和各式相加得例6、已知数列满足，求数列的通项公式。解：由得则时时，上式也成立.所以数列的通项公式为。评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列的通项公式。例7、已知数列满足，求数列的通项公式。解：由得则时时，上式也成立.所以评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列的通项公式。练习1：若在数列中，，，求通项。解析：由得，所以，，…，，将以上各式相加得：，又所以=练习2：已知数列6，9，14，21，30，…求此数列的一个通项..答案：练习3：若在数列中，，，求通项.答案：=练习4：已知数列满足，，求此数列的通项公式.答案：四、累积法【形如=(n)·型】（1）当f(n)为常数，即：（其中q是不为0的常数），此时数列为等比数列，=.（2）当f(n)为n的函数时,用累乘法.例7.若满足求这个数列的通项公式。分析：由知数列不是等比数列，但其递推公式的形式与等比数列递推公式类似，因而，可累加法求数列的通项。解：以上各式相乘得：将n＝1代入上式得例8、（2004年全国I第15题，原题是填空题）已知数列满足，求的通项公式。解：因为①所以②用②式－①式得则，因为所以故所以③由，，则，又知，则，代入③得。所以，的通项公式为评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，从而可得当的表达式，最后再求出数列的通项公式。练习1：在数列｛｝中，=2,(n+2)·=(n+1)·，求的表达式.答案：练习2：已知,,求数列通项公式.【解析】：,,又有=1×=,当时，满足，.练习3：已知数列中，，前项和与的关系是，试求通项公式.答案：思考题1：已知,求数列{an}的通项公式.分析：原式化为若令,则问题进一步转化为形式，累积得解.五、构造特殊数列法通过变换递推关系，可将非等差数列或等比数列转化为等差或等比数列而求得通项公式的方法。(待定系数法)例9：已知数列中满足，,求数列的通项公式。分析：将一阶线性递推关系形如可转化为的一个新的等比数列或消常数项转化为的一个等比数列。解法1：数列中， （n）数列是以首项，公比为2的等比数列 解法2：数列中， ① ② ②－①得 又数列是以首项公比为2的等比数列，（再利用累加法可求数列的通项公式，以下解法略）可求得（倒数法）例10:已知数列中满足，，求数列的通项.分析：可将形如一阶分式递推公式,(A、B、C为满足条件的常数)，等式两边取倒数得：,又可利用求形如(A’、B’为常数)的方法来求数列的通项。解：数列中，，，即数列是以公差为3的等差数列.练习1：已知数列的递推关系为，且求通项.答案：练习2：知数列中满足，，求数列的通项.练习3：已知数列中满足，,求数列的通项公式。分析：形如递推公式可转化为，若令，则转化为形如的方法来求数列的通项。(提示：将转化为，解法略。)另外，数列通项求法还有数学归纳猜想法，可以先求出数列的前n项，然后观察前n项的规律，再进行归纳、猜想出通项，最后予以证明，例如：数列满足a1=4，=4－（n≥2），求（理科要求，解略）；还有对数变换法，例如：形如可转化为问题解决；当然还有特征方程法等等。练习4：在数列中，，，，求.提示：变为.答案：练习5：已知数列｛｝中且（），，求数列的通项公式.答案练习6：已知数列满足，，求数列的通项公式。解：两边同除以，得，则，故数列是以为首项，以为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得，所以数列的通项公式为。评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，说明数列是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出，进而求出数列的通项公式。练习7：已知数列满足，求数列的通项公式。解：两边同除以，得，则，故时因此，则时也成立.评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列的通项公式，最后再求数列的通项公式。练习8：已知数列满足，求数列的通项公式。解：上式两边同时除以得，令，则设，即，所以，故，因为，所以是以1为首项，为公比的等比数列，所以，，所以评注：符合形式的数列，可以两边同时除以，然后构造新的数列求通项公式.六、迭代法【一般是递推关系含有的项数较多】例11：（1）数列{}满足,且,求数列{an}的通项公式.解析：由题得①时，②由①、②得.（2）数列{}满足,且,求数列{an}的通项公式答案（3）已知数列中，求通项.答案七、数学归纳法例12．数列{an}满足Sn＝2n－an(n∈N*)．(1)计算a1，a2，a3，a4,并由此猜想通项an的表达式；(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．解：(1)a1＝1，a2＝，a3＝，a4＝，由此猜想an＝(n∈N*)．(2)证明：当n＝1时，a1＝1,结论成立．假设n＝k(k∈N*)时，结论成立，即ak＝，那么n＝k＋1(k∈N*)时，ak＋1＝Sk＋1－Sk＝2(k＋1)－ak＋1－2k＋ak＝2＋ak－ak＋1.∴ak＋1＝＝＝，这表明n＝k＋1时，结论成立．根据(1)和(2)，可知猜想对任何n∈N*都成立．∴an＝(n∈N*)．练习1.用数学归纳法证明：.练习2.已知数列满足（2）求；（2）由（1）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明。练习3.在各项均为正数的数列中，数列的前项和满足（1）求；（2）由（1）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明。练习4.已知数列满足，求数列的通项公式。解：由及，得由此可猜测，往下用数学归纳法证明这个结论。（1）当时，，所以等式成立。（2）假设当时等式成立，即，则当时，由此可知，当时等式也成立。根据（1），（2）可知，等式对任何都成