人教A版新教材高中数学必修第一册第三章 函数的概念及性质总结及测试(解析版)

第三章知识总结及测试思维导图章末测试一、单选题（每题5分，共60分）1．下列四个图象中，是函数图象的是A．①【答案】B【解析】B．①③④C．①②③D．③④由函数的定义知，对于定义域中的每一个自变量x，只能有唯一的y与之对应，故②不是函数，①③④是函数.故选B.2．下列四个函数在(－∞，0)上为增函数的是()x2x①yx1；②y；③y；④yx.xxxxA．①②【答案】C【解析】①当x＜0时，yx1x1为减函数，不符合要求；B．②③C．③④D．①④②当x＜0时，yxx-1，为常函数，不符合要求；x2x，为增函数；③当x＜0时，yx④当x＜0时，yxxxx1，为增函数．故在区间（﹣∞，0）上为增函数的是③④．故选C．x2,x0,，3．下列图形是函数y的图象的是()x1,x0.A．B．C．D．【答案】C【解析】∵x≥0时，f（x）=x﹣1排除A,B,D.故选C4．在区间(,0)上增函数的是（）A．y2x【答案】A【解析】y2x在区间,0上是增函数，故选A5．已知函数f(x)在(,)上单调递减，且当x[2,1]时，f(x)x22x4，则关于x的不等式B．y6xC．yxD．yx2f(x)1的解集为（）A．(,1)【答案】DB．(,3)C．(1,3)D．(1,)【解析】当x，2,1时，由fxx22x4=1，得x1或x3（舍）又因为函数fx在,上单调递减，所以fx1的解集为1,.故选：D2x,x26．设函数fx2，若fa1f2a1，则实数a的取值范围是（）x,x2A．,1C．2,6【答案】B【解析】作出函数yfx的图象如下图所示，可知函数yfx在R上为增函数，B．,2D．2,fa1f2a1，a12a1，解得a2.因此，实数a的取值范围是,2，故答案为：,2.7．函数fx=|x3x2|的单调递增区间是()2A．,32B．1,和2,23C．,1和,223D．,和2,23【答案】B【解析】fx=|x3x2|，2当x2或x1时，fx=x3x2；2当1x2时，fx=x3x2，2如图所示，函数的单调递增区间是1,和2,.2故选B.8已知偶函数fx在0,上单调递减，则满足f4x3f5的x的取值范围是（）A．,323B．,11,C．2【答案】C1,12,,D．2【解析】因为偶函数fx在0,上单调递减，则满足f4x3f5，所以1f4x3f5，可得4x35,即4x35或4x35,x2或x，x的取值范围是21,2,，故选C.29．幂函数𝑓(𝑥)=(𝑚2−6𝑚+9)𝑥𝑚A.2【答案】C𝑚=2或𝑚=42𝑚−6𝑚+9=1,解得{【解析】由题意得：{23−√53+√5∴𝑚=4𝑚−3𝑚+10𝑚2或𝑚210．（2019·天津高三期中（理））下列函数中，满足“fxyfxfy”的单调递增函数是B.32−3𝑚+1在(0,+∞)上单调递增，则𝑚的值为（）C.4D.2或4A．fxx【答案】B12B．fx2x1C．fx2xD．fxlog2x【解析】逐一考查所给的函数：对于A选项，取x2,y4，则fxy6,fxfy22，不满足题中的条件，舍去；对于B选项，fxy2xyx,fxfy2x2y2xy，且函数fx2单调递增，满足题中的条件；x1对于C选项，函数fx单调递减，不满足题中的条件，舍去；2对于D选项，取x2,y4，则fxylog26,fxfy2，不满足题中的条件，舍去；故选：B.11．已知奇函数f(x)在(,0)上是减函数，若f(2)0则xf(x)0的解集为（）A．(2,0)C．(1,0)【答案】B【解析】由题得函数的图像草图为(0,2)B．(-,-2)(2,+)D．(,2)(0,2)(2,)因为xf(x)0，所以函数的图像应在第二、四象限，所以不等式的解集为（-,-2)(2,+)，故选：B12．已知定义在R上的函数f(x)在[1,)上单调递减，且f(x+1)是偶函数，不等式f(m2)f(x1)对任意的x[1,0]恒成立，则实数m的取值范围是（）A．(,4][2,)B．4,2C．(,3][1,)D．3,1【答案】D【解析】由题得f(-x+1)=f(x+1)，则函数f(x)关于直线x=1对称，且在x1,单调递减，则有|(m2)1||(x1)1|成立，即|m1||x2|，又因x[1,0]，则2|x2|3，|m1|2，解得3m1，故选D。二、填空题（每题5分，共20分）13．已知函数f2x23x2，且fa4，则a_________【答案】103【解析】令2x+2=a，则x10a2a21024解得a.故答案为所以f(a)3323214．下列说法正确的是_____________.（1）函数f(x)11在(1,)上单调递增；x1（2）函数y2x(xN)的图象是一直线；x21(x0)（3）f(x)＝，若f(x)＝10，则x的值为3或5；2x(x0)2（4）若函数yx(2a1)x1在区间(,2]上是减函数，则a32【答案】（1）【解析】（1）f(x)1111f(x)1是y向右平移1个单位,向上平移一个单位而得到，在x1xx1(1,)上单调递增函数，正确（2）y=2x（x∈N）的图象是一条直线上的孤立点，∴不是一条直线；不正确（3）x≤0时，f（x）=x2+1=10，x=-3x＞0时，f（x）=-2x=10，x=-5（舍去）,故x=-3，不正确（4）函数yx2a1x1的对称轴为x221a,213a2,a，不正确。22又函数yx2a1x1在区间,2上是减函数，15．设函数f(x)(x1)(2x3a)为偶函数，则a__________．【答案】a232【解析】注意到fx2x12x1x1为偶函数，故fx2x1x3a，通过对比可2知13a2,a.23两）还差30文钱，16．（2019·浙江高考模拟）《算法统宗》中有如下问题：“哑子来买肉，难言钱数目，一斤少三十，八两多十八，试问能算者，合与多少肉”，意思是一个哑子来买肉，说不出钱的数目，买一斤（买八两多十八文钱，求肉数和肉价，则该问题中，肉价是每两__________文．【答案】6【解析】设肉价是每两x文，由题意得16x308x18，解得x6，即肉价是每两6文.三、解答题（17题10分，其余12分，共70分）x,x[0,2],17．已知函数f(x)4,x(2,4].x(1)画出函数fx的大致图像；(2)写出函数fx的最大值和单调递减区间．【答案】(1)(2)2，单调递减区间为[2,4].【解析】（1）)函数f(x)的大致图象如图所示)；(2)由函数f(x)的图象得出，f(x)的最大值为2，其单调递减区间为[2,4].18．已知幂函数fxm1xm(1)求m的值；(2)当x∈[1，2)时，记f(x)，g(x)的值域分别为集合A，B，设p：x∈A，q：x∈B，若p是q成立的必要条件，求实数k的取值范围．【答案】(1)m＝0.(2)[0，1]．【解析】(1)依题意得，(m－1)2＝1⇒m＝0或m＝2，当m＝2时，f(x)＝x－2在(0，＋∞)上单调递减，与题设矛盾，舍去，所以m＝0.(2)由(1)得，f(x)＝x2，当x∈[1，2)时，f(x)∈[1，4)，即A＝[1，4)，当x∈[1，2)时，g(x)∈[2－k，4－k)，即B＝[2－k，4－k)，因p是q成立的必要条件，则B⊆A，则224m2在(0，＋∞)上单调递增，函数g(x)＝2x－k.2k1解得0≤k≤1.4k4所以实数k的取值范围为[0，1]．19．已知函数f(x)x1.x（Ⅰ）判断并证明f(x)的单调性；（Ⅰ）设g(x)f(2),x[1,1]，解关于x的不等式g(x1)g(2x1)0.x2【答案】（Ⅰ）f(x)在(,0)和(0,)上单调递增；（Ⅰ）[0,].3【解析】（Ⅰ）fx的定义域为,00,，由fxx奇函数；11xfx,fx是xx任取0x1x2，则fx1fx2x1111x2x1x21x1x2x1x20x1x2,x1x20,10,fx1fx20即fx1fx2，x1x2fx在0,上单调递增；又由（Ⅰ）知，fx是,00,上的奇函数，fx在,0上单调递增；fx在,0和0,上单调递增.gxf2（Ⅰ）x2x111x1xxgx22，由2x22x2x2xgx,gx是奇函数；又由（Ⅰ）知fx在0,上单调递增，gx在1,1上单调递增，gx1g2x10等价于gx1g12x，可得：1x112112x1，解得：x0,3x112x2不等式的解集是0,.320．某工厂拟生产并销售某电子产品m万件（生产量与销售量相等），为扩大影响进行销售，促销费用x（万1x2元）满足m（其中0xa，a为正常数）。已知生产该产品还需投入成本6m万元（不14m2含促销费用），产品的销售价格定为430元/件。m（1）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；（2）促销费用投入多少万元时，此工厂所获利润最大？【答案】（1）y29316x(0xa)（2）当a4时，利润最大值为17万元，当a4时，最大2x利润29316a万元2a301mx6m【解析】（1）y4，1mm2x2将m代入4x21yx230x64xx1432642x32429x2x31629x(0xa)2x（2）令g(x)x16，g(x)在(0,4)单减，(4,)单增xg(x)ming(4)8∴当a4时，利润最大值为17万元31629a当a4时，最大利润万元2a21．已知函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑥𝑏是定义在(−1,1)上的奇函数，且𝑓(2)=5.𝑥2112（1）求函数𝑓(𝑥)的解析式；（2）判断函数𝑓(𝑥)在(−1,1)上的单调性，并用定义证明；（3）解关于𝑡的不等式，𝑓(𝑡2)𝑓(𝑡−2)0.【答案】（1）𝑓(𝑥)=1𝑥2；（2）𝑓(𝑥)在(−1,1)上是增函数，证明见解析；（3）−2𝑡0.【解析】（1）𝑓(0)=0⇒𝑏=0，𝑓(2)=5⇒𝑎=1⇒𝑓(𝑥)=1𝑥2；（2