5[1].1 等差数列及其前n项和

第五单元数列5.1等差数列及其前n项和一、选择题1．若x≠y，两个等差数列x，a1，a2，y与x，b1，b2，b3，y的公差分别为d1和d2，则等于(　　)A.B.C.D.解析：d1＝＝，d2＝＝.∴＝.答案：C2．{an}为等差数列，a10＝33，a2＝1，Sn为数列{an}的前n项和，则S20－2S10等于(　　)A．40B．200C．400D．20解析：本题考查等差数列的运算．S20－2S10＝－2×＝10(a20－a10)＝100d，又a10＝a2＋8d，∴33＝1＋8d，∴d＝4，∴S20－2S10＝400.答案：C3．等差数列{an}中，a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，则此数列前20项和等于(　　)A．160B．180C．200D．220解析：∵a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，∴a1＋a2＋a3＋a18＋a19＋a20＝3(a1＋a20)＝54，∴S20＝＝＝180.答案：B4．在各项均不为零的等差数列{an}中，若an＋1－a＋an－1＝0(n≥2)，则S2n－1－4n等于(　　)A．－2B．0C．1D．2解析：由得a－2an＝0，又an≠0，∴an＝2，S2n－1－4n＝2(2n－1)－4n＝－2.答案：A二、填空题5．在数列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＋2－an＝1＋(－1)n，那么S100的值等于________．解析：本题考查数列通项公式的应用；据已知当n为奇数时，an＋2－an＝0⇒an＝1，当n为偶数时，an＋2－an＝2⇒an＝n，故an＝，故S100＝(1＋1＋…＋)＋(2＋4＋6＋…＋100)＝50＋50×＝2600.答案：26006．设数列{an}是公差不为零的等差数列，Sn是数列{an}的前n项和，且S＝9S2，S4＝4S2，则数列{an}的通项公式为________．解析：设等差数列{an}的公差为d，由Sn＝na1＋d及已知条件得(3a1＋3d)2＝9(2a1＋d)①4a1＋6d＝4(2a1＋d)②由②得d＝2a1，代入①有a＝a1，解得a1＝0或a1＝.当a1＝0时，d＝0，舍去．因此a1＝，d＝.故数列{an}的通项公式an＝＋(n－1)·＝(2n－1)．答案：an＝(2n－1)7．一个多边形的周长等于158cm，所有各边的长成等差数列，最大边长等于44cm，公差等于3cm，则多边形的边数等于________．解析：按从小到大的顺序各边的长构成的等差数列记为{an}，根据已知条件Sn＝nan－d，即44n－＝158，整理得：3n2－91n＋316＝0，解得：n＝4或n＝26(舍去)．答案：4三、解答题8．已知数列{an}的前n项和为Sn，判断满足下列条件的数列是否是等差数列：(1)Sn＝n2；(2)Sn＝n2＋n＋1.解答：(1)当n＝1时，a1＝S1＝1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1，∴an＝2n－1，(n∈N*)．又an＋1－an＝(2n＋1)－(2n－1)＝2，因此{an}成等差数列．(2)当n＝1时，a1＝S1＝3，当n＝2时，S2＝7，a2＝S2－S1＝4，当n＝3时，S3＝13，a3＝S3－S2＝6，∵a2－a1≠a3－a2.因此数列{an}不是等差数列．9．已知数列{log2(an－1)}(n∈N*)为等差数列，且a1＝3，a3＝9.(1)求数列{an}的通项公式；(2)证明＋＋…＋＜1.解答：(1)设等差数列{log2(an－1)}的公差为d，则有d＝＝1，∴log2(an－1)＝log2(a1－1)＋n－1＝n.则an＝2n＋1.(2)证明：∵an＝2n＋1，∴an＋1－an＝(2n＋1＋1)－(2n＋1)＝2n.因此＋＋…＋＝＋＋…＋＝＝1－＜1.10.已知数列{an}的前n项和为Sn，an0，a1＝12，且满足Sn＝.试证明{an}为等差数列，并求{an}的通项公式．证明：当n≥2时，Sn＝，①Sn－1＝，②①－②整理得：(an－an－1－2)(an＋an－1)＝0，又an0，则an－an－1－2＝0，即an－an－1＝2，因此{an}为等差数列，an＝a1＋2(n－1)＝2n＋10.1．已知△ABC内有2005个点，其中任意三点不共线，把这2005个点加上△ABC的三个顶点是2008个顶点，组成互不相叠的小三角形，则一共可组成小三角形的个数为(　　)A．2004B．2009C．4011D．4013解析：如图，在△ABC内若有1,2,3点，则可组成小三角形的个数分别为3,5,7个，可观察出，若在△ABC内有n个点，可组成小三角形的个数记为an，则an＋1－an＝2，因此{an}为首项为a1＝3，公差为d＝2的等差数列，a2005＝a1＋2004d＝4011.答案：C2．在等差数列{an}中，公差d≠0，a2是a1与a4的等比中项，已知数列a1，a3，ak1，ak2，…，akn，…成等比数列，求数列{kn}的通项kn.解答：解法一：∵等差数列{an}中，a＝a1a4，即(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，整理得d2＝a1d.又d≠0，a1＝d，∴an＝a1＋(n－1)d＝nd.又a1，a3，ak1，ak2，…，akn，…成等比数列．q＝＝3，akn＝a1＋(kn－1)d＝knd，又akn＝a1·3n＋1＝3n＋1d，∴kn＝3n＋1.解法二：由已知条件a＝a1a4，即(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，整理得d2＝a1d，又d≠0，则a1＝d，因此an＝a1＋(n－1)d＝nd，∴akn＝knd.又{akn}成等比数列，则，即＝3，∴{kn}成等比数列，kn＝3n＋1.