最新人教版高中数学选修一第一单元《空间向量与立体几何》测试题(含答案解析)

一、选择题1．在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M,N分别为BD1,B1C1的中点，点P在正方体的表面上运动，且满足MPCN，则下列说法正确的是（）A．点P可以是棱BB1的中点C．点P的轨迹是正方形B．线段MP的最大值为32D．点P轨迹的长度为2+52．如图，在三棱锥OABC中，点D是棱AC的中点，若OAa，OBb，OCc，则BD等于（）A．11abc22B．abcC．abcD．11abc223．在空间直角坐标系中，已知A1,2,3，B1,0,4，C3,0,5，D4,1,3，则直线AD与BC的位置关系是（）A．平行B．垂直C．相交但不垂直D．无法判定4．如图，在四面体OABC中，G1是ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG2GG1，若OGxOAyOBzOC，则(x,y,z)为（）A．(,1211,)22B．(,D．(,2322,)3322,)99C．(,,)111333295．已知a1,2,3,b(3,0,1),c(,1,)给出下列等式：①abcabc；②(ab)ca(bc)；③(abc)2abc④(ab)ca(bc).其中正确的个数是A．1个B．2个C．3个D．4个6．在底面为锐角三角形的直三棱柱ABCA1B1C1中，D是棱BC的中点，记直线B1D与直线AC所成角为1，直线B1D与平面A1B1C1所成角为2，二面角C1A1B1D的平面角为3，则（）A．21,232221535B．21,23C．21,23D．21,237．已知e1，e2是夹角为60的两个单位向量，则ae1e2与be12e2的夹角是（）A．60B．120C．30D．908．如图，平行六面体中ABCDA1B1C1D1中，各条棱长均为1，共顶点A的三条棱两两所成的角为60°，则对角线BD1的长为（）A．1B．2C．3D．29．在空间直角坐标系Oxyz中，O(0,0,0),E(22,0,0),F(0,22,0)，B为EF的中点，C为空间一点且满足|CO||CB|3，若cosEF,BCA．9B．7C．51，，则OCOF（）6D．310．棱长为1的正四面体ABCD中，点E，F分别是线段BC，AD上的点，且满足11BEBC，AFAD，则AECF（）34A．1324B．12C．12D．132411．如图所示，直三棱柱ABCA1B1C1的侧棱长为3，底面边长A1C1B1C11，且A1C1B190，D点在棱AA1上且AD2DA1，P点在棱C1C上，则PDPB1的最小值为（）A．52B．14C．14D．5212．已知在四面体ABCD中，点M是棱BC上的点，且BM3MC，点N是棱AD的中点，若MNxAByACzAD其中x,y,z为实数，则xyz的值是（）A．12B．12C．－2D．213．以下四个命题中正确的是（）A．空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示B．若a,b,c为空间向量的一组基底，则ab,bc,ca构成空间向量的另一组基底C．ABC为直角三角形的充要条件是ABAC0D．任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一个基底二、填空题14．三棱锥OABC中，OA、OB、OC两两垂直，且OAOBOC.给出下列四个命题：①OAOBOC3OA；22②BCCACO0；③OAOB和CA的夹角为60；1ABACBC.6其中所有正确命题的序号为______________.④三棱锥OABC的体积为15．在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，BCAA11，则D1C1与平面A1BC1所成角的正弦值为______________．16．在空间直角坐标系中，A2,1,1,B3,4,,C2,7,1,若ABCB,则=____17．ABC的三个顶点分别是A(1,1,2)，B(5,6,2)，C(1,3,1)，则AC边上的高BD长为__________．18．在空间直角坐标系Oxyz中，已知A(1,0,2)，B(0,1,1)，点C,D分别在x轴，y轴上，且ADBC，那么CD的最小值是______.19．已知向量a2,1,3，b1,k,取值范围是__________．20．如图，在空间四边形OABC中，M，N分别为OA、BC的中点，点G在线段MN上，且MG3GN，用向量OA、OB、OC表示向量OG，设3，若向量a、b的夹角为钝角，则实数k的2OGxOAyOBzOC，则x、y、z的和为______.21．若平面，的法向量分别为u(4,0,3)，v(1,1,0)，则这两个平面所成的锐角的二面角的余弦值为________.22．已知a(2,1,3)，b(4,2,x)，c(1,x,2)，若abc，是x________.23．如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，以顶点A为顶点的三条棱的长均为2，且两两所成角均为60°，则|AC1|__________.24．如图，在正四棱锥VABCD中，二面角VBCD为60°，E为BC的中点.已知F为直线VA上一点，且F与A不重合，若异面直线BF与VE所成角为60°，则VF=_____________.VA25．如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AB，AC，AA1两两互相垂直，AA12AB2AC，M，N是线段BB1，CC1上的点，平面AMN与平面ABC所成（锐）二面角为，当B1M最小时，AMB__________.326．已知四棱柱ABCDA1BC1D1的底面ABCD是矩形，AB5，AD3，AA14，BAA1DAA160，则AC1________.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】在正方体ABCDA1B1C1D1中，以点D为坐标原点，分别以DA、DC、DD1方向为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系，根据MPCN，确定点P的轨迹，在逐项判断，即可得出结果.【详解】在正方体ABCDA1B1C1D1中，以点D为坐标原点，分别以DA、DC、DD1方向为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系，因为该正方体的棱长为1，M,N分别为BD1,B1C1的中点，则D0,0,0，M,,，N1112221,1,1，C0,1,0，21111CN,0,1MPx,y,zPx,y,z所以，则，设，2222因为MPCN，所以11113xz0z，，当时，；当x0时，z；x12x4z30222441133E1,0,F1,1,G0,1,H0,0,取，，，，4444连接EF，FG，GH，HE，则EFGH0,1,0，EHFG1,0,所以四边形EFGH为矩形，则EFCN0，EHCN0，即EFCN，EHCN，又EF1，2EHE，且EF平面EFGH，EH平面EFGH，111111,,，MG,,，所以M为EG中点，则M平面224224所以CN平面EFGH，又EMEFGH，所以，为使MPCN，必有点P平面EFGH，又点P在正方体的表面上运动，所以点P的轨迹为四边形EFGH，因此点P不可能是棱BB1的中点，即A错；又EFGH1，EHFG5，所以EFEH，则点P的轨迹不是正方形；2且矩形EFGH的周长为22525，故C错，D正确；25，故B错.2因为点M为EG中点，则点M为矩形EFGH的对角线交点，所以点M到点E和点G的距离相等，且最大，所以线段MP的最大值为故选：D.【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量的方法，由MPCN，求出动点轨迹图形，即可求解.2．A解析：A【分析】利用空间向量的加法和减法法则可得出BD关于a、b、c的表达式.【详解】ODOAADOA1111ACOAOCOAOAOC，2222因此，BDODOB故选：A.【点睛】1111OAOBOCabc.2222本题考查利用基底表示空间向量，考查计算能力，属于中等题.3．B解析：B【分析】根据题意，求得向量AD和BC的坐标，再结合空间向量的数量积的运算，即可得到两直线的位置关系，得到答案.【详解】由题意，点A1,2,3，B1,0,4，C3,0,5，D4,1,3，可得AD3,1,6，BC2,0,1，又由ADBC2310610，所以ADBC，所以直线AD与BC垂直.故选：B.【点睛】本题主要考查了空间向量的数量积的运算及其应用，其中解答中熟记空间向量的坐标运算，以及空间向量的数量积的运算是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.4．D解析：D【分析】根据空间向量线性运算进行计算，用OA,OB,OC表示出OG．【详解】因为E是BC中点，所以OE1(OBOC)，22AE，3G1是ABC的重心，则AG1所以AG122AE(OEOA)，33因为OG2GG1所以2224OGOG1(OAAG1)OA(OEOA)33392422222OAOEOA(OBOC)OAOBOC，9999999若OGxOAyOBzOC，则xyz故选：D．【点睛】本题考查空间的向量的线性运算，掌握向量线性运算的运算法则是解题关键．2．95．D解析：D【详解】由题设可得abc(197635635,3,)，则abc；55255923635abc(,1,)，abc，则①正确；5525因(ab)c(4,2,2)(,1,)15354620，551481424a(bc)(1,2,3)(,1,)20，故②正确；5555又因(abc)2222635127357222，，而a14,b10,c2552557127，即③正确；55所以abc24又ab3030，则(ab)c0，而bc故选：D．3300，故a(bc)0，也即④正确.556．A解析：A【分析】以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，分别求出直线的方向向量以及平面的法向量，通过向量法即可求得各个角度的余弦值，再结合余弦函数的单调性即可判断.【详解】由题可知，直三棱柱ABCA1B1C1的底面为锐角三角形，D是棱BC的中点，设三棱柱ABCA1B1C1是棱长为2的正三棱柱，以A为原点，在平面ABC中，过A作AC的垂线为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，33A(0,0,0)，则A1(0,0,2)，B1(3,1,2)，C(0,2,0)，D2,2,0，31BD,,2AC(0,2,0)，122，A1B1(3,1,0)，因为直线B1D与直线AC所成的角为1，10,2，cos1|B1DAC|1，|B1D||AC|25，2因为直线B1D与平面A1B1C1所成的角为2，20,平面A1B1C1的法向量n0,0,1，2|B1Dn|221sin2，cos21，|B1D|n∣555设平面A1B1D的法向量m(a,b,c)，mA1B13ab0则，31ab2c0mB1D22取a3，得m3,3,3，2因为二面角C1A1B1D的平面角为3，由图可知，