空间向量与立体几何测试题与答案

高中数学选修（2-1）空间向量与立体几何测试题一、选择题1．若把空间平行于同一平面且长度相等的所有非零向量的始点放置在同一点，则这些向量的终点构成的图形是（）Ａ．一个圆Ｂ．一个点Ｃ．半圆Ｄ．平行四边形答案：Ａuuuur2．在长方体ABCDA1B1C1D1中，下列关于AC1的表达中错误的一个是（）uuuruuuuruuuurＡ．AA1A1B1A1D1uuuruuuuruuuuurADCCDCＣ．111uuuruuuuruuuuurＢ．ABDD1D1C1uruuuuruuuur1uuuＤ．(AB1CD1)AC112答案：Ｂ3．若a，b，c为任意向量，mR，下列等式不一定成立的是（）Ａ．(ab)ca(bc)Ｂ．(ab·)ca·cb·cＣ．m(ab)mambＤ．(a·b·)ca·(b·c)答案：Ｄuuuruuuruuur4．若三点A，B，C共线，P为空间任意一点，且PAPBPC，则的值为（）Ａ．1Ｂ．1Ｃ．12Ｄ．2答案：Ｂ5．设a(x，4，，3)b(3，2，z)，且a∥b，则xz等于（）Ａ．4答案：ＢuuuruuuruuurAC2e28e2，AD3e13e2，则四点6．已知非零向量e1，e2不共线，如果ABe1e2，Ｂ．9Ｃ．9Ｄ．649A，B，C，D（）Ａ．一定共圆Ｂ．恰是空间四边形的四个顶点心Ｃ．一定共面Ｄ．肯定不共面答案：Ｃ7．如图1，空间四边形ABCD的四条边及对角线长都是a，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点，则a2等于（）uuuruuurＡ．2BA·ACuuuruuurＣ．2FG·CAuuuruuurＢ．2AD·BDuuuruuurＤ．2EF·CB答案：Ｂ8．若ae1e2e3，be1e2e3，ce1e2e3，de12e23e3，且dxaybzc，则x，y，z的值分别为（）51Ａ．，，122答案：Ａ51Ｂ．，，12251Ｃ．，，12251Ｄ．，，12289．若向量a(1，，2)与b(2，1，2)的夹角的余弦值为，则（）9Ａ．2答案：Ｃ10．已知ABCD为平行四边形，且A(413)则顶点D的坐标为（），，，B(2，51)，，C(3，7，5)，74，1Ａ．，2答案：ＤＢ．2Ｃ．2或255Ｄ．2或255Ｂ．(2，4，1)Ｃ．(2141)，，Ｄ．(513，，3)11．在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为AC，BD的交点，则C1O与A1D所成角的（）Ａ．60°Ｂ．90°Ｃ．arccos33Ｄ．arccos36答案：Ｄ12．给出下列命题：①已知ab，则a·(bc)c·(ba)b·c；uuuruuuuruuur，BM，BN不构成空间的一个基底，②A若BA那么A，B，M，N为空间四点，，B，M，N共面；③已知ab，则a，b与任何向量都不构成空间的一个基底；④若a，b共线，则a，b所在直线或者平行或者重合．正确的结论的个数为（）Ａ．1Ｂ．2Ｃ．3Ｄ．4答案：Ｃ二、填空题13．已知a(315)向量c与z轴垂直，且满足c则c．，，，b(1，2，3)，·a9，c·b4，2221答案：，，055uuur1uuur2uuuruuur14．已知A若由向量OPOAOBOC确，B，C三点不共线，O为平面ABC外一点，53定的点P与A，B，C共面，那么．答案：21515．已知线段AB面，BC，CDBC，DF面于点F，DCF30°，且D，A在平面的同侧，若ABBCCD2，则AD的长为．答案：2216．在长方体ABCDA1B1C1D1中，B1C和C1D与底面所成的角分别为60°和45°，则异面直线B1C和C1D所成角的余弦值为．答案：64三、解答题17．设a12ijk，a2i3j2k，a32ij3k，a43i2j5k，试问是否存在实数，，，使a4a1a2a3成立？如果存在，求出，，；如果不存在，请写出证明．答案：解：假设a4a1a2a3成立．∵a1(2，11)，，a2(13，，2)，a3(21，，3)，a4(3，2，5)，∴(22，3，23)(3，2，5)．223，2，∴32，，解得1235，3．所以存在2，1，v3使得a42a1a23a3．理由即为解答过程．18．如图2，正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为a，侧棱长为2a，求AC1与侧面ABB1A1所成的角．解：建立如图所示的空间直角坐标系，3a0，，0)B(0，a，，0)A1(0，0，2a)，C1a，，2a则A(0，2．2由于n(1，0，0)是面ABB1A1的法向量，3uuuurauuuuruuuurAC1·n12cosAC1，nuuuuAC1，n60°．r3a2AC1n故AC1与侧面ABB1A1所成的角为30°．19．如图3，直三棱柱ABCA1B1C1中，底面是等腰直角三角形，ACB90°，侧棱AA12，D，E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G，求点A1到平面AED的距离．解：建立如图所示的空间直角坐标系，设CA2a，2a2a10，，0)B(0，2a，，0)D(0，0，1)，A1(2a，0，，2)E(a，a，1)，G，，．则A(2a，333uuuraa2uuurBD(0，2a，1)．从而GE，，，333uuuruuurGEBDGE·BD0，得a1，由则A1(2，0，，2)A(2，0，，0)E(111)，，．自A1作A1H面AED于M，并延长交xOy面于H，设H(x，y，0)，uuuur2)．则A1H(x2，y，uuuruuurAE(111)，，．0，1)，又AD(2，，AHAD，2(x2)20，x1由1得H(11，，0)．AHAE(x2)y20y1，1uuuruuuuruuuruuuur426·cosA1A，A1H2又A1MA1A．·cosA1A，A1MA1A32620．已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，且PQ2，P，Q分别是BC，CD上的动点，确定P，Q的位置，使QB1PD1．解：建立如图所示的空间直角坐标系，设BPt，得CQ2(2t)2，DQ22(2t)2．那么B1(2，0，，2)D1(0，2，，2)P(2，，，t0)Q(22(2t)2，2，0)，uuuuruuuur22t，2)，从而QB1(2(2t)，2，2)，PD1(2，uuuuruuuurQBPDQB·PD由11110，即22(2t)22(2t)40t1．故P，Q分别为BC，CD的中点时，QB1PD1．21．如图4，在底面是直角梯形的四棱锥SABCD中，ABC90°，SA面ABCD，SAABBC1，AD1，求面SCD与面SBA所成二面角的正切2值．解：建立如图所示的空间直角坐标系，10，，0)B(1，0，，0)C(11，，，0)D0，，0，S(0，0，1)．则A(0，2延长CD交x轴于点F，易得F(1，0，0)，作AESF于点E，连结DE，则DEA即为面SCD与面SBA所成二面角的平面角．110，，又由于SAAF且SAAF，得E，22uuur1r1111uuu0，，ED，，，那么EA，22222uuuruuuruuuruuurEA·ED6从而cosEA，，EDuuuruuur3EAEDuuuruuur2因此tanEAF，．ED2故面SCD与面SBA所成二面角的正切值为2．222．平行六面体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且C1CBC1CDBCD，试问：当CD的值为多少时，A1C面C1BD？请予以证明．CC1解：欲使A1C面C1BD，只须ACC1D，且ACC1B．11uuuruuuur·C1D0，欲证ACC1D，只须证CA11uuuruuuruuuruuuur)(CDCC1)0，即(CAAA1·uuuruuuruuuuruuuruuuur)(CDCC1)0，也就是(CDCBCC1·uuur2uuuur2uuuruuuruuuruuuur即CDCC1CBCDcosBCDCBCC1cosC1CB0．由于C1CBBCD，uuuruuuur显然，当CDCC1时，上式成立；uuuruuuur同理可得，当CDCC1时，ACC1B．1因此，当一.选择题：(10小题共40分)1.已知A、B、C三点不共线，对平面ABC外的任一点O,下列条件中能确定点M与点A、B、C一定共面的是()A.OMOAOBOCC.OMOAB.OM2OAOBOCD.OMCD1时，A1C面C1BD．CC111OBOC23111OAOBOC333()2.直三棱柱ABC—A1B1C1中，若CAa,CBb,CC1C,则A1BA.abcB.abcC.abcD.abc3.若向量m垂直向量a和b,向量nab(,R且、0)则A.m//n能B.mnC.m不平行于n,m也不垂直于n()D.以上三种情况都可4.以下四个命题中,正确的是()A.若OP11OAOB,则P、Ａ、Ｂ三点共线23B.设向量{a,b,c}是空间一个基底，则{a+b，b+c，c+a}构成空间的另一个基底C.(ab)cabcD.△ABC是直角三角形的充要条件是ABAC05.对空间任意两个向量a,b(bo),a//b的充要条件是A.abB.abC.baD.abD.180°()()6.已知向量a(0,2,1),b(1,1,2),则a与b的夹角为A.0°B.45°C.90°7.在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若A1B1a,A1D1b,A1Ac，则下列向量中与B1M相等的是()A.1111111111abcB.abcC.abcD.-abc2222222222()8.已知a(1,0,2),b(6,21,2),若a//b,则与的值分别为A.,1152B.5，2C.11,52D.-5，-2()9.已知a3i2jk,bij2k,则5a与3b的数量积等于A.-15B.-5C.-3D.-110.在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M和N分别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值是()A.25B.25C.35D.1010二.填空题:(4小题共16分)11.若A(m+1,n-1,3),B(2m,n,m-2n),c(m+3,n-3,9)三点共线，则m+n=.12.已知A（0，2，3），B（-2，1，6），C（1，-1，5），若|a|3,且aAB,aAC,则向量a的坐标为.13.已知a,b是空间二向量，若|a|3,|b|2,|ab|7,则a与b的夹角为.14.已知点G是△ABC的重心，O是空间任一点，若OAOBOCOG,则的值为.三.解答题:(10+8+12+14=44分)15.如图：ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD，M、N分别是PC、AB中点，(1)求证：MN⊥平面PCD；(2)求NM与平面ABCD所成的角的大小.16.一条线段夹在一个直二面角的两个面内，它和两个面所成的角都是300，求这条线段与这个二面角的棱所成的角的大小.17.正四棱锥S—ABCD中，所有棱长都是2，P为SA的中点，如图