第六篇 数列第3讲 等比数列及其前n项和

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第3讲等比数列及其前n项和基础梳理1.等比数列的定义如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母q表示.2.等比数列的通项公式设等比数列{an}的首项为a1,公比为q,则它的通项an=a1·qn-1.3.等比中项若G2=a·b(ab≠0),那么G叫做a与b的等比中项.4.等比数列的常用性质(1)通项公式的推广:an=am·qn-m,(n,m∈N+).(2)若{an}为等比数列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N+),则ak·al=am·an.(3)若{an},{bn}(项数相同)是等比数列,则{λan}(λ≠0),,{a},{an·bn},仍是等比数列.(4)公比不为-1的等比数列{an}的前n项和为Sn,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比数列,其公比为qn.5.等比数列的前n项和公式等比数列{an}的公比为q(q≠0),其前n项和为Sn,当q=1时,Sn=na1;当q≠1时,Sn==.一个推导利用错位相减法推导等比数列的前n项和:Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1,同乘q得:qSn=a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn,两式相减得(1-q)Sn=a1-a1qn,∴Sn=(q≠1).两个防范(1)由an+1=qan,q≠0并不能立即断言{an}为等比数列,还要验证a1≠0.(2)在运用等比数列的前n项和公式时,必须注意对q=1与q≠1分类讨论,防止因忽略q=1这一特殊情形导致解题失误.三种方法等比数列的判断方法有:(1)定义法:若=q(q为非零常数)或=q(q为非零常数且n≥2且n∈N*),则{an}是等比数列.(2)中项公式法:在数列{an}中,an≠0且a=an·an+2(n∈N*),则数列{an}是等比数列.(3)通项公式法:若数列通项公式可写成an=c·qn(c,q均是不为0的常数,n∈N*),则{an}是等比数列.注:前两种方法也可用来证明一个数列为等比数列.双基自测1.(人教A版教材习题改编)在等比数列{an}中,如果公比q<1,那么等比数列{an}是().A.递增数列B.递减数列C.常数列D.无法确定数列的增减性解析当a1>0,0<q<1,数列{an}为递减数列,当q<0,数列{an}为摆动数列.答案D2.已知{an}是等比数列,a2=2,a5=,则公比q等于().A.-B.-2C.2D.解析由题意知:q3==,∴q=.答案D3.在等比数列{an}中,a4=4,则a2·a6等于().A.4B.8C.16D.32解析由等比数列的性质得:a2a6=a=16.答案C4.设Sn为等比数列{an}的前n项和,8a2+a5=0,则=().A.-11B.-8C.5D.11解析设等比数列的首项为a1,公比为q.因为8a2+a5=0,所以8a1q+a1q4=0.∴q3+8=0,∴q=-2,∴=·===-11.答案A5.(2011·广东)等差数列{an}前9项的和等于前4项的和.若a1=1,ak+a4=0,则k=________.解析设{an}的公差为d,由S9=S4及a1=1,得9×1+d=4×1+d,所以d=-.又ak+a4=0,所以+]=0,即k=10.答案10考向一等比数列基本量的计算【例1】(2011·全国)设等比数列{an}的前n项和为Sn,已知a2=6,6a1+a3=30.求an和Sn.[审题视点]列方程组求首项a1和公差d.解设{an}的公比为q,由题设得解得或当a1=3,q=2时,an=3·2n-1,Sn=3·(2n-1);当a1=2,q=3时,an=2·3n-1,Sn=3n-1.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题,数列中有五个量a1,n,q,an,Sn一般可以“知三求二”,通过列方程(组)可迎刃而解.【训练1】等比数列{an}满足:a1+a6=11,a3·a4=,且公比q∈(0,1).(1)求数列{an}的通项公式;(2)若该数列前n项和Sn=21,求n的值.解(1)∵a3·a4=a1·a6=,又a1+a6=11,故a1,a6看作方程x2-11x+=0的两根,又q∈(0,1)∴a1=,a6=,∴q5==,∴q=,∴an=·n-1=·n-6.(2)由(1)知Sn==21,解得n=6.考向二等比数列的判定或证明【例2】(2012·长沙模拟)已知数列{an}满足a1=1,a2=2,an+2=,n∈N*.(1)令bn=an+1-an,证明:{bn}是等比数列;(2)求{an}的通项公式.[审题视点]第(1)问把bn=an+1-an中an+1换为整理可证;第(2)问可用叠加法求an.(1)证明b1=a2-a1=1.当n≥2时,bn=an+1-an=-an=-(an-an-1)=-bn-1,∴{bn}是以1为首项,-为公比的等比数列.(2)解由(1)知bn=an+1-an=n-1,当n≥2时,an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=1+1++…+n-2=1+=1+=-n-1.当n=1时,-1-1=1=a1,∴an=-n-1(n∈N*).证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法,其他方法只用于选择、填空题中的判定;若证明某数列不是等比数列,则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.【训练2】(2011·四川)设d为非零实数,an=[Cd+2Cd2+…+(n-1)Cdn-1+nCdn](n∈N*).(1)写出a1,a2,a3并判断{an}是否为等比数列.若是,给出证明;若不是,说明理由;(2)设bn=ndan(n∈N*),求数列{bn}的前n项和Sn.解(1)由已知可得a1=d,a2=d(1+d),a3=d(1+d)2.当n≥2,k≥1时,C=C,因此an=Cdk=Cdk=dCdk=d(d+1)n-1.由此可见,当d≠-1时,{an}是以d为首项,d+1为公比的等比数列;当d=-1时,a1=-1,an=0(n≥2),此时{an}不是等比数列.(2)由(1)可知,an=d(d+1)n-1,从而bn=nd2(d+1)n-1Sn=d2[1+2(d+1)+3(d+1)2+…+(n-1)(d+1)n-2+n(d+1)n-1].①当d=-1时,Sn=d2=1.当d≠-1时,①式两边同乘d+1得(d+1)Sn=d2[(d+1)+2(d+1)2+…+(n-1)(d+1)n-1+n(d+1)n].②①,②式相减可得-dSn=d2[1+(d+1)+(d+1)2+…+(d+1)n-1-n(d+1)n]=d2.化简即得Sn=(d+1)n(nd-1)+1.综上,Sn=(d+1)n(nd-1)+1.考向三等比数列的性质及应用【例3】已知等比数列前n项的和为2,其后2n项的和为12,求再后面3n项的和.[审题视点]利用等比数列的性质:依次n项的和成等比数列.解∵Sn=2,其后2n项为S3n-Sn=S3n-2=12,∴S3n=14.由等比数列的性质知Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等比数列,即(S2n-2)2=2·(14-S2n)解得S2n=-4,或S2n=6.当S2n=-4时,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…是首项为2,公比为-3的等比数列,则S6n=Sn+(S2n-Sn)+…+(S6n-S5n)=-364,∴再后3n项的和为S6n-S3n=-364-14=-378.当S2n=6时,同理可得再后3n项的和为S6n-S3n=126-14=112.故所求的和为-378或112.本题利用了等比数列的性质中的第4条,其和Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等比数列,若把数列{an}平均分成若干组,其积也为等比数列.【训练3】(2011·北京)在等比数列{an}中,若a1=,a4=-4,则公比q=________;|a1|+|a2|+…+|an|=________.解析设等比数列{an}的公比为q,则a4=a1q3,代入数据解得q3=-8,所以q=-2;等比数列{|an|}的公比为|q|=2,则|an|=×2n-1,所以|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=(1+2+22+…+2n-1)=(2n-1)=2n-1-.答案-22n-1-

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