两角和与差的余弦教案(优质教案)

第三章三角恒等变换第1节两角和与差的余弦一、三维目的：1、知识与技能：（1）、理解两角和与差的余弦公式的推导过程；（2）、掌握两角和与差的余弦公式初步应用（公式的正用和逆用）；（3）、着重培养学生的代换、演绎、数形结合及逆向思维等数学思想方法。2、过程与方法：启发、讲练结合，合作交流，突破难点。3、情感、态度与价值观：培养学生的探索与创新意识，激发学生学习兴趣，提高学生解题的灵活性。教学重点:余弦的差角公式的推导和应用.教学难点:余弦的差角公式的推导.二、教学过程：（一）问题情境(问题一)我们已经知道30°、45°、60°等特殊角的三角函数值，不查表如何求诸如cos75°、cos15°的值呢？设问（1）cos75°＝cos（45°＋30°）与cos45°＋cos30°是否相等？（2）cosl5°＝cos（45°－30°）与cos45°－cos30°是否相等？cos（45°±30°）≠cos45°±cos30°，那么cos（45°±30°）＝？，今天我们就来研究这个问题。（板书课题）[问题二]：一般地,cos()coscos,那么cos能否用的三角函数与的三角函数来表示?如何表示?我们可以把cos()看成是两个向量夹角的余弦，考虑用向量的数量积来研究。在直角坐标系xOy中,以Ox轴为始边分别作角,,其终边分别与单位圆交于Pcos,sin,Pcos,sin,则12POP,12设向量aOP1；bOP2则ababcos=；abxx12yy12=；二、建构数学：1、两角差的余弦公式coscoscossinsinC〖思考〗在直角坐标系xOy中,单位圆O与x轴交于P,以Ox为始边分别作出角,,,其终边分别和0单位圆交于P,P,P,由,你能否导出两角12差的余弦公式?PPPP30321因为中可以是任意角，所以在用代可以得公式：2、两角和的余弦公式coscoscossinsinC对两角和与差的余弦公式的几点说明：（1）这两个公式告诉我们：利用任意角、的正弦和余弦可以求出或的余弦；（2）公式中出现的、以及、都是任意角；（3）公式的结构特征：左边是复角(或)的余弦，右边是关于单角的余弦积与正弦积的和（或差），公式两边在符号上正好相异。三、数学应用：例1：利用两角和(差)的余弦公式证明诱导公式:cossin2（，）(,问题：以2代替上述诱导公式的,得到何种形式的公式呢?得到：sincos2例2：利用两角和与差的余弦公式，求cos15°，cos75°的值.公式的正用：直接套用公式，将非特殊角转化为特殊角的和差进行求值，重在一题多解，灵活多变。练习：求sin15°，tan15的值。例3：已知sin2,,3,,3,求cos.,cos3252提问:能否再求sin(),tan()的值呢?例4:求值：cosl8°cos42°－sinl8°sin42°.解：cosl8°cos42°－sinl8°sin42°＝cos（18°＋42°）＝cos60°＝12公式的逆用：注意观察，通过动脑、动手练习，加深对公式的理解和自然记忆，明确公式逆用的好处在于简化运算。例5:已知cos()15,为钝角，求cos317分析：()，根据公式只要求出sin()；333解：2)2363cos()8sin()8317317coscos[()]33cos()cossin()sin333334注：解题时要注意到与特殊角的关系。问：若上题条件中该为锐角，结果如何？158344分析：若(0,),则(,)2336则sin()应有两种情况，因此，cos也应该有两种情况。（练习）3答案：cos34例6:已知cos=1，cos()=-47，0,,求cos.17512提示：拆角思想:coscos().例7:已知cos(447,2,)=，cos(5-3,求cos2)=-，且+5提示：拆角思想:cos2cos()().四、当堂反馈：练习：化简下列各式:（1）（2）（3）cos（80°＋2）cos（5°＋2）＋sin（80°＋2）sin（5°＋2）（4）－cos100°cos10°－sin80°sin10°(5)已知tan3,sin12,,(0,90),求cos()的值.413五、回顾反思：本节课，我们利用已学过的知识构造图形，并运用数形结合的思想，推导了两角差的余弦公式，用代换思想推导了两角和的余弦公式，并对公式进行了初步的应用,在以后的学习中我们将对公式的应用进行更深入的探讨。六、课后研学：书本P94习题3.1（1）第1,2,3,题1583