同济大学___高数上册知识点

高等数学（上）期末复习要点第1页共9页高等数学上册复习要点一、函数与极限（一）函数1、函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）；2、反函数、复合函数、函数的运算；3、初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数；4、函数的连续性与间断点；函数f(x)在x0连续limxx0f(x)f(x)0第一类：左右极限均存在.间断点可去间断点、跳跃间断点第二类：左右极限、至少有一个不存在.无穷间断点、振荡间断点5、闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定理及其推论.（二）极限1、定义1）数列极限limxnna0,N,nN,xna2）函数极限limf(x)A0,0,x,当0xxxx00时，f(x)A左极限：f(x)limf(x)右极限：f(x)limf(x)0xx0xx00高等数学（上）期末复习要点第2页共9页limf(x)A存在f(x)f(x)xx0002、极限存在准则1）夹逼准则：1）ynxznn(nn)02）limylimzalimxannnnnn2）单调有界准则：单调有界数列必有极限.3、无穷小（大）量1）定义：若lim0则称为无穷小量；若lim则称为无穷大量.2）无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k阶无穷小Th1~o();Th2~,~,lim存在，则limlim（无穷小代换）4、求极限的方法1）单调有界准则；2）夹逼准则；3）极限运算准则及函数连续性；4）两个重要极限：sinx11a)lim1b)lim(1x)xlim(1)xex0xx0xx5）无穷小代换：（x0）a)x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx1b)1cosx~2x2高等数学（上）期末复习要点第3页共9页0c)ex1~x（ax1~xlna）d)ln(1x)~x（log(1x)~xlna）e)(1x)1~x二、导数与微分（一）导数1、定义：f(x)0limxx0f(x)f(x)xx0左导数：f(x)0limxx0f(x)f(x)0xx0右导数：f(x)0limxx0f(x)f(x)0xx0函数f(x)在x点可导f(x0)f(x)02、几何意义：f(x0)为曲线yf(x)在点x,f(x)00处的切线的斜率.3、可导与连续的关系：4、求导的方法1）导数定义；2）基本公式；3）四则运算；4）复合函数求导（链式法则）；5）隐函数求导数；6）参数方程求导；7）对数求导法.5、高阶导数a0高等数学（上）期末复习要点第4页共9页d2yddy1）定义：dx2dxdxn2）Leibniz公式：uv(n)Cku(k)v(nk)n（二）微分k01）定义：yf(xx)f(x)Axo(x)，其中A与x无关.002）可微与可导的关系：可微可导，且dyf(x)xf(x)dx00三、微分中值定理与导数的应用（一）中值定理1、Rolle罗尔定理：若函数f(x)满足：1）f(x)C[a,b]；2）f(x)D(a,b)；3）f(a)f(b)；则(a,b),使f()0.2、Lagrange拉格朗日中值定理＊：若函数f(x)满足：1）f(x)C[a,b]；2）f(x)D(a,b)；则(a,b),使f(b)f(a)f()(ba).3、Cauchy柯西中值定理：若函数f(x),F(x)满足：1）f(x),F(x)C[a,b]；2）f(x),F(x)D(a,b)；3）F(x)0,x(a,b)则(a,b),使f(b)f(a)f()F(b)F(a)F()（二）洛必达法则（三）Taylor公式高等数学（上）期末复习要点第5页共9页11（四）单调性及极值1、单调性判别法：f(x)C[a,b]，f(x)D(a,b)，则若f(x)0，则f(x)单调增加；则若f(x)0，则f(x)单调减少.2、极值及其判定定理：a)必要条件：f(x)在x可导，若x为f(x)的极值点，则f(x)0.000b)第一充分条件：f(x)在x的邻域内可导，且f(x)0，则①若当xx000时，f(x)0，当xx时，f(x)0，则x为极大值点；②若当xx000时，f(x)0，当xx时，f(x)0，则x为极小值点；③若在x的000两侧f(x)不变号，则x不是极值点.0c)第二充分条件：f(x)在x处二阶可导，且f(x)0，f(x)0，则000①若f(x)0，则x为极大值点；②若f(x)0，则x为极小值点.00003、凹凸性及其判断，拐点1）f(x)在区间I上连续，若x,xI,f(xx2)f(x1)f(x)2，则称f(x)在1222区间I上的图形是凹的；若x,xI,f(xx2)f(x1)f(x)2，则称f(x)在1222区间I上的图形是凸的.2）判定定理：f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上有一阶、二阶导数，则a)若x(a,b),f(x)0,则f(x)在[a,b]上的图形是凹的；b)若x(a,b),f(x)0,则f(x)在[a,b]上的图形是凸的.3）拐点：设yf(x)在区间I上连续，x0是f(x)的内点，如果曲线yf(x)经过点(x0,f(x0))时，曲线的凹凸性改变了，则称点(x0,f(x0))为曲线的拐点.（五）不等式证明高等数学（上）期末复习要点第6页共9页1、利用微分中值定理；2、利用函数单调性；3、利用极值（最值）.（六）方程根的讨论1、连续函数的介值定理；2、Rolle定理；3、函数的单调性；4、极值、最值；5、凹凸性.（七）渐近线1、铅直渐近线：limxa2、水平渐近线：limxf(x)，则xa为一条铅直渐近线；f(x)b，则yb为一条水平渐近线；四、不定积分（一）概念和性质1、原函数：在区间I上，若函数F(x)可导，且F(x)f(x)，则F(x)称为f(x)的一个原函数.2、不定积分：在区间I上，函数f(x)的带有任意常数的原函数称为f(x)在区间I上的不定积分.3、基本积分表（P188，13个公式）；4、性质（线性性）.高等数学（上）期末复习要点第7页共9页（二）换元积分法1、第一类换元法（凑微分）：f[(x)](x)dxf(u)duu(x)2、第二类换元法（变量代换：三角代换、倒代换、根式代换等）：f(x)dxf[(t)](t)dtt1(x)（三）分部积分法：udvuvvdu（反对幂指三，前U后V’）（四）有理函数积分1、“拆”；2、变量代换（三角代换、倒代换、根式代换等）.五、定积分（一）概念与性质：bn1、定义：af(x)dxlim0i1f()xii2、性质：（7条）性质7（积分中值定理）函数f(x)在区间[a,b]上连续，则[a,b]，使bf(x)dxf()(ba)（平均值：af()bf(x)dxba）（二）微积分基本公式（N—L公式）1、变上限积分：设(x)xaf(t)dt，则(x)f(x)a高等数学（上）期末复习要点第8页共9页d推广：(x)f(t)dtf[(x)](x)f[(x)](x)dx(x)2、N—L公式：若F(x)为f(x)的一个原函数，则baf(x)dxF(b)F(a)（三）换元法和分部积分1、换元法：baf(x)dxf[(t)](t)dt2、分部积分法：ba（四）反常积分1、无穷积分：udvuvbabavduf(x)dxlimtf(x)dxatabf(x)dxlimbf(x)dxttf(x)dx0f(x)dx0f(x)dx2、瑕积分：bf(x)dxlimbatatf(x)dx（a为瑕点）bf(x)dxlimtatbaf(x)dx（b为瑕点）两个重要的反常积分：,p1dx1)axpa1pp1,p1高等数学（上）期末复习要点第9页共9页(ba)1q,q1bdx2)(xa)qbdx(bx)q1qaa,q1