幂函数图象规律

1．第一象限内图象类型之规律（如图1）：1．n＞1时，过（0，0）、（1，1）抛物线型，下凸递增。2．n＝1时，过（0，0）、（1，1）的射线。3．0＜n＜1时，过（0，0）、（1，1）抛物线型，上凸递增。4．n＝O时，变形为y＝1（x≠0），平行于x轴的射线。5．n＜0时过（1，1），双曲线型，递减，与两坐标轴的正半轴无限接近。2．第一象限内图象走向之规律（如图1）：x≥1部分各种幂函数图象，指数大的在指数小的上方；O＜x＜1部分图象反之，此二部分图象在（1，1）点穿越直线y＝x连成一体。3．各个象限内图象分布之规律：设np，p,q互质，pZ,qN。幂函数图象有规律幂函数yxn(nQ)的图象看似复杂，其实很有规律。假如我们能抓住这些规律，那么幂函数图象问题就可迎刃而解。那么幂函数图象有哪些规律呢？q1．任何幂函数在第一象限必有图象，第四象限必无图象。2．n＝奇数/偶数时，函数非奇非偶，图象只在第一象限（如图1）。3．n＝偶数/奇数时，函数是偶函数、图象在第一、二象限并关于y轴对称（如图2）。4．n＝奇数/奇数时，函数是奇函数，图象在第一、三象限并关于原点对称（如图3）。5.当n0时，图像与x轴，y轴没有交点。知识点：幂函数的图象特征:（1）任何幂函数在第一象限必有图象，第四象限必无图象．先根据函数特征画出第一象限图象；①所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；②0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0,)上是增函数．③0时，幂函数的图象在区间(0,)上是减函数．在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴．（2）如果幂函数是奇函数，在第象限内有其中心（坐标原点）对称部分；如果幂函数是偶函数，在第象限内有其轴（y轴）对称部分；如果幂函数是非奇非偶函数，则其函数图象只在第一象限内．（3）常见幂函数性质y=xy=x2y=x3y=x21y=x1定义域值域奇偶性(2)23(3)23（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；4例2请把相应的幂函数图象代号填入表格。（6）；（7）；（8）；（9）。解析：利用上述规律，可很快地得出答案：E，C，A，G，B，I，D，H，F。例1.下列函数是幂函数的是（）A．y=xxB.y=3x21C.y=x2+1D.y=x3练习1：已知函数y(m2m1)xm22m1是幂函数，求此函数的解析式．练习2：若函数f(x)(a29a19)xa9是幂函数，且图象不经过原点，求函数的解析式．题型二：幂函数性质例2：下列命题中正确的是（）A．当0时，函数yx的图象是一条直线B．幂函数的图象都经过（0，0），（1，1）两点C．幂函数的yx图象不可能在第四象限内D．若幂函数yx为奇函数，则在定义域内是增函数练习3：如图，曲线c1,c2分别是函数y＝xm和y＝xn在第一象限的图象，那么一定有（）A．nm0B．mn0C．mn0D．nm02练习4：．（1）函数y＝x5的单调递减区间为（）A．（－∞，1）B．（－∞，0）C．［0，＋∞)D．（－∞，＋∞）（2）．函数y＝x3在区间上是减函数．（3）．幂函数的图象过点(2,14),则它的单调递增区间是．题型三：比较大小.利用幂函数的性质，比较下列各题中两个幂的值的大小：33（1）2.34，2.44;66（2）0.315，0.355；（3），；单调性定点yc1c20x41.110.91（）2，2．.2.设b0，二次函数yax2bxa21的图象下列之一：则a的值为（）（A）1（B）－1（C）152（D）1523.图中的图象所表示的函数的解析式为（）3Ａ．y2x1(0≤x≤2)Ｂ．y33223x1(0≤x≤2)12第1题图Ｃ．yx1(0≤x≤2)2Ｄ．y1x1(0≤x≤2)题型3：函数的图象变换．1.函数f(x)axb的图象如图，其中a、b为常数，则下列结论正确的是（）（A）a1,b0（B）a1,b0（C）0a1,b0（D）0a1,b02.将函数f(x)lg(1x)的图象（）（A）沿x轴向右平移1个单位所得图象与函数ylgx的图象关于y轴对称（B）沿x轴向左平移1个单位所得图象与函数ylgx的图象关于y轴对称（C）沿y轴向上平移1个单位所得图象与函数ylgx的图象关于y轴对称（D）沿y轴向下平移1个单位所得图象与函数ylgx的图象关于y轴对称3．若函数yf(x1)是偶函数，则函数yf(x)的图象关于对称．题型4：函数图象应用3.已知定义在R上的函数f(x)关于原点对称，它在(0,)上的图象如图所示，则不等式f(x)0的解集为．x4．已知定义域为(－∞,0)∪(0,＋∞)的函数f()是偶函数，并且在(－∞,0)上是增函数，若f(－3)＝0f(x)x的解集是（）．，则x0A．(－3,0)∪(0,3)B．(－∞,－3)∪(0,3)C．(－∞,－3)∪(3,＋∞)D．(－3,0)∪(3,＋∞)-1O1O-1O1Oyo25.函数yf(x)的图象与函数g(x)log2（）（A）f(x)1(x0)x(x0)的图象关于原点对称，则f(x)的表达式为（B）f(x)1(x0)log2xlog(x)2（C）f(x)log2x(x0)（D）f(x)log(x)(x0)2