高一数学必修一 教案 2.3 二次函数与一元二次方程、不等式

2．3二次函数与一元二次方程、不等式第1课时二次函数与一元二次方程、不等式学习目标1.从函数观点看一元二次方程．了解函数的零点与方程根的关系.2.从函数观点看一元二次不等式．经历从实际情景中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义.3.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系．知识点一一元二次不等式的概念定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式一般形式ax2＋bx＋c0，ax2＋bx＋c0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a≠0，a，b，c均为常数知识点二一元二次函数的零点一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点．知识点三二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系判别式Δ＝b2－4acΔ0Δ＝0Δ0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a0)的根有两个不相等的实数根x1，x2(x1x2)有两个相等的实数根x1＝x2＝－2ba没有实数根ax2＋bx＋c0(a0)的解集{x|xx1，或xx2}bxx≠－2aRax2＋bx＋c0(a0)的解集{x|x1xx2}∅∅预习小测自我检验1．下面所给关于x的几个不等式：①3x＋40；②x2＋mx－10；③ax2＋4x－70；④x20.其中一定为一元二次不等式的有______．（填序号）答案②④解析一定是一元二次不等式的为②④.2．不等式x（2－x）0的解集为____．答案{x|0x2}解析原不等式可化为x（x－2）0，∴0x2.3．不等式4x2－90的解集是______．答案x－32x32解析原不等式可化为x294，即－32x32.4．已知一元二次不等式ax2＋2x－10的解集为R，则a的取值范围是______答案{a|a－1}一、解不含参数的一元二次不等式例1解下列不等式：（1）－x2＋5x－60；（2）3x2＋5x－2≥0；（3）x2－4x＋50.解（1）不等式可化为x2－5x＋60.因为Δ＝（－5）2－4×1×6＝10，所以方程x2－5x＋6＝0有两个实数根：x1＝2，x2＝3.由二次函数y＝x2－5x＋6的图象（如图①），得原不等式的解集为{x|2x3}．（2）因为Δ＝25－4×3×（－2）＝490，所以方程3x2＋5x－2＝0的两实根为x＝－2，x＝1.123由二次函数y＝3x2＋5x－2的图象（图②），得原不等式的解集为xx≤－2或x≥13.（3）方程x2－4x＋5＝0无实数解，函数y＝x2－4x＋5的图象是开口向上的抛物线，与x轴无交点（如图a0，解析由题意知Δ0，a0，∴a－1.4＋4a0，③)．观察图象可得，不等式的解集为R.反思感悟解一元二次不等式的一般步骤第一步：把一元二次不等式化为标准形式(二次项系数为正，右边为0的形式)；第二步：求Δ＝b2－4ac；第三步：若Δ0，根据二次函数图象直接写出解集；若Δ≥0，求出对应方程的根写出解集．跟踪训练1解下列不等式：(1)4x2－4x＋10；(2)－x2＋6x－100.解(1)∵方程4x2－4x＋1＝0有两个相等的实根x＝x＝1.作出函数y＝4x2－4x＋1的图象如图．由图122可得原不等式的解集为xx≠12.(2)原不等式可化为x2－6x＋100，∵Δ＝36－40＝－40，∴方程x2－6x＋10＝0无实根，∴原不等式的解集为.二、三个“二次”间的关系及应用例2已知二次函数y＝ax2＋(b－8)x－a－ab，且y0的解集为｛x|－3x2｝．(1)求二次函数的解析式；(2)当关于x的不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为R时，求c的取值范围．解(1)因为y0的解集为｛x|－3x2｝，所以－3,2是方程ax2＋(b－8)x－a－ab＝0的两根，所以y＝－3x2－3x＋18.所以b－8－3＋2＝－a，－a－ab－3×2＝a解得a＝－3，b＝5，(2)因为a＝－30，所以二次函数y＝－3x2＋5x＋c的图象开口向下，要使－3x2＋5x＋c≤0的解集为R，25即25＋12c≤0，所以c≤－.1225所以当c≤－时，－3x2＋5x＋c≤0的解集为R.12反思感悟三个“二次”之间的关系(1)三个“二次”中，二次函数是主体，讨论二次函数主要是将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究．(2)讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图象及性质来解决问题，关系如下：特别提醒：由于忽视二次项系数的符号和不等号的开口易写错不等式的解集形式．跟踪训练2已知关于x的不等式ax2＋5x＋c0的解集为x13x12.(1)求a，c的值；(2)解关于x的不等式ax2＋(ac＋2)x＋2c≥0.解(1)由题意知，不等式对应的方程ax2＋5x＋c＝0的两个实数根为1和1，32511－a＝3＋2，由根与系数的关系，得c11a＝2×3，解得a＝－6，c＝－1.(2)由a＝－6，c＝－1知不等式ax2＋(ac＋2)x＋2c≥0可化为－6x2＋8x－2≥0，即3x2－4x＋1≤0，解得13≤x≤1，所以不等式的解集为x13≤x≤1.三、含参数的一元二次不等式的解法例3设a∈R，解关于x的不等式ax2＋(1－2a)x－20.解(1)当a＝0时，不等式可化为x－20，解得x2，即原不等式的解集为｛x|x2｝．(2)当a≠0时，方程ax2＋(1－2a)x－2＝0的两根分别为2和－1.a①当a－1时，解不等式得－1x2，2a即原不等式的解集为x－1x2；a②当a＝－1时，不等式无解，2只需Δ≤0，即原不等式的解集为；③当－1a0时，解不等式得2x－1，2a即原不等式的解集为x2x－1；a④当a0时，解不等式得x－1或x2，a即原不等式的解集为xx－1或x2.a反思感悟解含参数的一元二次不等式的步骤特别提醒：对应方程的根优先考虑用因式分解确定，分解不开时再求判别式Δ，用求根公式计算．跟踪训练3(1)当a＝12时，求关于x的不等式x2－a＋1ax＋1≤0的解集；(2)若a0，求关于x的不等式x2－a＋1ax＋1≤0的解集．151解(1)当a＝时，有x2－x＋1≤0，即2x2－5x＋2≤0，解得≤x≤2，2221故不等式的解集为x2≤x≤2.(2)x2－a＋1ax＋1≤0x－1a(x－a)≤0，11①当0a1时，a，不等式的解集为xa≤x≤；aa②当a＝1时，a＝1＝1，不等式的解集为｛1｝；a③当a1时，a1，不等式的解集为x1≤x≤a.aa1综上，当0a1时，不等式的解集为xa≤x≤；a当a＝1时，不等式的解集为｛1｝；1当a1时，不等式的解集为x≤x≤a.a1．不等式9x2＋6x＋1≤0的解集是()A.xx≠－13B.x－1≤x≤11C．D.xx＝－3答案D解析原不等式可化为(3x＋1)≤0，∴3x＋1＝0，∴x＝－1.32．如果关于x的不等式x2ax＋b的解集是｛x|1x3｝，那么ba等于()A．－81B．81C．－64D．64答案B解析不等式x2ax＋b可化为x2－ax－b0，其解集是｛x|1x3｝，1＋3＝a，那么，由根与系数的关系得1×3＝－b，解得a＝4，b＝－3；所以ba＝(－3)4＝81.故选B.3．不等式x2－2x0的解集是()A．｛x|x≥2或x≤0｝B．｛x|x2或x0｝C．｛x|0≤x≤2｝D．｛x|0x2｝答案B解析解x2－2x0，即x(x－2)0，得x2或x0，故选B.4．不等式x2－3x－100的解集是______．答案｛x|－2x5｝解析由于x2－3x－10＝0的两根为－2,5，故x2－3x－100的解集为｛x|－2x5｝．5．若方程x2＋（m－3）x＋m＝0有实数解，则m的取值范围是__________．答案{m|m≥9或m≤1}解析由方程x2＋（m－3）x＋m＝0有实数解，∴Δ＝（m－3）2－4m≥0，即m2－10m＋9≥0，∴（m－9）（m－1）≥0，∴m≥9或m≤1.1．知识清单：解一元二次不等式的常见方法（1）图象法：①化不等式为标准形式：ax2＋bx＋c0（a0）或ax2＋bx＋c0（a0）；②求方程ax2＋bx＋c＝0（a0）的根，并画出对应函数y＝ax2＋bx＋c图象的简图；③由图象得出不等式的解集．（2）代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解．2．方法归纳：数形结合，分类讨论．3．常见误区：当二次项系数小于0时，需两边同乘－1，化为正的．1．（2019·全国Ⅰ）已知集合M＝{x|－4x2}，N＝{x|x2－x－60}，则M∩N等于（A．{x|－4x3}B．{x|－4x－2}C．{x|－2x2}D．{x|2x3}答案C解析∵N＝{x|－2x3}，M＝{x|－4x2}，∴M∩N＝{x|－2x2}，故选C.2．若0m1，则不等式（x－m）x－1m0的解集为（）1A.xxmm1C.xxm或xm答案D解析∵0m1，∴m1m，故原不等式的解集为xmx1m，故选D.3．二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为－2,3，如果a0，那么ax2＋bx＋c0的解集为（）B.xx1m或xmD.xmx1mA．{x|x3或x－2}B．{x|x2或x－3}C．{x|－2x3}D．{x|－3x2}答案Cbc解析由题意知－2＋3＝－，－2×3＝，aa∴b＝－a，c＝－6a，∴不等式ax2＋bx＋c0可化为ax2－ax－6a0，又a0，∴x2－x－60，∴（x－3）（x＋2）0，∴－2x3，故选C.4．若不等式5x2－bx＋c0的解集为{x|－1x3}，则b＋c的值是（）A．5B．－5C．－25D．10答案B解析由题意知－1,3为方程5x2－bx＋c＝0的两根，bc∴－1＋3＝，－3＝，55∴b＝10，c＝－15，∴b＋c＝－5.故选B.5．若关于x的二次不等式x2＋mx＋1≥0的解集为R，则实数m的取值范围是（）A．{m|m≤－2或m≥2}B．{m|－2≤m≤2}C．{m|m－2或m2}D．{m|－2m2}答案B解析∵x2＋mx＋1≥0的解集为R，∴Δ＝m2－4≤0，∴－2≤m≤2，故选B.6．不等式x2－4x＋4≤0的解集是_______．答案{2}解析原不等式可化为（x－2）2≤0，∴x＝2.7．不等式x2＋3x－40的解集为_______．答案{x|－4x1}解析易得方程x2＋3x－4＝0的两根为－4,1，所以不等式x2＋3x－40的解集为{x|－4x1}．8．关于x的不等式（mx－1）（x－2）0，若此不等式的解集为x1mx2，则m的取值范围是____答案{m|m0}1解析∵不等式（mx－1）（x－2）0的解集为xmx2，∴方程(mx－1)(x－2)＝0的两个实数根为1m和2，∴不等式2x2＋(2－a)x－a0，即为2x2－x－30，解得x－1或x32.3∴所求