随机事件的概率同步习题(含详细解答)讲解

随机事件的概率一．选择题1把红、黑、白、蓝4张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁4个人，每个人分得1张，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是（）A．对立事件B．不可能事件C．互斥但不对立事件D．以上均不对【答案】C【解析】本题要区分“互斥”与“对立”二者的联系与区别，主要体现在：(1)两事件对立，必定互斥，但互斥未必对立；(2)互斥概念适用于多个事件，但对立概念只适用于两个事件；(3)两个事件互斥只表明这两个事件不能同时发生，即至多只能发生其中一个，但可以都不发生；而两事件对立则表示它们有且仅有一个发生．事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是不能同时发生的两个事件，这两个事件可能恰有一个发生，一个不发生，可能两个都不发生，所以应选C．2．甲乙两人独立的解同一道题,甲乙解对的概率分别是p1,p2,那么至少有1人解对的概率是（D）A.p1p2【答案】D【解析】：这是考虑对立事件，两人都没做对的概率为(1p1)(1p2)，至少有1人做对为1(1p1)(1p2)3.甲、乙、丙、丁4个足球队参加比赛，假设每场比赛各队取胜的概率相等，现任意将这4个队分成两个组（每组两个队）进行比赛，胜者再赛，则甲、乙相遇的概率为111B．C．6431D．2B.p1p2C.1p1p2D.1(1p1)(1p2)A．【答案】：D乙12＝P＝【解析】：甲，乙两队分别分到同组的概率为P，不同组概率为，又∵1133112111各队取胜概率为，∴甲、乙两队相遇概率为P＝＝，故选D.23322224.（2010·辽宁）两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为33和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的4概率为（）（A）【答案】B.21135【解析】所求概率为＝343412。1511(B)(C)(D)122465.（2010·北京）从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a，从{1,2,3}中随机选取一个数为b，则ba的概率是（）4321(B)（C）(D)5555【答案】选D（A）分析：先求出基本事件空间包含的基本事件总数n，再求出事件“ba”包含的基本事件数m，从而P(A)m。n【解析】{(a,b)|a{1,2,3,4,5},b{1,2,3}}，包含的基本事件总数n15。事(1,2),(1,3),(2,3)}件“ba”为{，包含的基本事件数为m3。其概率P31。1556.（2011全国课标文（6））有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（）1123（A）（）（B）（C）（D）3234【答案】A【解析】甲，乙两位同学参加3个小组的所有可能性有3×3＝9（种），其中甲，乙两人参加同一小组情况有3种，故甲，乙两人参加同一个兴趣小组的概31率为P937.（2012高考安徽文10）袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球，从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于1234（A）（B）（C）（D）5555【答案】B【解析】1个红球，2个白球和3个黑球记为a1,b1,b2,c1,c2,c3从袋中任取两球共有a1,b1;a1,b2;a1,c1;a1,c2;a1,c3;b1,b2;b1,c1;b1,c2;b1,c3b2,c1;b2,c2;b2,c3;c1,c2;c1,c3;c2,c36215515种；满足两球颜色为一白一黑有6种，概率等于8.（2010辽宁）（3）两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为23和，两个零件是34否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为1115（A）(B)(C)(D)24612【答案】B【解析】记两个零件中恰好有一个一等品的事件为A，则21135P(A)=P(A1)+P(A2)=+=343412二．填空题1.（2009湖北卷文）甲、乙、丙三人将参加某项测试，他们能达标的概率分别是0.8、0.6、0.5，则三人都达标的概率是，三人中至少有一人达标的概率是。【答案】0.240.76【解析】三人均达标为0.8×0.6×0.5=0.24,三人中至少有一人达标为1-0.24=0.762（2010·福建高考）某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮。假设某选手正确回答每．．个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于。【答案】0.128【解析】依题意得：该选手第一个问题可以答对也可以答错，第二个问题一定回答错误，第三、四个问题一定答对，所以其概率P10.20.80.80.128.三．解答题1.（2010四川文数）（17）某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为1.甲、乙、丙三位同6学每人购买了一瓶该饮料。（Ⅰ）求三位同学都没有中奖的概率；（Ⅱ）求三位同学中至少有两位没有中奖的概率.分析：由题设可知三位中奖的概率，由相互独立事件同事发生求得都没有中奖的概率。先算出都没中奖和只有一人中奖的概率，再由对立事件求得。1解：（Ⅰ）设甲、乙丙中奖的事件分别为A，B，C，那么P(A)P(B)p(C)63125P(ABC)P(A)P(B)P(C)()35216125答：三位同学都没有中奖的概率是21615125（Ⅱ）1P(ABCABCABCABC)13()2()36662725答：三位同学中至少有两位没有中奖的概率为272.（2011湖南文18）．某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y（单位：万千瓦时）与该河上游在六月份是我降雨量X（单位：毫米）有关，据统计，当X=70时，Y=460；X每增加10，Y增加5．已知近20年X的值为：140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160,200,140,110,160,220,140,160.（Ⅰ）完成如下的频率分布表近20年六月份降雨量频率分布表降雨量70110140160200220142202020（Ⅱ）假定今年六月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率是为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490（万千瓦时）或超过530（万千瓦时）的概率．分析：由已知易填表。再由视为概率求得所求结果。解：（I）在所给数据中，降雨量为110毫米的有3个，为160毫米的有7个，为200毫米的有3个，故近20年六月份降雨量频率分布表为降雨量70110140160200220134732频率202020202020（II）P（“发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时”）频率P(Y49或0Y530)PX(或13X0210)P(X70)P(X110)PX(220)1323.20202010故今年六月份该水力发电站的发电量低于490（万千瓦时）或超过530（万3千瓦时）的概率为．103、（2011四川文17）．本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租车不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费标准为2元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙人互相独立来该租车点租车骑游（各租一车一次）．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为、；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为、；两人租车时间都不会超过四小时．（Ⅰ）分别求出甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率；（Ⅱ）求甲、乙两人所付的租车费用之和小于6元的概率．分析：利用相互独立事件、互斥事件等概念及相关概率计算解：（Ⅰ）分别记甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车为事件A、B，则111111P(A)1，P(A)1．42424414121214答：甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为、．（Ⅱ）记甲、乙两人所付的租车费用之和小于6元为事件C，则1111111111113P(C)()()()．42442224424441414答：甲、乙两人所付的租车费用之和小于6元的概率为4.（2011全国课标文19）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品．现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每产品的质量指标值，得到时下面试验结果：A配方的频数分布表指标值分组[90，94）[94，98）[98，102）[102，106）[106，110]82042228频数B配方的频数分布表指标值分组[90，94）[94，98）[98，102）[102，106）[106，110]412423210频数（I）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；（II）已知用B配方生产的一种产品利润y（单位：元）与其质量指标值t的关系式为2,t94y2,94t1024,t10234估计用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率，并求用B配方生产的上述100件产品平均一件的利润．分析：（I）由表可计算出A和B配方优质产品的频率即可。由所给的函数关系式即可算出平均一件的利润。解析：（Ⅰ）由试验结果知，用A配方生产的产品中优质的频率为所以用A配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3．由试验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为以用B配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42228=0.3，10032100.42，所100（Ⅱ）由条件知用B配方生产的一件产品的利润大于0当且仅当其质量指标值t≥94，由试验结果知，质量指标值t≥94的频率为0.96，所以用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率估计值为0.96.用B配方生产的产品平均一件的利润为1(4(2)542424)2.68（元）1005．（2010陕西文数19）为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行出样检查，测得身高情况的统计图如下：（Ⅰ）估计该校男生的人数；（Ⅱ）估计该校学生身高在170~185cm之间的概率；（Ⅲ从样本中身高在180~190cm之间的男生中任选2人，求至少有1人身高在185~190cm之间的概率。分析：由频率分布直方力可知人数及在区间170~185cm的概率，最后由古典概率求得即可。解（Ⅰ）样本中男生人数为40，由分层出样比例为10%估计全校男生人数为400。（Ⅱ）有统计图知，样本中身高在170~185cm之间的学生有14+13+4+3+1=35人，350.5故有样本容量为70，所以样本中学生身高在170~185cm之间的频率f70f估计该校学生身高在170~180cm之间的概率P＝0.5（Ⅲ）样本中身高在180~185cm之间的男生有4人，设其编号为①，②，③，④样本中身高在185~190cm之间的男生有2人，设其编号为⑤⑥从上述6人中任取2人的树状图为：故从样本中身高在180~190cm之间的男生中任选2人得所有可能结果数为15，求至少有1人身高在185~190cm之间的可能结果数为9，因此，所求概率93p21556．【2012高考新课标文18】某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售.如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理.（Ⅰ）若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n（单位：枝，n∈N）的函数解析式.（Ⅱ）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：日需求量14151617181920n频数10201616151310(1)假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花，求这100天的日利润（单位：元）的平均数；(2)若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为