概率论 第一章 随机事件与概率

第一章随机事件及其概率自然界和社会上发生的现象可以分为两大类：一类是，事先可以预言其必然会发生某种结果，即在保持条件不变的情况下重复实验或观察，它的结果总是确定的。这类现象称为确定性现象。另一类是，事先不能预言其会出现哪种结果，即在保持条件不变的情况下重复实验或观察，或出现这种结果或出现那种结果。这类现象称为随机现象。随机现象虽然对某次实验或观察来说，无法预言其会出现哪种结果，但在相同条件下重复进行大量的实验或观察，其结果却又呈现出某种规律性。随机现象所呈现出的这种规律性，称为随机现象的统计规律性。概率论与数理统计就是研究随机现象统计规律性的一门数学学科。§1随机事件一、随机试验与样本空间我们把对随机现象进行的一次实验或观察统称为一次随机试验，简称试验，通常用大写字母E表示。举例如下：E：抛一枚硬币，观察正面H、反面T出现的情况；1E：将一枚硬币抛掷两次，观察正面H、反面T出现的情况；2E：将一枚硬币抛掷两次，观察正面H出现的次数；3E：投掷一颗骰子，观察它出现的点数；4E：记录某超市一天内进入的顾客人数；5E：在一批灯泡里，任取一只，测试它的寿命。6随机试验具有以下三个特点：（1）每次试验的结果具有多种可能性，并且能事先明确知道试验的所有可能结果；（2）每次试验前，不能确定哪种结果会出现；（3）试验可以在相同的条件下重复进行。随机试验E的所有可能结果的集合称为E的样本空间，记作。样本空间的元素，即E的每个结果，称为样本点，一般用表示，可记。上面试验对应的样本空间：1H,T；2HH,HT,TH,TT；30,1,2；41,2,3,4,5,6；50,1,2,3,4,；tt0。6注意，试验的目的决定试验所对应的样本空间。二、随机事件试验E样本空间的子集称为E的随机事件，简称事件，通常用大写字母A，B，C,…表示。设A是一个事件，当且仅当试验中出现的样本点A时，称事件在该次试验中发生。由一个样本点组成的单点集称为基本事件。样本空间称为E的必然事件，每次试验中它都发生。空集称为E的不可能事件，每次试验中它都不发生。例如，E4中“出现偶数点”、“出现奇数点”都是随机事件，“出现点数不超过6”是必然事件，“出现点数超过7”是不可能事件。【例】一个袋中装有大小相同的3个白球和2个黑球，现从中任意取出一球，试写出样本空间及下列事件是由哪些基本事件组成的。（1）事件A：“摸出的是白球”；（2）事件B：“摸出的是黑球”。解先对球编号，令1、2、3号球为白球，4、5号球为黑球，并设i“取得第i号球”其中(1i5)。则样本空间,,,,,和12345（1）事件A,,；123（2）事件B,。45三、事件的关系与运算事件间的关系和运算按照集合间的关系和运算来处理。1．事件的包含与相等在试验中，若事件A发生必然导致事件B发生，则称事件B包含事件A或称事件A包含于事件B，记为BA或AB。此时，事件A中的基本事件必属于事件B，即A是B的一个子集。例如，E4中，若记A1,3,5表示“出现奇数点”，B1,2,3,4,5表示“出现点数不超过5”，显然AB，即事件B包含事件A。事件的包含关系有以下性质：（1）AA；n（2）若AB，BC，则AC；（3）A。若AB，且BA，则称事件A和事件B相等，记为AB。此时，A与B拥有完全相同的基本事件。2．事件的并（和运算）在试验中，事件A与事件B至少有一个发生的事件，称为事件A与事件B的并（或和事件），记为AB。此时，AB就是由属于事件A或属于事件B的全部基本事件组成的集合。例如，E中，若记A1,3,5表示“出现奇数点”，B1,2,3,4表示“出现点数4不超过4”，则AB1,2,3,4,5表示“出现点数不超过5”。易知，若AB，则ABB。类似地，称“n个事件A,A,,A中至少有一个发生”的事件为n个事件A，A，…，A的并，记为n12n12A13．事件的交（积运算）i1在试验中，事件A与事件B同时发生的事件，称为事件A与事件B的交（或积事件），记为AB(或AB)。此时，AB就是由既属于事件A又属于事件B的全部基本事件组成的集合。例如，E中，若记A1,3,5表示“出现奇数点”，B1,2表示“出现点数不超4过2”，则AB1表示“出现点数为1”。易知，若AB，则ABA。类似地，称“n个事件A,A,,A同时发生”的事件为n个事件A，A，…，A的交，记作12nAAAA12nn或AAAA12nii112nii14．事件的差（差运算）在试验中，事件A发生而事件B不发生的事件称为事件A与事件B的差（或差事件），A2AA。nni记为AB。此时，AB就是由属于事件A而不属于事件B的全部基本事件组成的集合。例如，E中，若记A1,3,5表示“出现奇数点”，B1,2,3,4表示“出现点数4不超过4”，则AB5表示“出现点数为5”。5．互不相容事件在试验中，若事件A与事件B不能同时发生，则称事件A与事件B是互不相容的(或互斥的)，记为AB(或AB)。此时，事件A与事件B不相交，或它们的交是空集，即事件A与事件B没有公共的基本事件。例如，E中，若记A1,3,5表示“出现奇数点”，B2,4表示“出现小于5的2偶数点”，则AB，即A,B是互不相容事件，不可能同时“出现奇数点”和“出现偶数点”。在一次试验中，任意两个基本事件都不能同时发生，所以基本事件是互不相容的。对于n个事件A,A,,A，如果其中任取两个A,A(ij)，均有AA，则称12nijij此n个事件A,A,,A是两两互不相容的。12n6．对立事件（逆事件）在试验中，若事件A与事件B必有一个发生且仅有一个发生，即事件A和事件B满足条件：AB且AB则称事件A和事件B是对立事件（或互逆事件），记为BA，AB。因此，事件A的逆事件A就是由属于而不属于A的全部基本事件组成的集合，即A是A的补集。例如，E4中，若记A1,3,5表示“出现奇数点”，则A2,4,6表示“出现偶数点”。易知有以下性质：（1）AA（2）AA（3）ABAB注意：互逆事件与互不相容事件是两种不同的关系。在一次试验中，两个互不相容事件仅仅是不能同时发生，并不能排除它们同时都不发生；而两个互逆的事件不仅不能同时发生，而且同时不发生也是不可能的。所以有结论：互逆事件一定是互不相容的，但互不相容事件却不一定是互逆的。常见的事件的关系与运算的规则归纳如下：1．有关包含A，AAB，ABA，ABA2．有关并AA，A，AA，AAA，ABBA，(AB)CA(BC)3．有关交AAA，AA，A，AA，ABBA，(AB)CA(BC)4．分配律A(BC)(AB)(AC)，(AB)C(AC)(BC)，(AB)C(AC)(BC)，A(BC)(AB)(AC)5．德·摩根律ABAB，ABAB6．有关逆与差，，AA，AA，ABAB，(AB)AA，(AB)BAB【例1】一名射手连续向某个目标射击三次，令A“第1次击中目标”，B“第2次击中目标”，C“第3次击中目标”，试用A,B,C表示以下各事件：（1）3次都击中目标；（2）3次均未击中目标；（3）第2次击中目标，而第1、3次都没击中；（4）第2次击中目标而第3次没击中；（5）恰好有1次击中目标；（6）至少有1次击中目标（其逆事件为3次均未击中目标）；（7）至多有1次击中目标。解（1）ABC；（2）ABC；（3）ABC；（4）BC；（5）ABCABCABC；（6）ABC或ABC；（7）ABCABCABCABC。【例2】吴书p.6.例2。某城市的供水系统由甲、乙两个水源与三部分管道1，2，3组成，试用事件A{第i号管道正常工作}(i1,2,3)i表示事件“城市能正常供水”和“城市断水”。【例3】已知随机事件A与B是互逆事件，求证：A与B也是互逆事件。证明：由于A与B是互逆事件，有AB，AB于是ABAB且有ABAB所以A与B也是互逆事件。【例4】对随机事件A、B，求证：ABAAB。证明：AABAABA(AB)AAABABABAB§2事件的概率与等可能概型（古典概型）一、频率与概率定义1若事件A在n次相同条件下的重复试验中发生了nA次，则称f(A)nAnn为事件A在这n次试验中出现的频率，并称nA由定义易知，频率具有以下性质：1．非负性f(A)0n2．规范性f()1n为事件A在这n次试验中出现的频数。2223．有限可加性若k个事件A,A12,,Ak两两互不相容，则有f(An1AA)fn(A)f1n(A)f(A)2nk随机事件在一次试验中是否发生是不确定的，但在大量重复试验或观察中，其发生却具有规律性。例如，历史上，多人做过抛掷硬币的试验，其结果如下表所示试验者试验次数N正面向上次数n正面向上频率f蒲丰404020280.5069费勒1000049790.4979皮尔逊1200060190.5016维尼30000149940.4998从表中可以看出，当抛掷次数足够多时，正面向上的频率在0.5附近摆动，这种现象称为随机事件的频率稳定性，这是概率这一概念的经验基础。定义2在相同条件下做大量重复随机试验，事件A出现的频率总在某一常数p附近摆动，且试验次数越多，摆动幅度越小，则称常数p为事件A的概率，记作P(A)p。该定义通常称为概率的统计定义。概率的统计定义虽无法确定概率的准确值，但可取当试验次数n充分大时，事件A出现的频率作为它的近似值，这一点在实践中有着重要意义。概率P(A)表示随机事件A发生的可能性大小，它是事件A本身客观存在的一种固有属性。由频率的稳定性和频率的性质得到启发，给出概率的公理化定义。定义设E是随机试验，是它的样本空间，对于E的每一个事件A赋予一个实数，记为P(A)，如果集合函数P()满足下列条件，则称P(A)为事件A的概率：1．非负性对每一个事件A，有P(A)02．规范性对必然事件，有P()13．可列可加性设事件A,A12,是两两互不相容的事件，则有P(A1A)P(A)P(A2)或P(A)iP(A)ii1i1二、概率的性质性质1P()0性质2(有限可加性)若事件A,A12,,An两两互不相容，则有P(A1AA)P(A1)P(A2)P(A)nk1n性质3若事件A,B满足AB，则有P(BA)P(B)P(A)，P(B)P(A)性质4对任一事件A，P(A)1性质5（逆事件概率）对任一事件A，有P(A)1P(A)性质6（加法公式）对任意两个事件A,B，有P(AB)P(A)P(B)P(AB)推广到对任意三个事件A,B,C，则有P(ABC)P(A)P(B)P(C)P(AB)P(AC)P((BC)P(ABC)【例1】随机调查某班的一次考试成绩，数学及格的学生占72%，语文及格的学生占69%，两门都及格的学生占50%，问至少一门及格的学生的概率？解设A表示“数学及格的学生”，B表示“语文及格的学生”，则“两门都及格的学生”可用AB表示，“至少有一门及格的学生”可用AB表示。已知P(A)72%，P(B)69%，P(AB)50%，于是由加法公式得P(AB)P(A)P(B)P(AB)91%【例2】已知事件A和B满足P(AB)P(AB)，且P(A)t，求P(B)。解因为ABAB，于是有P(AB)P(AB)P(AB)1P(AB)1[P(A)P(B)P(AB)]化简得P(A)P(B)