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中华人民共和国国家标准物理科学和技术中使用的数学符号代替国家技术监督局批准实施引言本标准参照采用国际标准量和单位第十一部分物理科学和技术中使用的数学标志与符号本标准是目前已经制定的有关量和单位的一系列国家标准之一这一系列国家标准是国际单位制及其应用有关量单位和符号的一般原则空间和时间的量和单位周期及其有关现象的量和单位力学的量和单位热学的量和单位电学和磁学的量和单位光及有关电磁辐射的量和单位声学的量和单位物理化学和分子物理学的量和单位原子物理学和核物理学的量和单位核反应和电离辐射的量和单位物理科学和技术中使用的数学符号特征数固体物理学的量和单位上述国家标准贯彻了中华人民共和国计量法中华人民共和国标准化法国务院于年月日公布的关于在我国统一实行法定计量单位的命令和中华人民共和国法定计量单位本标准特殊说明变量例如等变动附标例如中的及函数例如等用斜体字母表示点线段及弧用斜体字母表示在特定场合中视为常数的参数例如等也用斜体字母表示有定义的已知函数例如等用正体字母表示其值不变的数学常数例如等用正体字母表示已定义的算子例如中的及中的也用正体字母表示数字表中数例如的表示用正体函数的自变量写在函数符号后的圆括号中且函数符号与圆括号之间不留空隙例如如果函数的符号由两个或更多的字母组成且自变量不含或等运算时括于自变量的圆括号可以省略这时在函数与自变量符号之间应留一空隙例如为了避免混淆常采用圆括号例如不应将或写成因为后者可能被误解为当一个表示式或方程式需断开用两行或多行来表示时最好在紧靠其中记号或后断开而在下一行开头不应重复这一记号用来表示某确定物理量的标量矢量和张量与坐标系的选择无关尽管矢量或张量的分量与坐标系的选择有关对矢量的分量即和与的分矢量即和加以区别是重要的径矢量的笛卡儿分量等同于径矢量端点的笛卡儿坐标物理量中的矢量可写成数值矢量与单位相乘的形式例数值单位分量数值矢量单位这里的单位为标量同样的办法也适用于二阶和高阶张量本标准的主要内容以表格形式列出如果在表格的同一项号中所给出的数学符号或表示式多于一个时它们应是等同的但在列出的顺序中总是将常用的数学符号相应的名称或表示式靠前列出在本表格备注一栏中给出的是符号的使用说明和应用示例本标准规定物理科学工程技术和有关的教学中一般常用的数学符号过于专门的数学符号未列入在本标准中将国际标准量和单位第十一部分物理科学和技术中使用的数学标志与符号称为将原国家标准数学符号试行草案称为主题内容与适用范围本标准规定了物理科学和技术中使用的数学符号的含义读法和应用本标准适用于所有科学技术领域物理科学和技术中使用的数学符号表几何符号项号符号意义或读法备注及示例直线段用或小写的拉丁字母表示该直线段的长矢量的表示参阅平面角参阅的及弧当为圆弧时可用表示圆弧对应的度数圆周率圆周长与直径的比三角形平行四边形圆垂直平行用于表示平行且相等相似全等几何符号取材于行文中方括号内的文字表示可以略去或不读下同集合论符号项号符号应用意义或读法备注及示例属于是集合的一个元素集合可简称为集不属于不是集合的一个元素也可用或集包含元集不包含元也可用或诸元素构成的集也可用这里的表示指标集使命题为真的中诸元素之集例如果从前后关系来看集已很明确则可使用来表示例如有时也可写成或中诸元素的数目的势或基数空集项号符号应用意义或读法备注及示例非负整数集自然数集自至集内排除的集应上标星号或下标号例如或整数集参阅的备注有理数集参阅的备注实数集参阅的备注复数集参阅的备注中由到的闭区间中由到含于内的左半开区间中由含于内到的右半开区间中由到的开区间项号符号应用意义或读法备注及示例含于是的子集的每一元均属于也可以用真包含于是的真子集的每一元均属于但不等于不包含于不是的子集也可用包含作为子集包含了的每一元也可用与的含义相同真包含包含了的每一元但不等于与的含义相同不包含作为子集也可用与的含义相同与的并集属于或属于或属于两者的所有元的集参阅诸集的并集至少属于诸集之一的所有元的集也可用与其中表示指标集项号符号应用意义或读法备注及示例与的交集所有既属于又属于的元的集参阅诸集的交集共属于诸集的所有元的集也可用与其中表示指标集与之差减所有属于但不属于的元的集也可用中子集的补集或余集中不属于子集的所有元的集如果行文中集已很明确则常可省去符号也可写成有序偶偶当且仅当及不与其他符号混淆时也可用有序元组也可用与的笛卡儿积所有由与作成的有序偶的集记成其中为乘积中的因子数项号符号应用意义或读法备注及示例中点对的集其中的对角集也可用数理逻辑符号项号符号应用符号名称意义读法及备注合取符号和析取符号或否定符号的否定不是非推断符号若则蕴含也可写为有时也用等价符号且等价于有时也用全称量词命题对于每一个属于的为真当考虑的集合从上下文看很明白时可用记号存在量词存在中的元使为真当考虑的集合从上下文看很明白时可用记号或用来表示存在一个且只有一个元素使为真杂类符号项号符号应用意义或读法备注及示例等于用来强调这一等式是数学上的恒等式不等于按定义等于或以为定义例式中为动量为质量为速度也可用相当于例如在地图上当相当于长时可写成约等于符号被用于渐近等于参阅与成正比在中也用比选自小于大于小于或等于不用大于或等于不用远小于远大于项号符号应用意义或读法备注及示例无穷大或无限大数字范围这里的和为不同的实数例如表示由至选自小数点整数和小数之间用处于下方位置的小数点分开参阅的循环小数即百分率前的不应省略圆括号方括号花括号角括号正或负负或正最大最小运算符号项号符号应用意义或读法备注及示例加减加或减减或加乘以参阅及数的乘号用叉或上下居中的圆点如出现小数点符号时数的相乘只能用叉参阅的和除以或被除参阅的也可记为也可记为的次方或的次幂的二分之一次方的平方根参阅项号符号应用意义或读法备注及示例的分之一次方的次方根在使用符号或时为了避免混淆应采用括号把被开方的复杂表示式括起来的绝对值的模也可用的符号函数对于实数当当当对于复数参阅的平均值如果平均值的求法在文中不明了则应指出其形成的方法若容易与的复共轭混淆时就用的阶乘时时二项式系数组合数小于或等于的最大整数示性例有时也用函数符号项号符号应用意义或读法备注及示例函数也可以表示为函数在或在的值也表示以为自变量的函数这种表示法主要用于定积分计算与的合成函数或复合函数趋于用表示序列的极限为趋于时的极限可以写为当右极限及左极限可分别表示为和上极限下极限上确界下确界至取材于渐近等于例当项号符号应用意义或读法备注及示例的含义为在行文所述的极限中有上界当与都有界时称与是同阶的表示在行文所述的极限中的有限增量单变量函数的导函数或微商也可用即如自变量为时间也可用表示函数的导函数在的值也可用或单变量函数的阶导函数也可用当时也可用来代替如自变量是时间可用来代替多变量的函数对于的偏微商或偏导数即也可用或等常用于变换项号符号应用意义或读法备注及示例函数先对求次偏微商再对求次偏微商混合偏导数对的函数行列式即与选自函数的全微分函数的无穷小变分函数的不定积分函数由至的定积分函数在集合上的二重积分选自分别用于沿曲线沿曲面沿体积以及沿闭曲线或闭曲面的积分项号符号应用意义或读法备注及示例克罗内克符号当当式中与均为整数勒维契维塔符号若为的偶排列若为的奇排列若为的真重复排列狄拉克分布函数单位阶跃函数海维赛函数当当也可用用于时间的单位阶跃函数与的卷积指数函数和对数函数符号项号符号表达式意义或读法备注及示例的指数函数以为底比较自然对数的底的指数函数以为底在同一场合中只用其中一种符号项号符号表达式意义或读法备注及示例以为底的的对数当底数不必指出时常用表示的自然对数不能用来代替或的常用对数参阅的备注的以为底的对数参阅的备注三角函数和双曲函数符号在中称为圆函数项号符号表达式意义或读法备注及示例的正弦的余弦的正切也可用的余切的正割的余割也可用项号符号表达式意义或读法备注及示例的次方选自其他三角函数和双曲函数的次方的表示法类似的反正弦反正弦函数是正弦函数在上述限制下的反函数的反余弦反余弦函数是余弦函数在上述限制下的反函数的反正切也可用反正切函数是正切函数在上述限制下的反函数的反余切反余切函数是余切函数在上述限制下的反函数的反正割反正割函数是正割函数在上述限制下的反函数的反余割也可用反余割函数是余割函数在上述限制下的反函数对于至各项不采用等符号因为可能被误解为等项号符号表达式意义或读法备注及示例的双曲正弦也可用的双曲余弦也可用的双曲正切也可用的双曲余切的双曲正割的双曲余割也可用的反双曲正弦也可用反双曲正弦函数是双曲正弦函数的反函数的反双曲余弦也可用反双曲余弦函数是双曲余弦函数在上述限制下的反函数的反双曲正切也可用反双曲正切函数是双曲正切函数的反函数的反双曲余切反双曲余切函数是双曲余切函数在上述限制下的反函数项号符号表达式意义或读法备注及示例的反双曲正割反双曲正割函数是双曲正割函数在上述限制下的反函数的反双曲余割也可用反双曲余割函数是双曲余割函数在上述限制下的反函数对于反双曲函数不应使用等符号因为可能被误解为等复数符号项号符号表达式意义或读法备注及示例虚数单位在电工技术中常用参阅的的备注的实部的虚部其中的绝对值的模也可用的辐角的相其中即的复共轭有时用代替的单位模函数当时当时矩阵符号项号符号表达式意义或读法备注及示例型的矩阵也可用是矩阵的元素为行数为列数当时称为正方阵矩阵元可用小写字母表示也可用方括号代替矩阵表示中的圆括号矩阵与的积式中的列数必须等于的行数单位矩阵方阵的元素参阅方阵的逆的转置矩阵也可用的复共轭矩阵在数学中也常用的厄米特共轭矩阵在数学中也常用方阵的行列式方阵的迹矩阵的范数矩阵的范数有各种定义例如范数坐标系符号项号坐标径矢量及其微分坐标系名称备注笛卡儿坐标与组成一标准正交右手系见图圆柱坐标与组成一标准正交右手系见图和图若则与成为极坐标球坐标与组成一标准正交右手系见图和图注如果为了某些目的例外地使用左手坐标系见图时必须明确地说出以免引起符号错误轴方向朝外图右手笛卡儿坐标系轴方向朝里图左手笛卡儿坐标系图是右手坐标系图右手柱坐标图右手球坐标矢量和张量符号项号符号表达式意义或读法备注及示例矢量或向量这里笛卡儿坐标用或表示在后一种情况指标从到取值并采用下面的求和约定如果在一项中某个指标出现两次则表示该指标对求和印刷用黑体书写用矢量的模或长度也可用方向的单位矢量在笛卡儿坐标轴方向的单位矢量矢量的笛卡儿分量等为分矢量为矢径与的标量积或数量积参阅的备注在特殊场合也可用与的矢量积或向量积在右手笛卡儿坐标系中分量一般对于参阅项号符号表达式意义或读法备注及示例那勃勒算子或算符也称矢量微分算子也可用的梯度也可用的散度的旋度气象学上称为涡度也可用一般关于参阅拉普拉斯算子若与中有限增量的符号容易混淆时就用达朗贝尔算子式中为电磁波在真空中的传播速度参阅的二阶张量也用张量的笛卡儿分量等为分张量项号符号表达式意义或读法备注及示例两矢量与的并矢积或张量积即具有分量的二阶张量两个二阶张量与的张量积即具有分量的四阶张量两个二阶张量与的内积即具有分量的二阶张量二阶张量与矢量的内积即具有分量的矢量两个二阶张量与的标量积即标量至注矢量和张量往往用其分量的通用符号表示例如矢量用二阶张量用并矢积用等等但这里指的都是张量的协变分量张量还具有其他形式的分量如逆变分量混合分量等特殊函数符号项号符号表达式意义或读法备注及示例第一类柱贝塞尔函数即方程的特解关于参阅柱诺依曼函数第二类柱贝塞尔函数也记作柱汉开尔函数第三类柱贝塞尔函数修正的柱贝塞尔函数的特解第一类球贝塞尔函数的特解球诺依曼函数第二类球贝塞尔函数也记作项号符号表达式意义或读法备注及示例球汉开尔函数第三类球贝塞尔函数修正的球贝塞尔函数分别写为与比较勒让德多项式的特解关联勒让德函数的特解球面调和函数球谐函数的特解厄米特多项式的特解拉盖尔多项式的特解项号符号表达式意义或读法备注及示例关联拉盖尔多项式的特解超几何函数的特解合流超几何函数的特解第一类不完全椭圆积分为第一类完全椭圆积分第二类不完全椭圆积分为第二类完全椭圆积分第三类不完全椭圆积分为第三类完全椭圆积分项号符号表达式意义或读法备注及示例伽马函数贝塔函数指数积分误差函数称为余误差函数在统计学