1-环境水力学-迁移扩散理论-分子扩散

第一章迁移扩散理论对流扩散（Convection）分子扩散（MolecularDiffusion）紊动扩散（TurbulentDiffusion）剪切流离散（Dispersionofshearflow）随流输移（Advection）除分子扩散外，以上所有方式都与水体流动特性有密切联系。因此，环境水体水力学性质的差异对污染物混合输移起着重要作用。分子扩散（MolecularDiffusion）分子扩散是物质分子的随机运动而引起的物质迁移。当水体内含有物浓度不均匀的时候，含有物将会从浓度高的地方向浓度低的地方移动。随流输移（Advection）当环境水体处于流动状态时，污染物质随水质点的流动一起而移动至新的位置。对流扩散（Convection）由于温度差或者密度分层产生浮力而引起的铅垂方向或水平方向的对流运动所伴随的含有物迁移。紊动扩散（TurbulentDiffusion）当水体作紊流运动，或者虽然水体不存在时间平均流动而仅有脉动（仅仅受到紊动干扰）的情况下，引起水中含有物质的扩散。紊动扩散比分子扩散快而且强力。紊动能够传递物质与它能够传递动量和能量的原理类似，紊动扩散作用的强弱与水流旋涡运动密切相关。剪切分散（DispersionofSheerFlow）剪切流：实际水流在横断面或垂向流速分布不均匀，即在横向或垂向有流速梯度存在的流动称为剪切流。剪切流离散：把随流输移按平均流速的均匀流计算，由于实际上剪切流中各点流速与平均流速不同，将引起附加的物质分散，这种附加的物质分散称为离散。离散的产生：将流场作空间平均的简化处理而引起。与地下水弥散理论的区别：地下水的水动力弥散理论(Hydrodynamicdispersion)水动力弥散现象在一口井中注入一种示踪剂，示踪剂在随地下水向前流动的过程中，向外围扩散，形成一个以中心点浓度最大，向四周浓度逐渐减小的过渡带，并且随示踪剂迁移的距离增大，过渡带也越来越宽。在均匀流的砂柱中，用含有示踪剂浓度的水去替代，在砂柱另一端测量示踪剂浓度，得曲线如图。水在流动过程中并非一个突变界面，而是一个过液带。这种现象称水动力弥散。水动力弥散机制：机械弥散和分子扩散所引起的。关于机械弥散：（1）由于液体粘性的作用和结合水的摩擦阻力，使得靠近孔隙壁的水流速度趋于零，孔隙中心部位流速最大；（2）由于孔隙大小不一，造成不同孔隙之间沿轴部的最大流速有差异；（3）由于空隙的弯弯曲曲，水流方向也随之不断地改变。地下水质点运动速度、大小和方向上的不均一，造成了示踪剂有的运动快，有的运动慢，从而形成了上述过渡带。这种由于速度不均一所造成的这种物质运移现象称为机械弥散。一、分子扩散二、移流扩散和紊动扩散三、剪切流动的分散第一章迁移扩散理论分子扩散物质分子由高浓度向低浓度的运动过程（既存在浓度梯度是分子扩散的必要条件）。分子扩散过程不可逆。浓度梯度温度梯度压力梯度浓度扩散热扩散压力扩散分子扩散的费克（Fick）定律Fick第一定律：单位时间通过单位面积的溶解物质（即扩散物质）与溶质浓度在该面法线上的梯度成正比，用数学式可以表示为：式中：FA：单位时间通过单位面积的溶质通量（ML-2T-1）；:溶质浓度梯度；DAB：分子扩散系数，L2T-1。dndCDFAABA−=dndCDF−=nddCA分子扩散系数随溶质与溶液的种类和温度、压力而变化。在静止的溶液中取出一微分六面体。六面体的各边长为dx，dy，dz，其中心点的坐标为（x，y，z），浓度为C（x，y，z），其扩散通量在三个坐标方向上的分量为Fx，Fy，Fz。Fick第二定律（分子扩散方程）流进六面体的扩散量流出六面体的扩散量dydzdtdxxFFxx)21(∂∂−dydzdtdxxFFxx)21(∂∂+在dt时段内x方向上物质的扩散量的变化：在x方向，流进与流出的扩散量之差为：dxdydzdtxFx∂∂−同理，y，z方向dt时段内进出流量差为：dydxdzdtyFy∂∂−dzdxdydtzFz∂∂−按照质量守恒原理，进出微分六面体的物质扩散量之差的总和，应该与该时段内微分六面体中因浓度变化而引起的含有物质量的增量相等，即：dxdydzdtzFyFxFdtdxdydztCzyx)(∂∂+∂∂+∂∂−=∂∂由费克第一定律：xCDFxx∂∂−=yCDFyy∂∂−=zCDFzz∂∂−=于是上式可改写为：222222zCDyCDxCDtCZyX∂∂+∂∂+∂∂=∂∂当物质在溶液中的扩散为各向同性时，上式可以写成：)(222222zCyCxCDtC∂∂+∂∂+∂∂=∂∂以上两式是描述分子扩散浓度时空关系的基本方程，称为分子扩散方程，也即费克第二定律。)(2222yCxCDtC∂∂+∂∂=∂∂若物质扩散发生在二维空间，扩散方程简化为：2222yCDxCDtCyX∂∂+∂∂=∂∂或对于一维扩散，扩散方程的形式为：22xCDtC∂∂=∂∂瞬时源：t=0时刻，在原点、瞬时、集中投入质量为M的扩散质。（1）瞬时平面源的一维扩散①一根无限长断面均匀直水管，截面积是一个单位；②垂直管轴，瞬时投入一包含质量M的薄片红色染液；③染液薄片充满了整个断面；④染料只沿长度方向扩散。△瞬时平面源的扩散令染液投入点为坐标原点，x=0描述这个扩散过程的微分方程是：(2-15)22xCDtC∂∂=∂∂采用量纲分析法来探讨浓度分布函数的组成，另其解为：=DtxfDtMC44π(2-16)令无量纲变量：Dtx4=η(2-17)则(2-18)式中为待定函数。把上式分别对t和x取偏导数有：()ηπfDtMC4=(2-19)()ηf()∂∂+−=∂∂ηηηπfftDtMtC4122222414ηπ∂∂=∂∂ftDtMxCD2222224t4t41t414t4144ηπηπηπηηπ∂∂=∂∂=∂∂∂∂=∂∂∂∂=∂∂fDtDMDDfDtMXCDfDtMxfDtMXC即(2-20)上式的通解为：0)2(=+fddfddηηη(2-21)解上面常微分方程可求出函数()2ηη−=AefConstfddf=+ηη2特解为：02=+fddfηη(2-22)(2-23)将上两式代入偏微分方程有：02222=++ηηηdfdddff22xCDtC∂∂=∂∂式中A为积分常数，将上式代入（2-18）得(2-24)假定扩散物质为守恒物质，任何时刻分布在扩散空间内物质总量保持不变，因而：(2-25)将（2-24）代入（2-25）式，积分得：(2-26)24ηπ−=AeDtMC∫∞∞−=MCdxπππAMDtxdDtxAMM=−=∫∞∞−)4()4exp(2()ηπfDtMC4=通过（2-26）式，可得积分常数A=1于是瞬时平面源一维扩散的解为：()24,4xDtMCxteDtπ−=（2-27）24ηπ−=AeDtMC由图可见：浓度C(x,t)是以t为参变数的正态分布函数，不同的时间t值，可以沿x轴画出不同的正态分布曲线，曲线在x向伸向无穷远。在t=0时，即源刚刚投入水中，浓度分布的峰值是很高的，随着时间t的增长，峰值衰减的很快，分布变得矮胖趋于均匀化。不同的扩散时间t，浓度有不同的正态分布曲线，这是瞬时平面源的重要特点。若有一瞬时点源投放于一无限宽阔的平面上，质量为M，将坐标原点取在源上，物质通过原点的二维空间（xoy平面）扩散，其浓度在xoy平面上的分布应当符合二维扩散方程：2222yCDxCDtCyX∂∂+∂∂=∂∂卡斯若及雅格(Carslaw,Taeger)曾经做出理论推导，认为扩散作用在各个方向是各自独立，互不干扰的。数理统计理论指出，独立随机变量的联合分布符合“机率乘法规则”。所以浓度的二维分布：C（x,y,t）=C1(x,t)·C2(y,t)（2-41）（2）瞬时平面源的二、三维扩散()122112(,)(,)CxtCytCCCCttt∂∂∂=+∂∂∂12221222CCCxxCCCxx∂∂=∂∂∂∂=∂∂21222122CCCyyCCCyy∂∂=∂∂∂∂=∂∂22211212212222221112220xyyxCCCCCCDCDCttxyCCCCCDCDtytx∂∂∂∂+=+∂∂∂∂∂∂∂∂−+−=∂∂∂∂2222yCDxCDtCyX∂∂+∂∂=∂∂C（x,y,t）=C1(x,t)·C2(y,t)0)()(2121222221=∂∂−∂∂+∂∂−∂∂xCDtCCyCDtCCxy显然，上式成立的条件必须是括号中的量分别为零，亦即C1(x，t)和C2(y，t)各自满足一维扩散方程的解，其解为：)44exp(t4),,(22tDytDxDDMtyxCyxyx−−=π其中:（2-42）2121),,(MMdxdyCCdxdytyxCM===∫∫∫∫∞∞−∞∞−∞∞−∞∞−)4exp(t4)4exp(t42y12211tDyDMCtDxDMCyxx−=−=ππC（x,y,t）=C1(x,t)·C2(y,t)，故二维扩散解为：瞬时点源二维扩散的浓度分布图形呈钟形体如图所示：源点处浓度最大，随着离点源距离的增加，浓度呈负指数函数衰减，对图俯视，可见到其等浓度线为同心圆。同理，可求出瞬时点源在三维无限空间扩散浓度函数为：其中（2-44）dxdydztzyxCM∫∫∫∞∞−∞∞−∞∞−=),,,()444exp()(4),,,(22223tDztDytDxDDDtMtzyxCzyxZyx−−−=π瞬时分布源的扩散(1)一维起始无限分布源的扩散在一条长管中，①左端x≤0，充满了污染液体，污染浓度为C0，②管子的右端x＞0，装满清水。③在t=0时，突然启开隔离污染液体和清水的闸板。④扩散只在x方向的一维展开。运用迭加原理，可以求得管子右端(x＞0）的浓度时空分布。C0t=0P8Px=0dξ（a）(b)(c)xPCxt=t1时刻x=0x8x=0C0图2-6扩散现象的物理概念①把管左端无限延伸的染液看作由连续无穷多个微小单元dξ所组成，每一个dξ具有质量C0dξ=dm。每一个微元可以看作一个瞬时平均源，dm向右边扩散，引导出一个分浓度场，因此在右端任一点P处，该分浓度场有一个浓度值C(p)。②管右端x＞0的浓度场是所有各个dξ微元引导的分浓度场的迭加。对于P点而言，该点的实际浓度值，是所有各个dξ扩散至这点的浓度的总和。③瞬时源的浓度分布和时间t有关(是t的函数)，随着扩散时间的增长，分布图形变得低平，反映了扩散质向离开源的方向迁移。所以当t=0染液的隔离闸开启后，在不同时刻t，每一微元引导的分浓度长的浓度分布，是与扩散时间相应的浓度分布。求解1）首先建立坐标体系，为了便于理解，采用二组空间坐标。x系坐标原点在源处，讨论点P距原点是x；ξ系坐标原点在P处，瞬时平面微元dξ距原点是ξ。时间坐标t，以隔离闸开启的瞬时为原点，t=0，讨论的时刻为t。ix＝0Pxcdξxξ＝0ξ882）这样t时刻每一dξ微元引导的浓度分布为：（2-45）3）P点的总浓度为染液各微元引导的浓度的总和，即对源求和：（2-46）220(,)expexp4444CddmdctDtDtDtDtξξξξππ−−==20(,)exp44xCCxtdDtDtξξπ∞−=∫()24,4xDtMCxteDtπ−=ix＝0Pxcdξxξ＝0ξ88∫∞−==DtxDtxerfcCdeCtxC40042),(2ηπη（2-47）利用（2-47）式可以画出某一指定时刻性对浓度C/C0沿x轴分布如图所示。20(,)exp44xCCxtdDtDtξξπ∞−=∫引入误差函数，（2-46）式变为：dtexerfct∫∞−=x22)(π∞=∞======ηξηξηξηξξη，当，当，，令DtxxDDD4dt4dt4t4设沿x轴有一起始浓度均匀、分布宽度为2h的有限分布源，为方便将x轴的零点设在有限分布源的中心，如图所示。x＝-hξ=x+hx＝hξ=x-hPxξξ=0cdξC0如何求解？二维初始有限分布源可以把一个污染柱作为源。染柱的浓度为C0。其平面尺寸是x向长2a，y