第19届全国灰色系统学术会议

253GM(1,1)灰数递补动态预测王学萌1杜鹃21)山西省农业资源综合考察研究所太原0300062)山西大学环境与资源学院太原030006摘要文献[1]中提出“等维灰数递补动态预测”，在许多领域得到广泛的应用，取得了较好的预测效果。但为保持“等维预测”，使原始数据逐步减少，以致到后来成为预测灰数的滚动延伸，从理论上降低了中长期预测的可信程度。因此，本文提出不要求保持等维的GM（1，1）灰数递补预测方法，既有效利用新的信息—预测灰数，对模型的灰参数逐步进行修正，又保持原始数据对序列发展态势的遗传功能，具有GM（1，1）模型独特的灰色动态特征，解决了对GM（1，1）模型“用一个白化方程参数进行中长期预测”的质疑。关键词GM（1，1）模型，灰数递补，动态预测DynamicForecastingwithRecursiveCompensationbyGreyNumbersofGM(1，1)XuemengWang1JuanDu21)InstituteofIntegratedsurveyofAgricultureResourceAcademyofAgriculturalScience030006(E-mail:[e-mail])2)SchoolofEnvironmentalandResources，ShanxiUniversity03006(E-mail:[e-mail])Abstract—Themethodofdynamicforecastingwithrecursivecompensationbygreynumbersofidenticaldimensionscanbeusedinmanyfieldsandhavebetterforecastingeffect.Originaldataarebecomingscarceforthekeepingofidenticaldimensionsforecasting，whichreducestheaccuracyofthemediumandlong-termpredictiontheoretically.AmethodfordynamicforecastingwithrecursivecompensationbygreynumbersofGM(1，1)proposedinthispaper.Thegreyparameterscanbeamendedgraduallywitheffectiveuseofnewinformation，meanwhile，theymaintainthegeneticfunctionoftheoriginaldataonthedevelopmenttrendofsequence.ThemodelhastheuniquelydynamiccharacterofGM(1，1)modelandremovesthedoubtaboutGM(1，1)modelforecastformediumandlong-termperiodwithawhiteningequationparameter.Keywords—GM(1，1)model，greyrecurrence，dynamicforecasting1．引言作者1989年在文献[1]中提出了“等维灰数递补动态预测”。20年来，在人口、资源、环境、交通、建筑、教育、卫生、体育等许多领域得到较为广泛的应用，特别是对于发展态势比较稳定、互补性较强、综合性较高的系统，取得了较好的中长期预测效果。但为保持“等维预测”，在建模过程中原始数据逐个被剔除，以致到后来预测值成为预测灰数的滚动延伸，像是无源之水、无根之木，原始序列的发展态势已淡然无存，从理论上降低了中长期预测的可信程度。为此，本文提出不要求保持等维的“GM(1,1)灰数递补动态预测”方法，既可以有效地利用新的信息-预测灰数，对模型的灰参数逐步进行修正，又保持原始数据对序列发展态势的遗传功能。从而，增强了GM(1,1)模型独有的灰色动态特征，解决了对GM(1,1)模型“用一个白化方程进行中长期预测”的质疑，并对提高模型的预测精度有不同程度的改进。2．GM(1,1)灰数递补动态模型的建立GM(1,1)模型为单序列一阶微分方程。其相应的灰色微分方程式是：(1)(1)()()dXtaXtudt(1)254式中，(1)()Xt为灰过程(0)()Xt的一次累加生成变换，即：(1)(0)1()()tkXtXk(2)方程（1）中，(1)()Xt即系统的累计总量；而方程左边第一项(1)()dxtdt为系统的逐年增量，即系统发展速度。可见，GM(1,1)模型是描述和研究系统的存量与系统流量之间的动态关系的微分方程。求微分方程的解，得到时间函数(1)(1)(1)((0))atuuXtXeaa(3)再还原，便得到(0)(1)(1)()(1)()XtXtXt(4)方程（3）（4）即为GM(1,1)模型进行灰色预测的基本计算公式。在进行预测时，GM(1,1)模型是通过对原始数据序列长度的不同取舍，得到不同的预测结果，而组成一个预测值的灰数区间，即灰靶，供决策时选择[2]。这个灰靶明显成一喇叭型平面展开，即近期的预测灰数比较接近，即灰区间较小，而预测的越远其预测值的灰区间就越大。特别是第一个预测值，各个不同模型预测的结果非常接近。说明对于一个客观系统来说，随时间的推移，未来的一些扰动因素将不断影响系统的发展，模型的累积误差也越来越大。所以，用GM(1,1)模型进行预测时，不一定建立模型后，就用这一个模型一直预测下去，而应及时补充新的信息，使灰度逐步降低，从而提高了预测精度。也就是说用已知数列建立的GM(1,1)模型只预测一个值(灰数)，然后将这个灰数补充到已知数列之后，再建立下一个GM(1,1)模型，去预测下一个值，将预测值再补充到数据序列之后，这样逐个预测，依次递补，直到完成预测目的或达到一定的精度要求为止。这种预测方法可称为“GM(1,1)灰数递补动态预测”。与常用灰色数列预测和等维灰数递补动态预测方法比较，它有如下的异同之处：①不要求保持等维，没有去掉原始数据，继承了原始数据序列的基本特征与遗传功能。②及时补充和利用有效的灰色信息—预测灰数，提高了区间的白化度。③每预测一步灰参数做一次修正，模型得到改进，预测值产生的灰色动态变化之中。这样，利用预测灰数不断修正预测模型灰参数，逐步改进预测模型，从而能深层次体现了GM(1,1)预测模型的灰色动态特征。3．GM(1,1)模型预测结果的误差计算和比较下面以中国总人口为例，对常用数列预测、灰数递补预测、等维灰数递补预测3个GM(1,1)预测模型的预测结果，进行实证分析，通过误差对比，来检验与评价预测方法的优劣。先选择了3个时段，即5维（1996-2000）、7维（1996-2000）、10维（1991-2000）分别建立GM(1,1)模型，用不同的建模方法预测到2010年；再将2001-2008年的预测值与实际统计数比较，计算出误差。其对比结果分别列于表1—表3。模型实际值常用数列预测灰数递补预测等维灰数递补预测年份递增率统计值递增率预测值误差递增率预测值误差递增率预测值误差20010.71276270.78127602250.78127602250.781276022520020.651284530.78128598-1450.76128530-770.711283926120030.61292270.78129605-3780.75129460-2330.6412911411320040.591299880.78130615-6270.74130396-4080.5812977021820050.591307560.78131636-8800.74131338-5820.5313037238420060.531314480.78132664-12160.74132288-8400.4813091853020070.521321290.78133702-15730.73133242-11130.4413141671320080.511328020.78134744-19420.73134206-14040.413187093220090.781357980.731351720.3613228020100.781368580.731361500.32132656表1五维（1996-2000）模型255从上述对比结果可以看出，不论是几维模型的预测值，都是等维灰数递补动态模型误差最小，而灰数递补动态模型较常用数列预测模型的误差也要小些。但等维灰数递补模型递增率收敛较快，误差有逐渐加大的趋势；而灰数递补模型随着维数的增加，越来越接近数列预测的预测值，且递增率随着预测的长度也逐步收敛。4．对预测结果的分析科学的预测可以帮助人们认识系统未来进程中可能遇到的问题，预测的结果不同程度地反应了系统的变化规律与发展趋势。灰色动态GM(1,1)模型预测是灰色系统理论应用最广的模型之一，也是人们应用越来越多的预测方法。这是由于它所需原始数据量较少，计算方法简单，也不苛求数据分布的数学特征，且多是单序列，累积误差较小。但要运用这个模型取得满意的预测结果也并非是易事，首先要将定性分析与定量计算有机地结合起来，定性分析是经验的综合判断、逻辑推理，是定量分析与建模的基础，没有比较科学准确的定性，不可能建立正确的预测模型。譬如哪些序列特征适合哪种预测方法，要有基本的评估。其次对模型的应用，也要讲灵活性和艺术性，同一模型有着不同的建模方法，对同一序列数据，不同的建模方法可实际值常用数列预测灰数递补预测等维灰数递补预测年份递增率统计值递增率预测值误差递增率预测值误差递增率预测值误差20010.71276270.8833127877-2500.88127876-2490.88127876-24920020.651284530.8833129006-5530.87128961-5080.84128845-39220030.61292270.8833130146-9190.87130055-8280.8129788-56120040.591299880.8833131294-13060.86131158-11700.77130718-73020050.591307560.8833132454-16980.86132269-15130.75131636-88020060.531314480.8833133626-21780.86133390-19420.72132522-107420070.521321290.8833134805-26760.86134523-23940.7133372-124320080.511328020.8833135995-31930.86135661-28590.67134198-139620090.88331371970.85136811-0.6513501020100.88331384080.851379700.63135792实际值常用数列预测灰数递补预测等维灰数递补预测年份递增率统计值递增率预测值误差递增率预测值误差递增率预测值误差20010.71276270.98128222-5950.98128222-5950.98128222-59520020.651284530.98129474-10210.97129445-9920.95129343-89020030.61292270.98130738-15110.97130684-14570.93130461-123420040.591299880.98132017-20290.97131933-19450.91131576-158820050.591307560.98133305-25490.97133196-24400.89132693-193720060.531314480.98134609-31610.96134468-30200.8