证明函数收敛（精选3篇）

证明函数收敛（精选3篇）【导读引言】网友为您整理收集的“证明函数收敛（精选3篇）”精编多篇优质文档，以供您学习参考，希望对您有所帮助，喜欢就下载吧！函数解答题构造函数证明不等式1函数解答题-构造函数证明不等式例1（2013年高考北京卷（理））设L为曲线在点(1,0)处的切线.x(I)求L的方程;(II)证明:除切点(1,0)之外,曲线C在直线L的下方.答案解:(I)设则所以所以L的方程为2xx(II)令则除切点之外,曲线C在直线l的下方等价于满足且2当时所以故g(x)单调递减;当时所以故g(x)单调递增.所以所以除切点之外,曲线C在直线L的下方.又解即变形为记则x所以当时在(0,1)上单调递减;当时在(1,+∞)上单调递增.所以例2（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD版））已知函数当时，2求证:1-(II)若恒成立,求实数a取值范围.答案解：(1)证明：要证x∈[0，1]时，(1＋x)e－2x≥1－x，只需证明(1＋x)ex≥(1－x)ex.－记h(x)＝(1＋x)ex－(1－x)ex，则h′(x)＝x(ex－ex)，当x∈(0，1)时，h′(x)＞0，因此h(x)在[0，1]上是增函数，故h(x)≥h(0)＝0.所以f(x)≥1－x，x∈[0，1]．－－要证x∈[0，1]时，(1＋x)e－2x1≤ex≥x＋＋x记K(x)＝ex－x－1，则K′(x)＝ex－1，当x∈(0，1)时，K′(x)＞0，因此K(x)在[0，1]上是增函数，故K(x)≥K(0)＝0.所以f(x)≤，x∈[0，1]．1＋x1综上，1－x≤f(x)≤，x∈[0，1]．1＋x(2)(方法一)xax＋1＋－g(x)＝(1＋x)e－－2xx3≥1－x－ax－1－2xcosx2xa＋1＋＋＝－x2设G(x)＝2cosx，则G′(x)＝x－2sinx.记H(x)＝x－2sinx，则H′(x)＝1－2cosx，当x∈(0，1)时，H′(x)＜0，于是G′(x)在[0，1]上是减函数，从而当x∈(0，1)时，G′(x)＜G′(0)＝0，故G(x)在[0，1]上是减函数．于是G(x)≤G(0)＝2.从而a＋1＋G(x)≤a＋3，所以，当a≤－3时，f(x)≥g(x)在[0，1]上恒成立．下面证明，当a＞－3时，f(x)≥g(x)在[0，1]上不恒成立．1x3f(x)－g(x)≤1－ax－2xcosx21＋x－xx3＝ax－－2xcosx21＋x1x＝－＋xa2＋－11x21记I(x)＝＋a＋2cosx＝＋a＋G(x)，则I′(x)＝＋G′(x)．当x∈(0，21＋x1＋x（1＋x）1)时，I′(x)＜0.故I(x)在[0，1]上是减函数，于是I(x)在[0，1]上的值域为[a＋1＋2cos1，a＋3]．因为当a＞－3时，a＋3＞0，所以存在x0∈(0，1)，使得I(x0)＞0，此时f(x0)＜g(x0)，即f(x)≥g(x)在[0，1]上不恒成立．综上，实数a的取值范围是(－∞，－3]．(方法二)11先证当x∈[0，1]时，1－x2≤cosx≤1－2.241记F(x)＝cosx－1＋x2，则F′(x)＝－sinx＋x.22记G(x)＝－sinx＋x，则G′(x)＝－cosx＋1，当x∈(0，1)时，G′(x)＞0，于是G(x)在[0，1]上是增函数，因此当x∈(0，1)时，G(x)＞G(0)＝0，从而F(x)在[0，1]上是增函数，因此F(x)≥F(0)＝0.所以当x∈[0，1]时，12≤cosx.同理可证，当x∈[0，1]时，cosx≤1－2.411综上，当x∈[0，1]时，1－x2≤cosx≤1－x2.24因为当x∈[0，1]时．xax＋1＋－g(x)＝(1＋x)e－－2x1x31－－x)－ax－1－＝－(a＋3)x.所以当a≤－3时，f(x)≥g(x)在[0，1]上恒成立．下面证明，当a＞－3时，f(x)≥g(x)在[0，1]上不恒成立．因为xax＋1＋－g(x)＝(1＋x)e－－2x11x31－－ax－＋xx2x3＝(a＋3)x1＋x223x－a＋3），a＋31所以存在x0∈(0，1)例如x0取中的较小值满足f(x0)＜g(x0)，即f(x)≥g(x)在[0，321]上不恒成立．综上，实数a的取值范围是(－∞，－3]．例3（2012高考辽宁文21）(本小题满分12分)设f(x)＝lnx＋x－1，证明：3(1)当x1时，f(x)(2)当1x＋5答案解：(1)(证法一)记g(x)＝lnx＋x－1－2(x－1)．则当x1时，113g′(x)＝x2，g(x)在(1，＋∞)上单调递减．2x又g(1)＝0，有g(x)f(x)由均值不等式，当x1时，x令k(x)＝lnx－x＋1，则k(1)＝0，k′(x)＝x1由①②得，当x1时，－，由(1)得x＋51154h′(x)＝＋＋xx＋55454＝＋＋＋－216x＝＋令g(x)＝(x＋5)3－216x，则当1－x＋5(证法二)记h(x)＝(x＋5)f(x)－9(x－1)，则当1－92x－1)＋(x＋＝2xx(x－1)＋(x＋5)(2＋x)－18x]－＋＋＋22－＝4xx2－32x＋25)因此h(x)在(1,3)内单调递减，又h(1)＝0，所以－.x＋5例4（2012高考浙江文21）（本题满分15分）已知a∈R，函数（1）求f(x)的单调区间（2）证明：当0≤x≤1时，＞0.答案解析（1）由题意得，当时，恒成立，此时f(x)的单调递增区间为当0时，此时函数f(x)的单调递增区间为，由于，当时，333当时，设1，则则有32所以当时，故例5（2012高考山东文22）(本小题满分13分)已知函数(k为常数，e=…是自然对数的底数)，曲线在点ex(1,f(1))处的切线与x轴平行.(Ⅰ)求k的值；(Ⅱ)求f(x)的单调区间；(Ⅲ)设，其中为f(x)的导函数.证明：对任意答案，ex由已知，，由(I)知，ex设111，则，即k(x)在上是减函数，xxx由知，当时，从而，当时，从而综上可知，f(x)的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(III)由(II)可知，当时，＜，故只需证明在时成立.当时，ex＞1，且，e设，，则，当时，，当时，，所以当时，F(x)取得最大值所以综上，对任意，函数极限证明记g(x)=lim^(1/n)，n趋于正无穷;下面证明limg(x)=max{a1,...am},x趋于正无穷。把max{a1,...am}记作a。不妨设f1(x)趋于a;作ba=0,M1;那么存在N1,当xN1,有a/MN2......构造可导函数证明函数不等式2构造可导函数证明不等式◎李思阳本溪市机电工程学校117022内容简要构造辅助函数，把不等式证明转化为利用导数研究函数的单调性或最值，从而证得不等式。而如何构造一个可导函数，是用导数证明不等式的关键。本文从热门的高考题及模拟题中选出四种类型题供师生们参考。关键词构造辅助函数；导数；不等式。一．直接作差1（2011·辽宁文科）设函数，曲线过P（1，0），且在P点处的切线斜率为2.（1）求a，b的值；（2）证明：。（1）解：由已知条件得，，即解得。(2)证明:因为f(x)的定义域为（0，+∞），由（1）知。设lnx，则。xx当0＜x＜1时，＞0，当x＞1时，＜0。所以g(x)在（0，1）内单调递增，在（1，+∞）内单调递减。而g(1)=0，故当x＞0时，g(x)≤0，即。总结：直接作差，用导数得，从而得证。直接作差是证这类题最常用的方法。二．分离函数2.（2011·课标全国卷文科）已知函数f(处的切线方程为。（1）求a，b的值；（2）证明：当x＞0，且时，f(x)＞(1)解:略，。，曲线在点（1，f(1)）。，所以。（2）证明：由（1）知考虑函数（x＞0），则x=。所以当时，＜0，而当x∈（0，1）时，h(x)＞0，可得，故1h(x)＞0；1h(x)＞0。当x∈（1，+∞）时，h(x)＜0，可得lnx从而当x＞0，且时，f(x)＞。总结：作差后的函数如可分为两个函数的积，直接求导很繁，可取其中一个函数求导，再讨论证明。三．巧妙变形3.（2010·辽宁文科）已知函数。（1）讨论函数f(x)的单调性；（2）设，证明：对任意x1，x2∈（0，+∞），。解：（1）略。（2）不妨设x1≥x2，由于，故f(x)在（0，+∞）减少。所以等价于-x2，即。令，则。于是xx2。xx从而g(x)在（0，+∞）单调减少，故g(x1)≤g(x2)。即，故，对任意x1，x2∈（0，+∞），。总结：通过等价变形，构造函数g(x)，利用g(x)的单调性得证。四．作函数积。exex1212证明:对任意的（0，﹢∞），＞x2设函数，g(x)=x+。ee，，得，易知fmin(x)=f(2)=—2。eee4.（2011·本溪一中模拟）对任意的（0，﹢∞），求证：＞，=0，得1，易知==。，∴fmin(x)＞gmax(x)，。ee2。因此＞。总结：直接做不好做，不等式两边同乘以一个函数，先进行证明，得到结果后再同除以这个函数，从而证得。函数极限证明3函数极限证明记g(x)=lim^(1/n)，n趋于正无穷;下面证明limg(x)=max{a1,...am},x趋于正无穷。把max{a1,...am}记作a。不妨设f1(x)趋于a;作ba=0,M1;那么存在N1,当xN1,有a/MN2时，0Ni时，0那么当xN,有(a/M)^n