环境数理统计-第二章

第二章：概率论基本概念和统计学基础一、概率及其运算二、随机变量的分布三、常见的统计量什么是概率？概率是0和1之间的一个数值，表示某个事件发生的可能性或经常程度。随机事件发生的概率，通常用字母P表示。如事件A的概率记作P(A)。小概率事件：发生概率很小的事件。(Smallprobabilityevent)对小概率事件研究的重要性：用小概率事件对假定的模型进行判断是假设检验的基础。得到概率的三种途径一、利用等可能事件（古典概率法）计算这些概率的基础就是事先知道（或者）假设这些事件是等可能的，且事件总数是有限的。这种事件又称为等可能事件(Equallylikelyevent)。二、根据长期相对频数（统计概率法）通过观察事件在大量重复试验中出现的频率来估计的概率，若重复试验的次数为n，事件A发生的频率为m，则事件Ａ发生的频率为m/n。又称为相对频数(Relativefrequency)。()/PAkn得到概率的三种途径这种计算方法得到的概率称为统计概率。当试验次数n无限增大时，统计概率值呈现出稳定在某一数值的特征，称为概率的稳定性。它体现了事件A发生的可能性大小是事件本身固有特性的反映。三、主观概率(Subjectiveprobability)既不能由等可能性来计算，也不可能从试验中得出。但可根据经验、常识或其他相关因素来判断的某一事件发生的可能性，这种概率称为主观概率。例如，你今年暑假去九寨沟旅游的概率。国家今年推行新的环保措施的概率。概率的基本性质和运算概率是非负数，即若事件Ａ是不可能事件，则概率不大于１，即若事件Ａ是必然事件，则对任何两事件Ａ和Ｂ有若事件Ａ和事件Ｂ互斥，则对任一事件Ａ有对任何两事件Ａ和Ｂ，若，则恒有()0PA()()0PAP()1PA()()1PAP()()()()PABPAPBPAB()()()PABPAPB()1()PAPAAB()()PAPB概率的相关术语互补事件(complementaryevent)独立事件(Independentevent)互不相容事件(Mutuallyexclusiveevent)条件概率(conditionalprobability)优势或赔率(Odds)：互补事件概率之比。Odds=p/(1-p)随机变量的分布（一）随机变量随着随机因素变化而变化，但又遵从一定概率分布规律的变量。随机变量的分布随机变量取一切可能值或范围的概率或概率的规律称为概率分布(Probabilitydistribution)，简称分布。概率的分布可以用表、各种图来表示，也可以用公式来表示。一个概率分布是和某总体(population)也称为样本空间(samplingspace)相联系的。随机变量的分布（二）为什么要确定一个随机变量的概率分布？在前面提到抽样调查时的总体（或有限总体）没有与概率相联系的实际存在。但在确定了抽样方法之后，有限总体就可能与概率有关的总体有某种联系，并且可能对诸如总体进行推断。这里的总体或样本空间为一个抽象的空间，它是由某种试验的所有可能结果点组成的，这些结果的获得都服从某种概率规律。一个总体（样本空间）是由一个取值范围及相连的概率所组成的。因此给出了概率分布就等于知道了总体。随机变量的分布（三）离散随机变量如果随机变量X只能以一定的概率取离散的数值，则称这种变量为离散型随机变量。连续随机变量如果随机变量X以一定概率的取值充满某一数值区间，即在某一数值区间中可任意取值，取值数量有任意多个，则称这种变量为连续型随机变量。分布和分布函数一个随机变量取值的规律，称为该随机变量的分布；表征随机变量分布的函数就是分布函数；给定随机变量X，考虑X的值小于x的概率为，显然它是x的函数，我们称其为随机变量X的分布函数。nxxx,,,21几种分布函数概率分布的描述离散变量的概率分布由其所有可能取值k的概率来描述。连续变量的概率分布由其取值范围内的点x的概率密度函数(probabilitydensityfunction,pdf)f(x)来描述。连续随机变量在单独点上的概率为零，而在某区间上概率可以利用积分得到。累积分布函数(Cumulativedistributionfunction,cdf)，简称为分布函数。它是随机变量小于或等于某数x的概率，记为F(x)。对离散变量，分布函数为：对连续变量，分布函数为：()()PXkpk()()baPaxbfxdx()()()xFxPXxftdt()()()kxFxPXkpk随机变量的分布（四）分布函数的性质，则有：（1）在（x）的整个区间中，任一随机变量必满足：1)(0xF（2）由于随机变量不取任何值的概率为零，因而有：0)(lim)(xFFx（3）随机变量能够取任何值为必然事件，因而有：1)(lim)(xFFx(4)当x2x1时，显然有概率)()(12xXPxXP，因而有：)()(12xFxF（当x2x1时）这表明分布函数具有单调递增的性质。随机变量的分布（五）分布密度函数(DistributionDensityFunction)分布密度函数的定义是：连续型随机变量X的值落在单位区间内的概率，记作。根据定义，可以得到分布密度和分布函数之间的关系：xdxxfxF)()(或xxFxxFxfx)()(lim)(0可以证明随机变量的概率密度函数f(x)有如下性质：)(0)(xxf1)(dxxf21)()()()(1221xxdxxfxFxFxXxP常见的离散分布（一）二项分布(BinomialDistribution)二项分布是一种常见的离散型随机变量的理论分布。设一次试验中，试验结果对事件A只有两种可能，出现或不出现，二者必居其一，且每次试验结果彼此独立，即一次试验的结果完全不影响另一次试验的结果。若令事件A出现的概率为p，事件A出现的概率（A不出现）为q，则显然有关系式：pq1进行n次试验中事件A出现k次的概率为：knkknknkknppCqpCP)1(由于式中的概率p的表达式是二项式nqp)(的展开式中的对应项，因而这一概率分布称为二项分布。常见的离散分布（二）二项分布的分布函数F（x）为kiinipCpkxPxF0)1()()(二项分布的数学期望为：nkknknppkCpXE0)1()(二项分布的方差为：nkknkknnpqppCnpk022)1()(常见的离散分布（三）[例1-8]已知某市的机动车辆整车噪声超标率为40％。若任意抽查10辆汽车，问抽查到噪声超标车辆的概率分布。解这显然是一个二项分布问题，依题已知n=10,p=0.4,q=0.6,即可按二项分布概率计算式(1-14)，计算超标车辆数0-10台的概率见表1-2。显然k=4的概率P有最大值，即抽到4辆汽车噪声超标的可能性最大。表1-2抽查到的超标车辆数目与其相应的概率超标车辆(k)012345678910概率(P)0.0060.040.120.220.250.200.110.040.010.00160.0001例题：024681000.050.10.150.20.250.30.3510次抽样中出现x台车辆超标概率（密度）0510152000.050.10.150.20.250.30.350.420次试验中出现x次小概率事件概率（密度）02040608010000.020.040.060.080.10.120.140.160.180.2100次试验中出现x次小概率事件概率（密度）已知假设性检验中所确定的小概率事件发生的概率为5%，若任意进行20次试验，问试验中出现小概率事件的概率分布。若任意进行100次试验，问试验中出现小概率事件的概率分布。假设性检验所涉及的小概率事件常见的离散分布（四）Poisson分布衡量某种事件在一定期间内出现的数目的概率。是单参数离散分布，随机变量取值为非负数。参数λ既是分布的均值又是分布的方差。参数为λ的poisson概率分布为：()0,1,2,!kPkexk0510152000.050.10.150.20.25参数为3,6,10的Poisson分布概率（密度）蓝色表示λ为3，即P(3)红色表示λ为6，即P(6)黑色表示λ为10，即P(10)Poisson概率分布图例总体的理论分布正态分布对数正态分布分布分布指数分布Weibull分布Maxwell分布常见的连续变量的分布（一）抽样统计量的分布样本均值的分布T-分布F-分布分布2正态分布（一）正态分布是一种具有重要理论和实践意义的连续型理论分布。在环境数据统计分析中，正态分布同样具有重要意义。一般而言，当随机变量受到很多随机因素的影响，而每一随机因素的影响很小，不起决定性作用时，具有这种特性的随机变量，一般服从正态分布。还有很大一类随机变量近似服从正态分布。正态分布（二）正态分布（三）正态分布（四）正态分布（五）对数正态分布（一）抽样统计量的正态分布（一）抽样统计量的正态分布（二）抽样统计量的正态分布（三）抽样统计量的分布（一）2抽样统计量的分布（二）2抽样统计量的分布（三）2抽样统计量的分布（三）2抽样统计量的t分布（一）抽样统计量的t分布（二）抽样统计量的t分布（三）抽样统计量的t分布（四）抽样统计量的t分布（五）抽样统计量的F分布（一）抽样统计量的F分布（二）抽样统计量的F分布（三）抽样统计量的F分布（四）Excel中常用统计函数正态分布函数NORMSDIST(z)返回标准正态分布累积函数。NORMDIST(x,mean,stand_dev,TRUE)返回指定平均值和标准偏差的正态分布累积函数。NORMSINV(probability)返回标准正态累积分布函数的分位数。NORMINV(probability,mean,stand_dev)返回正态累积分布函数的分位数。Excel中常用统计函数对数正态分布函数LOGNORMDIST(x,mean,stand_dev)返回指定平均值和标准偏差的对数正态分布累积函数。LOGINV(probability,mean,stand_dev)返回对数正态累积分布函数的分位数。如果p=LOGNORMDIST(x,...)，则LOGINV（p,...）=x。Probability是与对数分布相关的概率。Mean为ln(x)的平均值。Standard_dev为ln(x)的标准偏差。Excel中常用统计函数T分布函数TDIST(x,degrees_freedom,tails)返回学生t分布的概率。TDISTINV(probability,degrees_freedom)返回作为概率和自由度函数的学生t分布的t值。Probability为对应于双尾学生t分布的概率。X为需要计算分布的数字。Degrees_freedom为表示自由度的整数。Tails指明返回的分布函数是单尾分布还是双尾分布。如果tails=1，函数TDIST返回单尾分布。TDIST的计算公式为TDIST=P(Xx)。如果tails=2，函数TDIST返回双尾分布。TDIST的计算公式为TDIST=P(|X|x)。Excel中常用统计函数CHI-2分布函数（）CHIDIST(x,degrees_freedom)返回分布的概率（单尾）。函数CHIDIST按CHIDIST=P(Xx,degreesfreedom)计算。CHIINV(probability,degrees_freedom)返回分布函数的上侧分位数。如果probability=CHIDIST(x,...)，则CHIINV(probability,...)=x。Probability为分布的概率（单尾）。Degrees_freedom自