环境水力学ch2-2

环境水力学EnvironmentalHydraulics随流扩散方程的若干解析解环境工程教研室郑天柱回顾一、瞬时源1、集中源2、分布源一维分子扩散一维分子扩散DtxeDtSMtxc424),(延伸分布源有限分布源注意点：公式中的x应理解为计算点P距排放点的距离；t应理解为距某一指定时刻的时段长。第三节若干定解条件下一维扩散方程的解1、集中源2、起始分布源1)一维延伸分布源2)一维有限分布源二、时间连续源1）、一维延伸分布源物理模型：在一条长管中，左端（x≤0）充满了浓度均匀的红色染液，染液浓度为c0,管子的右端（x＞0）装满清水。在t=0时，突然开启隔离红色染液和清水的闸板。管左端的红色染液立即向右端扩散。在x正方向，初始浓度具有瞬时源的特征。建立坐标系,一维扩散方程为：定解条件：xtxcDtc,0,220,0,00)0,(xcxxcxO由于左边的红色染液是无限延伸的，所以染液只会沿x方向扩散。误差函数dtezerfzt022)(性质：a)奇函数b))()(zerfzerf1)(,0)0(erferf余误差函数定义为dtezerfczt22)()(1zerf利用瞬时集中源一维分子扩散的结论求解。在右端x＞0的浓度场，可看成是各个dξ微元引导的分浓度场的叠加。Odξx-∞c0Ｐ源分解，再叠加OxcPxOdξx-∞c0对于Ｐ点而言，该点的实际浓度值是所有各个dξ扩散至这一点的浓度之和。ODtxeDtScSddc4)(024deDtcdctxcDtx4)(0024),(单个dξ微元引导的浓度为：POdξXc0-ξxO积分求解：-∞变量代换取则Dtxu4duectxcuDtx240),()]4(1[20Dtxerfc)4(20Dtxerfcc浓度分布cc0xoc0/2扩散至t时刻浓度初始浓度一维延伸源扩散演示)4(2),(0Dtxerfcctxc例题3：如图，某足够长的河道，在某时刻的浓度分布为C01=10mg/L，C02=8mg/L，求C(x,t)=?(已知D＝2×10-5cm2/s)OC02=8mg/LC01=10mg/Lt=0x例3答案Lmgtxc/8),(02)/)(1024(2810)4(2),(502010201LmgtxerfcDtxerfccctxc),(),(),(020102txctxctxc其中：2)一维初始有限分布源如果初始分布不是一端无限，而是局限在一定范围中间，如图，染料向两端扩散。Odξxc0zhh一维初始有限分布源浓度分布OdξXc0zhhc设坐标原点在源的中间，则定解问题为：0,0,,00,,0,022thxthxcthxhcctxcDtc解法（1）类似地，可通过变量代换求解，请同学们课后练习。DtxeDtScSddc4)(024deDtctxcDtxhh4)(024),(——源分解，再叠加解法（2）两个延伸分布源相减：),(),(),(21txctxctxc)]4(1[2),(01Dthxerfctxc)]4(1[2),(02Dthxerfctxc)]4()4([2),(0DthxerfDthxerfctxc所以：其中：讨论：)]4()4([2),(0DthxerfDthxerfctxca)分布曲线关于x=0对称，且随着t的增大，浓度分布渐趋平坦；设想用一张平面在x=0点把它们截开分为两半，显然不影响浓度分布。这种情况可用来表示一端是固壁的有限分布源的扩散。b)t0,|x|≤h,c=c0；|x|h,c=0；满足初始条件。静水中一维初始有限源扩散演示二、时间连续源若污染物质的投放不是一次瞬间完成的，而是持续一定时间，这样的污染源称为时间连续源。1、一维扩散时间连续源设源断面为空间坐标的原点，开始投放时刻为时间起点。Oxc0建立坐标系。扩散方程为：初始条件：xtxcDtc,0,220,0,0,,00),(txctxtxc0,0,0),(txtxc边界条件：求解方法之一：量纲分析法设解为)()(),(00fCDtxfCtxCDtxC0为恒定时间连续源的投放浓度。其中，无量纲变量于是：而故tfCtC0tttDxt21)1(ftCtC20ddftC20由于：因为故xfCxC0Dtx12200221)()(fDtCxxfCxCxxC2201dfdDtC将上述结果代入一维扩散方程中22xcDtc0)12(220dfdtddftC0222ddfdfd0,;1,0fxfx可得：即：经过变换，把扩散方程变成了常微分方程，求解该方程，满足边界条件可解得：由边界条件得：2202121)exp(2)()4exp(AdAfAddf1121AA]]4[1[0DtxerfCC0,;1,0fxfx1、一维扩散时间连续源设源断面为空间坐标的原点，开始投放时刻为时间起点。Oxc0建立坐标系。扩散方程为：初始条件：xtxcDtc,0,220,0,0,,00),(txctxtxc0,0,0),(txtxc边界条件：求解方法之二：拉普拉斯变换),(~),()],([0pxcdtetxctxcLpt把x当作参变量，作c(x,t)关于t的拉普拉斯变换。积分变换Laplace变换的定义：bjapdtetfpftfLpt0)()(~)]([Laplace变换的性质：1、线性运算：)(~)(~)]()([2112211pfapfatfatfaL其中：2、指数函数：3、斜坡函数：4、正弦函数：5、脉冲函数：apdtetfpftetfptat1)()(~)0()(0则若20)()(~)0()(padtetfpftattfpt则若220)()(~)0(sin)(pdtetfpftttfpt则若1)]([1)()0(0)0()(tLdttttt则且若微分变换：积分变换：)0()0()0()0()(~])([)()1()2(21)()()()(nnnnnnnnnfpffpfppfpdttfdLdttfd则对)(~1])([)(00pfpdfLdftt则对pccDcpxdxcd00~~~22),(~),()],([0pxcdtetxctxcLpt作变换：变换为xtxcDtc,0,220,0,0,,00),(txctxtxcxDpxDpeAeAc21~其中，A１，A２为积分常数。通解为：求积分常数xDpeAcAx1~0，故＝时，要求＋当由边界条件，２xDpeAcAx21~0，故＝时，要求当综合上述，令x为离原点的距离，则有：pcApccxeAcxxDp01001~0~＝可得：时，当浓度分布]4[][)],(~[),(0011DtxerfccepcLpxcLtxcxDp表示一维扩散、时间连续源情况下浓度的时空分布。∴静水中一维时间连续源扩散演示xDpepcc0~若源点投入浓度非恒定对于时间连续非恒定源，即x=0处的源函数c0(τ)随时间是变化的。c0(τ)τ在每个dτ时间增量中，x=0处的浓度变化为dc0它引导的浓度分布为：])(4[0tDxerfcdcdcdτOtt时刻总的浓度是t以前全部时段内浓度分布的加和，即：dtDxerfcctxct])(4[),(00若源点给定质量速率源投放时间从0至t的每个块团所引起的浓度总和，即：dueuDxMtxcuxDt1402124),(dtDxtDMtxct])(4exp[)(4)(),(202)(4xtDu这里当恒定时：M浓度分布曲线１c/c0xt1t2Ot1＜t2因C(-x,t)=C(x,t)，只需考虑x正方向即可。一维扩散、时间连续源浓度分布复习瞬时源集中源分布源一维分子扩散一维分子扩散DtxeDtSMtxc424),(延伸分布源有限分布源]]4[1[0DtxerfCC)]4()4([2),(0DthxerfDthxerfctxc连续源一维分子扩散)4(2),(0Dtxerfcctxc2、三维扩散时间连续源如有一条排污管道，恒定地向一巨大水体排出污染物，下面来讨论这个排污口在三维扩散条件下浓度的时空分布规律。以污染源为原点，建立坐标系yxP(x,y,z)zm222zyxrO设排污管的排污口为空间坐标原点Ｏ，空间任一点Ｐ的坐标P（x,y,z)。P点至原点O的距离是r,管道开始排污的时刻为t=0,污染物排放速率为m(g/s).微分方程为：)(222222zcycxcDtc式中：Ｄ为分子扩散系数，m=常数。初始及边界条件：0,0,0,0,00),(txctxtxc0,0)0,(xxc三维扩散时间连续源的解法引用三维扩散瞬时点源的结果]4exp[)4(),,,(2223DtzyxDtMtzyxc瞬时脉冲源引导的浓度分布]4exp[)4(23DtrDttmddc三维扩散时间连续源的解法令单位时间投放的质量为m且恒定不变，若把连续时间t看作许多时间单位dt组成，瞬时脉冲源mdt’释放时刻t’，讨论时刻是t,源释放至讨论时刻的时间间隔是t-t’，所以对空间任意点P，由瞬时点源引起的浓度为：230223230)(])(4exp[)(8])(4exp[])(4[),(tttdttDrDmtdttDrttDmtrctt三维扩散时间连续源的解法tdttDrdttDr23)(42,)(4则令时，当时当ttDtrt,4,0引入无量纲变量：三维扩散时间连续源的解法)2(4]exp[24]exp[4]4[),(42243DtrerfcDrmdDrmdrDDmtrcDtrDtr于是：222zyxr