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四川师范大学学报（社会科学版）2007年12月JournalofSichuanNormalUniversity(SocialSciencesEdition)Dec,2007238解读投资组合的相关系数张际萍a严鹏飞b（四川师范大学文理学院，四川成都610110）摘要：本文仅运用了初等数学和一阶导数的数学工具，通俗易懂地诠释了两种证券报酬率之间的预期相关系数的直观经济意义，推导出相关系数的计算公式，并据以清晰地揭示了投资组合风险分散化效应的内在特征。对于两种证券构成的投资组合为最小方差组合时各证券投资比例的测定问题，比之“CPA教材”通过计算列示不同投资比例的投资组合进行比较的方法，本文探讨出的用初等数学表达的计算公式既简洁又精确；本文探讨出的用初等数学表达的计算公式来计算最小方差组合所要求的相关系数上限rAB的方法，也比“CPA教材”运用的图像测定法更简洁且准确，该计算公式和实例验证，均说明了“CPA教材”案例中的rAB值存在错误（导致错误的原因是由于图像测定法难以避免产生绘图误差和视觉误差。）关键词：投资组合；风险；相关系数；最小方差组合作者介绍：张际萍，女，四川师范大学文理学院管理系教师；严鹏飞，男，四川师范大学文理学院管理系教师。投资组合是指由两种或两种以上的资产构成的投资集合。由于研究投资组合理论中的资产通常以金融资产证券为讨论对象，因此，本文讨论的投资组合指证券投资组合。随着我国资本市场的改革和发展，为了更好地了解和运用证券投资，在证券投资管理中，对于证券投资组合风险的研究越来越深入，相关考试（如注册会计师全国统一考试等）已将其列入考试大纲要求掌握的内容。由于目前的有关教材、专业刊物在论述证券投资组合风险理论中涉及到两种证券报酬率之间的预期相关系数指标（以下简称“相关系数”）时通常都运用了高等数学中数理统计的知识，故而使得相关系数指标显得抽象难懂。为解决这一问题，本文只运用初等数学和一阶导数的数学工具，通俗易懂地诠释了相关系数的直观经济意义，推导出相关系数的计算公式，并据以清晰地揭示了投资组合风险分散化效应的内在特征。为讨论方便，本文引用以下符号：AA和AB分别表示证券A和证券B在投资总额中的比例；A和B分别表示证券A和证券B的标准差，并假设AB；P表示证券A和证券B构成的投资组合的标准差；rAB表示证券A和证券B报酬率之间的预期相关系数。一相关系数rAB的直观经济意义由于投资组合可以降低风险，但又不能完全消除风险。于是有：（AAA—ABB）22P（AAA+ABB）2令2P=A2A2B+A2B2B+2AAABBArAB…………………………………（1）由以上不等式可见：∣rAB∣1一般而言，多数证券的报酬率趋于同向变动，因此，rAB大多为小于1的正值。以下针对一般情况进张际萍严鹏飞解读投资组合的相关系数239行讨论。∵（AAA+ABB）2=A2A2A+A2B2B+2AAABBA……………………………（2）∴P(AAA+ABB)由公式（1）并对比公式（2），相关系数rAB的直观经济意义可表述为：相关系数是按加权平均的方法即公式（2）计算2P时，将公式（2）的右端2AAABBA项乘上一个小于1的系数（亦即是打一个折扣），该系数（“折扣率”）称之为A和B两种证券报酬率之间的预期相关系数rAB，∣rAB∣1。相关系数越小，P越小，投资组合的风险分散化效应越强；反之，投资组合的风险分散化效应越弱。2AAABBA（1—rAB）则表示证券A和证券B构成的投资组合被分散的以方差表示的风险的多少。从理论上讲，有两个极端的情况：（1）rAB=+1，表示证券A和证券B各年报酬率的增长总是成比例，两者完全正相关，投资组合不能降低风险；（2）rAB=–1表示证券A各年报酬率的增长和证券B各年报酬率的下降成比例，两者完全负相关，即：若BA，AA=AB，则P=0，完全消除了风险。但是，在实际经济生活中一般不存在以上两种理论上的极端情况。二相关系数rAB的计算公式的推导设Ai、Bi分别表示证券A、证券B历史上各年获得的收益率；A、B分别表示证券A、证券B各年获得的收益率的平均数；Pi表示证券A和证券B构成的投资组合各年获得的收益率，其他符号的含义同上。2A=11n2)(AAi2B=11n)(BBi22P=11n2)1(iiPnP=2)](1)[(11iBiAiBiABAAAnBAAAn=2)]()[(11BAAABAAAnBAiBiA=2)]()([11BBAAAAniBiA=)])((2)()([112222BBAAAABBAAAAniiBAiBiA=A2A×221)(BiAnAA×1)])([(21)(2nBBAAAAnBBiiBAi=A1)])([(22222nBBAAAAAiiBABBAA对照公式（1）得：ABBAiirnBBAA1)])([(张际萍严鹏飞解读投资组合的相关系数240=1)(2nAAi×1)(2nBBi×rAB∴rAB=22)()()])([(BBAABBAAiiii这就是相关系数rAB的计算公式。三投资组合风险分散化效应的内在特征1.两种证券构成的投资组合为最小方差组合（即风险最小）时各证券投资比例的测定公式（1）左右两端对AA求一阶导数，并注意到AB=1—AA：(2P)′=2AA2A－2(1－AA)2B＋2(1－AA)BArAB－2AABArAB令(2P)′=0并简化，得到使2P取极小值的AA：AA=ABBABAABBABrr2222……………………………………（3）式中,0≤AA≤1,否则公式（3）无意义。由于使(2P)′=0的AA值只有一个，所以据公式（3）计算出的AA使2P为最小值。以上分析清楚地说明：对于证券A和证券B，只要它们的系数rAB适当小（rAB的“上限”的计算，本文以下将进行分析），由证券A和证券B构成的投资组合中，当投资于风险较大的证券B的资金比例不超过按公式（3）计算的（1—AA），会比将全部资金投资于风险较小的证券A的方差（风险）还要小；只要投资于证券B的资金在（1—AA）的比例范围内，随着投资于证券B的资金比例逐渐增大，投资组合的方差（风险）会逐渐减少；当投资于证券B的资金比例等于（1—AA）时，投资组合的方差（风险）最小。这种结果有悖于人们的直觉，揭示了风险分散化效应的内在特征。按公式（3）计算出的证券A和证券B的投资比例构成的投资组合称为最小方差组合，它是证券A和证券B的各种投资组合中方差（亦即风险）最小的投资组合。现引用2005年度注册会计师全国统一考试指定辅导教材《财务成本管理》（以下简称“CPA教材”）第四章第四节的一个例子分析如下：例：假设A证券的预期报酬率为10%，标准差是12%；B证券的预期报酬率为18%，标准差是20%，两种证券之间的预期相关系数是0.2。“CPA教材”通过列示不同投资比例的投资组合进行比较的相关资料说明了最小方差组合下证券A和证券B的投资比例分别为80%和20%，该投资组合的标准差为11.11%，小于将全部资金都投资于风险较小的证券A的标准差（12%）。根据本文以上的讨论，只要将有关数据代入公式（3），AA和AB的值就可以一目了然地求得：AA=2.02.012.022.012.02.02.012.02.0222=78.57%≈80%AB=1%43.21%57.78≈20%本例，我们也可以根据前述相关系数的直观经济意义对投资组合的风险分散化效应的内在特征作如下分析：(1)如果证券A和证券B的相关系数为1，AA=80%，AB=20%的投资组合不存在风险分散化效应，该投资组合的方差比AA=100%的证券投资的方差增多：（004096.0%)12(%)202.0%128.022张际萍严鹏飞解读投资组合的相关系数241(2)由于证券A和证券B的相关系数为0.2，如前所述，AA=80%,AB=20%的投资组合被分散的以方差表示的风险为：006144.0)2.01(%20%122.08.02(3)以上两项的综合结果为：AA=80%,AB=20%的投资组合的方差比AA=100%的证券投资的方差减少0.002048（0.006144—0.004096），即：AA=80%,AB=20%的投资组合的方差2P为：2P=012352.0002048.0%)12(2∴P=%11.11012352.0(验证成功)1.最小方差组合符合AA＜100%，亦即AB＞0所要求的相关系数上限的测定由ABBABAABBABrr2222＜1解这个不等式得：rAB＜BA因而，上例中的rAB应小于6.020.012.0，而不是“CPA教材”所讲的rAB应小于0.5（用图象测定会引起绘图误差和视觉误差）。对此，可验证如下：当rAB=0.5,先根据公式（3）计算出AA的值：AA=%925.02.012.022.012.05.02.012.02.0222AB=1－92%=8%在这样的投资比例下,P=2122]5.02.012.008.092.02)2.008.0()12.092.0[(=11.92%＜12%(注：A=12%，B=20%)可见，如果rAB=0.5时，全部资金都投资于A证券的标准差（12%）大于拿出8%的资金投资于B证券的投资组合的标准差（11.92%），rAB=0.5不是最小方差组合符合AA＜100%亦即AB＞0所要求的相关系数的上限。事实上，本例最小方差组合为AA=92%,AB=8%的投资组合，其最小方差为11.92%（证明从略）。如果rAB=0.6,AA=16.02.012.022.012.06.02.012.02.0222AB=0即：当ABr≥0.6,只有将全部资金都投资于A证券，才能使得投资的标准差（风险）最小。参考文献：[1]中国注册会计师协会编:2005年度注册会计师全国统一考试辅导教材《财务成本管理》,中国财政经济出版社。[2]徐华青.肖武侠.卢晓生:《投资组合管理》，复旦大学出版社,2004年10月[3]葛余博:《概率论与数理统计》,清华大学出版社,2005年4月[4]李向科.戚发全:《金融数学》,人民大学出版社,2004年6月张际萍严鹏飞解读投资组合的相关系数242UnscrambleTheCorrelationCoefficientofInvestmentPortfolioZhangJi-pingaYanpeng-feib(ArtsandScienceCollegeofSichuanNormalUniversity,Chengdu,Sichuan610110)Abstract:Thisarticleuseselementarymathematicsandfirstderivativemathtools,annotatestheintuitiveeconomicmeaningofprospectivecorrelationcoefficientbetweentwosecurities’rateofreturnstraightaway.Itdeducestheformulaofcalculatingcorrelationcoefficient,alsoclearlyrevealstheinternalcharacteristicofinvestmentportfoliodiversificationofriskeffect.Inregardingtotheissueofmeasuringinvestmentratioofeachsecuritywhentwokindsofsecuritiesformaninvestmentportfoliohasm