环境系统分析3-1

第三章环境系统数学模型我们常见的数学模型玩具、照片…...风洞中的飞机…...地图、电路图…...实物模型物理模型符号模型观点：所谓的高科技就是一种数学技术。什么是数学模型建模的三大功能：解释、判断、预见解释——孟德尔遗传定律RrRr(×Rr)RRRrRrrr+表现性状比：3：1放射性废物处理美国原子能委员会提出如下的处理浓缩放射性废物的方案：封装入密封性很好的坚固的圆桶中，沉入300feet的海里。而一些工程师提出质疑？需要判断方案的合理性。判断30040vfts？F重F浮f阻＝0.08v谷神星的发现预见行星的轨道半径14321010,0,1,2,?,4,5nRn水、金、地、火、？、木、土1802年，发现了谷神星与3对应，之后，还发现了海王星、冥王星你碰到过的数学模型——“航行问题”甲乙两地相距750公里，船从甲到乙顺水航行需30小时，从乙到甲逆水航行需50小时，问船的速度是多少。用x表示船速，y表示水速，列出方程：75050)(75030)(yxyx求解得到x=20,y=5,答：船速每小时20公里航行问题建立数学模型的基本步骤•作出简化假设（船速、水速为常数）；•用符号表示有关量（x,y表示船速和水速）；•用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以时间）列出数学式子（二元一次方程）；•求解得到数学解答（x=20,y=5）；•回答原问题（船速每小时20公里）。数学模型(MathematicalModel)和数学建模（MathematicalModeling)数学模型:对于一个现实对象，为了一个特定目的，根据其内在规律，作出必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。数学建模：建立数学模型的全过程（包括建立、求解、分析、检验）。数学建模的重要意义•电子计算机的出现及飞速发展•数学以空前的广度和深度向一切领域渗透数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步，越来越受到人们的重视。数学建模计算机技术如虎添翼知识经济内容第一节环境数学模型概述第二节环境数学模型的建模方法简介第三节EXCEL在建立数学模型中的应用§3-1环境数学模型概述一、定义和分类1.定义如果一个事物M与另一个事物S之间，满足两个条件：•M中包含有一些元素(分量)，每个元素(分量)分别对应和代表S中的一个元素(分量)；•M中的上述分量之间应存在一定的关系，这种个关系可以用于与S的分量间关系进行类比。我们则将事物M称为事物S的模型。满足模型条件的数学表达式和算法叫做数学模型环境系统工程中的数学模型是应用数学语言和方法来描述环境污染过程中的物理、化学、生物化学、生物生态以及社会等方面的内在规律和相互关系的数学方程。2.模型的形式数学模型:方程式,函数,逻辑式图象模型:流程图,方向图,框图；计算机程序:计算程序,模拟程序相似模型:(实物放大缩小)建筑模型，风洞实验模型模拟模型:电模拟模型模型抽象模型具体模型3.数学模型的特点数学模型的最大特点是它的抽象性和对真实世界的理想化和简化，它要比其它模型更抽象、更简化、更反映事物本质优点：1）用数学模型进行对原型的展示和模拟研究，不需要过多的专用设备和用材料制作模型，仅需要一台计算机，比较容易实现，而且不受外界恶劣条件影响，可以加快模拟研究的进度。2）在实物模型上或原型上进行某些条件的模拟试验研究是不允许的或是不可能做到的，这些特殊或极限情况在数学模型中可以很容易做到，而且在数学模型模拟中不存在放大效应。3）在环境科学与工程领域，常常需要对大范围区域进行研究，如流域、区域、全球环境，这对物理模型几乎是不可能的，数学模型可以作到。4）利用计算机和多媒体技术，数学模型也可以把模拟结果表现的十分逼真制约1）抽象或简化可能或往往不完全正确，在描述系统的某些特征时有可能忽略了关键因素，造成模型失真2）二是由于系统本身的复杂性，数学模型仅能够对系统进行粗略的近似，模型本身存在着固有误差，如果不切实际地要求提高精度，会使得模型变得十分复杂，计算困难或根本无法获得可靠的解答。4.数学模型的分类划分依据模型类型变量与时间关系稳态模型动态模型变量间关系线性模型非线性型变量性质确定性模型随机性型参数性质集中参数模型分布参数模型模型用途模拟模型(评价)，管理模型(优化)环境系统数学模型的一般建模方法环境系统数学模型的基本结构如果我们关心的是环境系统的某一个状态变量Y（例如某污染物浓度或物理参数，如多个关心变量，成为方程组），影响这一状态变量的系统变量可以分成系统其它状态变量（x1，x2，….xn）和外部变量（u1，u2，….um），模型中参数为（1，2，….p）。则数学模型的一般结构可以表达为：,,yfxu环境系统模型中变量的分类干扰变量决策变量状态变量中间变量u,xy环境系统'yu二、数学模型的建立建模过程观测数据组Ⅰ模型结构选择模型应用观测数据组Ⅱ参数估计检验与验证1.数据的搜集与初步分析1）数据（或资料，即data）客观实体属性的值，是对客观事物及其状态进行记录而得到的用于鉴别的符号。2）信息（information）信息是反映客观情况的，它表达和反映了人们对某一事物的认识和了解程度；信息与决策是密切相关的，正确的决策必须依靠和控制有足够数量和质量的信息，信息通过决策体现自身的价值；信息是抽象的认识或知识。3）数据处理（1）明确收集数据的目标（2）有时间的连续性和一定的时间跨度（3）鉴别可靠性4）信息源的概念：与目标有关的信息集合信息源信息目标5）信息源的性质不可预知部分将可理解部分遗漏部分已理解部分可知部分不可知部分本质上不可知部分信息源2、模型的结构1）.白箱模型又称机理模型根据对系统的结构和性质的了解,以客观事物变化遵循的物理化学定律为基础，经逻辑演绎而建立起的模型是机理模型。这种建立模型的方法叫演绎法。机理模型具有唯一性建立机理模型最主要的方法是质量平衡法规律相同时可以通用2）黑箱模型又称经验模型或输入输出模型人们对系统运行规律没有掌握，仅根据观察即一定输入条件下的系统输出。建立模型时不追究系统运行内在机理，仅根据输入输出数据的观测，在数理统计基础上建立起的经验模型的方法叫归纳法。系统或状态下使用是有条件的经验模型不具有唯一性，可被多种不同类型的函数描述本世纪二十年代,意大利生物学家U.D‘Ancona在研究相互制约的各鱼类种群结构时发现,食肉鱼类的百分比在第一次世界大战期间急剧增加。当时他认为是由于战争期间捕捞量大大降低的结果,但捕捞量的减少也同样有利于被捕食的小鱼。尽管U.D.Ancona从生物学的角度多方考虑，始终未能取得满意的结果；然而,这一问题被意大利数学家Volterra解决,他建立起著名的“捕食模型”。从所讨论的事物出发来建立模型时，首先使重要特征以分量形式出现在模型中，在本问题中用x表示被捕食肉的小鱼的种群数，以y表示食肉鱼类(大鱼)的种群数,要求获得其相互制约关系,及人类活动对该关系的影响。Volterra的捕食模型为：kxBxyAxdtdxBxyAxdtdxDyCxydtdy(A,B,C,D,x,y0)kyDyCxydtdy新平衡点yP=(A-k)/BxP=(D+k)/C再讨论捕捞的影响,若对大鱼和小鱼都具有相同的捕捞比率,原模型转变为YX(X1k,Y1k)(X0,Y0)(X12,Y12)(X10,Y10)(X11,Y11)(XP,YP)图1-3Volterra捕食模型的轨线结构由dx/dt=0解出y0=A/B；由dy/dt=0解出x0=D/C；例：在x4，由归纳法建立的两函数为：y=4.4(1-e-0.86x)和y=2.733x-0.433x2，试绘制其函数图形，并分析其扩展性。0123450246)1(4.486.0xey2433.0733.2xxy3）灰箱模型称半机理模型，居于白箱和黑箱之间建立这种模型时人们对系统规律没有完全掌握，一些因素间数量上的关系只能用一个或多个经验系数来表示，这些经验系数的确定要靠对原型或实物模型上的观察或实验来获得。3.估计模型的参数在灰箱、黑箱模型的建立过程中，都需要进行模型参数的估计工作。待定参数可能是一个或多个，其数量取决于模型的结构。待定参数的确定方法一般有最小二乘法、经验公式法、优化法等。但需要认识到，灰箱模型结构的合理性是其进行参数估计的先决条件。而无论采用何种方法进行参数估计，都是建立在观测数据或实验结果的基础上。4.模型的检验和修正1）模型验证和模型误差结构形式和参数数值确定之后，数学模型就已具雏形，但还不能付诸应用。只有经过检验和验证的模型才能在一定范围内应用。输入新的(独立)观察数据,并根据输出数据和模型计算系统估计值之间的误差来检验和修正模型。若计算误差满足预定的要求，则建立模型的工作告一段落。若计算误差超过了预定的界限，则可通过修正参数的数值来调整计算结果；如果调整参数并不能使模型的精度有所改进，则要考虑模型结构的调整，并重新进行参数的估计和模型验证。经验证明合格的模型，可以在一定范围内应用。在应用过程中，要根据实际系统返回的信息对模型不断地修正和完善。2）利用图形验证系统数学模型模型预测值实际观察值3）利用相关系数法验证系统数学模型系统观察值和模型计算值也构成数对，可以用一元线性回归方法建立回归方程。显然，这条回归直线在由观察值和模型计算值构成的坐标纸上越接近45°线，线性相关关系越密切，表明模型计算值和系统实际值吻合得越好。也就是说，在回归方程中ymbyˆ022ˆˆˆˆyyyyyyyyRiiiiy：观测值为y值的估计值，即该点的模型预测值ˆy4）模型误差的表示方法必须通过模型计算值和观察值比较来获得对于用大量观测数据去度量的模型误差，则往往先用系统观察值和对应的模型计算值计算出绝对差值或相对差值，然后绘出累计频率曲线。我们常用累计频率为10%，50%和90%的差值说明模型的精度或误差水平。绝对误差ˆiiyyiiiiyyyeˆ相对误差把大量数据的绝对误差或相对误差按从小到大顺序排列，观察数据样本容量为n，某绝对误差或相对误差排列序号是m，该误差值的经验累计频率是：100%mpn00.20.40.60.81误差累积频率误差累积频率曲线误差e0.520.5ˆ0.67451iiiyyyen中值误差计算公式为：用相对误差表示用绝对误差表示1ˆ6745.025.0nyyEii标准误差平均误差中值误差、标准误差和平均误差之间数量关系e0.5=0.6745σ=0.84532ˆ1iiyynˆiiyyn5.竞争模型的对比和选择对一个系统来说，可能已经采用了不同的方法建立模型，来预测系统的同一个状态变量，这些模型称为竞争模型。对竞争模型的选择首先是分析模型的基本性能。一是模型应该能够对系统的决策变量或干扰变量的变化给出合乎逻辑的响应。二是预测值和观察值之间的差值平均值，随着观察次数的增加而应该趋向零，不与其它人为因素有关。三、对环境系统数学模型的基本要求和对建模能力的培养1、对环境模型的基本要求必须有足够的精度，能够满足应用要求尽可能简单、实用和易于推广建立模型的依据要充分模型中要有决策变量2、建立模型的能力和建模能力培养首先，专业知识是构建环境系统模型的基础其次是数学基础和能力要求建模者有丰富的想象力和敏锐的洞察力，需要积累一定的建模经验。四、数学建模的简单实例问题1：杀羊方案现有26只羊，要求7天杀完且每天必须杀奇数只，问每天分别杀几只？分析：1)这是一个有限问题，解决此类问题的一类方法是枚举，你可以试试。2）假设第天杀羊只则所提问题变为在自然数集上求解方程建模：于是，我们有了该问题的数学语言表达—数学模型求解：用反证法容易证明本问题的解不存在。71(21)26iik21()iikk为自然数i问题2：雨中行走问题：天将下雨，从寝室到教室有一段约一公里的路程。没拿雨具就下了楼，出了宿舍门，可刚走几步，天就下起大雨来。由于时间紧急，决定冒雨行走，问你将被淋得多湿？•问题