环境系统分析第三章

第三章环境质量基本模型§1污染物在环境介质中的运动一、基本概念环境介质：能帮助传递物质、能量的物质，传递过程中物质与能量有可能有耗散。三大类介质：流体(又可分为液体与气体)，固体，混合体(如土壤)。运动:事物状态的变化(广义)。物质状态的变化(位置、速度、密度、形态、质量、温度、带电量、组成成分)的变化。如：机械运动、物理运动、化学运动、生物运动、政治运动。污染物：对环境生态系统(特别是人体健康)有不良影响的物质、能量，一般为过量的有害物质。二、污染物在介质中各种运动（重要概念）•1、推流迁移运动：指污染物在气流或者水流作用下产生的位置移动。•污染物迁移量(质量通量)：（单位：物质量/单位时间*单位面积，如g/m2s）•X轴方向：fx=uxC•Y轴方向：fy=uyC，•Z轴方向：fz=uzC。SLuxQΔtxzyuy这段河道中的总水量•2扩散(稀释)运动：物质质量在空间分散化、均匀化，使物质浓度随时间不断变小。物质浓度总从高处向低处扩散。•1）分子扩散：由于分子随机运动引起的扩散—溶解，其速度与“热”有关。•浓度梯度：在某个方向上的浓度变化率•Fick第一定律（通量）X上某点浓度梯度•单位：物质量/单位时间*单位面积•Em为分子扩散系数，且各向同性；•2)湍流扩散：由于流体的湍流运动造成污染团内部质点强烈的随机运动—撕裂Fick第一定律（通量）：xcExCEImmx1yCEImy1zCEImz1xCEIxx2yCEIyy2zCEIzz2**ΔxΔc=c2-c1xc1c2xyzI1XI1ZI1Y•单位：物质量/单位时间*单位面积•Ex,Ey,Ez为x,y,z三个方向的湍流扩散系数，各向异性，一般x,y方向的扩散系数大于z方向的扩散系数。•3)弥散扩散：由于介质宏观运动(流速)分布不均匀，造成流体形变引起的扩散。•为断面平均值,单位：物质量/单位时间*单位面积•xCDIxx3yCDIyy3zCDIzz3C**1C2C12cccxc1c21C2Cx弥散湍流扩散分子扩散大气无z方向10-2~2×10-1(m2/s)x,y方向101~105很大1.5×10-5(m2/s)海洋：无z方向10-5~10-2x,y方向102~104很大河流：101~104(m2/s)很大10-2~100中等10-5~10–4很小须考虑须考虑•3裒减、转化运动：由于生物或化学的作用，由一种物质变化为另一种物质，对原物质是裒减了，而对于新生物质而言则是增生了。•以上数学模型是一阶一次常系数微分方程。描述的是某物质“浓度”变化速率，是该物质“浓度”本身的常系数一次函数，又称一级动力学模型。•当物质量为增生时：c2c1时，•当物质量为衰减时：c1c2时衰减速度常数kCdtdC单位时间、单位体积内的物质增量**tt2t1c1c21212ttcctcdtdC0tcdtdCkCdtdC0tcdtdCkCdtdC浓度变化速度•4（综合三种作用）的图像理解•只有推流迁移推流迁移+扩散推流迁移+扩散+裒减推流迁移+裒减•无推流迁移无推流迁移•仅有扩散有扩散+裒减•§2基本模型的推导•1.质量守恒原理•初始存量为：存量1，•一段时间后：存量2•对于输入端：物质总量=存量1+进入量（1）•对于输出端：物质总量=存量2+出去量（2）•存量1+进入量=存量2+出去量•存量2-存量1=进入量-出去量•存量的变化量（增量）=进入量-出去量存量进入量出去量•2.零维模型推导(完全混合）（重要）•在t1t2的Δt时段内•浓度c1c2Δc=c2-c1•物质量vc1vc2Δm=v(c2-c1)=vΔc•单位时间的物质变化量：kVQ,C0SQ,Cdtdcvtcvttcvtm时，取极限得：当0•根据质量平衡原理,单位时间的物质变化量也可表示为••Q*c0+S-(kc)*v-QC•所以：vkcSQCQCdtdcv)(0m3/smg/m3mg/smg/s*m3m3进入量出去量衰减项其中，V为反应器容积，Q为流入与流出反应器的介质流量C为输出反应器的污染物浓度，C0为输入反应器的污染物浓度，K为污染物衰减速度系数，S为污染物的源与汇零维模型主要应用于箱式空气质量模型和湖泊、水库水质模型。•一维模型推导（了解）•推流：fx=uxC•扩散：•立方体体积:•迎水面面积：图3-3体积元的质量平衡分析ZYXzxyx)(xfx)(xIx)(xxfx)(xxIxxCEIxxzySzyxVst1t2c1c2图3-3体积元的质量平衡分析xxCDxxCDxCuxCuxxxx)()(xCDCuxxZYXzyx•在x方向上立方体内污染物在t1t2时段内的变化量：•在单位时间内的变化量：单位时间内，流经端面的物质总量应为物质通量与面积的乘积，故单位时间内输入量为:(设任意点推流通量函数为f(x),扩散通量I(x))f(x)=uxC,x0X0+ΔxxCExIm)(cvccvvcvcmvcm)(2121tcvttcvtm时，取极限左式当0,k根据泰勒公式，可将任意函数f(x)在某点x=x0处用级数展开：将推流函数f(x)在x=x0展开：•所以在x=x0+Δx处：•因为微元很小,Δx也很小，可将所有含大于2阶得导数项省略，得：•将扩散函数I(x)在x=x0展开:nnxxnxfxxxfxxxfxfxf)(!)(....)(!2)())(()()(00)(200''00'0nnxxxxxxncuxxcuxxcucuxf)(!)(....)(!2)()()()(0)(20''0'nnxxxxnnxxxxxncuxcuxcucuxxxncuxxxcuxxxcucuxxf)(!)(....)(!2)()()()(!)(....)(!2)()()()()(2'''00)(200''00'0)()()()('0xxcucuxcucuxxfxxxxnnxxxxxxnxcExxxcExxxcExcExI)(!)(....)(!2)()()()(0)(20''0'•所以在x=x0+Δx处，将所有含大于2阶得导数项省略，得：•单位时间输入量：断面面积•单位时间输出量：•单位时间，该体积元的物质变化量为（2）-（3）)()()(00'0xxxxcExcExxIxx)()()(0xxxcExcExxIxxzyxCECuzyIfxxxx][)(zyxxCExxCExCuxCuxxxx])()([zyxxxcExxcuzyxtcxx)()(（2）（3）推流增量扩散增量约去相同项：当ux,Ex,为常数时，如果考虑衰减作用：体积元内污染物按一级反应式衰减,衰减量为xxcExcutcxx)(22)(xCExcuxxcExcutcxxxxzyxKC-单位时间单位体积内的衰减量kcxcExcutczyxkczyxxxcExxcuzyxtcxxxx22)()(单位时间浓度变化推流增量扩散增量衰减变化量(源汇项）局地项推流项扩散项衰减项•二维模型推导与一维基本模型的推导相似，当在x方向和y方向存在浓度梯度时，可建立起二维基本模型Y方向扩散项Y方向推流项式中，Ey——y坐标方向的弥散系数；uy——y方向的流速分量；三维模型推导如果在x、y、z三个方向上都存在浓度梯度，可以用类似方法推导出三维基本模型：式中，Ex、Ey、Ez—x、y、z坐标方向的湍流扩散系数；uz—z方向的流速分量。KCyCuxCuyCExCEtCyxyx2222KCzCuyCuxCuzCEyCExCEtCzyxzyx222222•模型使用范围（重要）•零维模型：（假定内部无浓度梯度，浓度均匀化）•------适合于箱体，湖泊环境•一维模型（在一个方向上有浓度梯度变化）•--------适合于细、长、浅河流环境•二维模型（在二个方向上有浓度梯度变化）•--------适合于宽、长、浅大型河流，河口、海湾、浅湖•三维模型（在三个方向上有浓度梯度变化）•--------适合于宽、长、深环境，如大气、海洋、深湖•§3数值解与解析解•一、概述•由于环境问题涉及因素复杂(一些模式参数常是变数)，数学上能求得解析解的微分方程(又称控制方程)又不多，常需把问题简化(对运动作约束)后才能求得解析解，因此解析解的使用条件很严，不能乱用。控制方程简化过程中涉及的数学分析问题有：•1.化简控制方程（重要）•1）物质运动性质分析，常涉及微分方程(控制方程)的阶数。•平流问题，控制方程是一阶微分方程：•扩散问题，控制方程是二阶微分方程：zCwyCvxCutC222222zCEyCExCEtCzyx•2）物质运动在几维空间内进行，含几个空间变量。•在一维空间内运动，只含一个空间变量：•即•在二维空间内运动，含二个空间变量：••在三维空间内运动，含三个空间变量：•3）运动是否随时间而变化，方程含不含时间t这个变量。•对于瞬时排放，污染物浓度随时间而变化•22xCEtCx0,0xzy2222yCExCEtCyx0z222222zCEyCExCEtCzyxkCyCExCEtCyx2222•对于稳定排放，浓度不随时间变化•4）运动中是否质量、能量守恒的分析，常涉及是否存在“外力”作用，控制方程中有否强迫项(源、汇)。•无源、汇项存在，守恒物质方程：•非守恒物质，有源、汇存在，方程非齐次•2.模型解析解(重要）•解析解：•通解：•定解：•定解条件（初、边值条件）：0,02222tCkCyCExCEyx222222zCEyCExCEtCzyxpkCzCEyCExCEtCzyx222222源汇项•例题：求的通解、定解(了解）•代入初边值条件求积分常数：x=0时，c=c0ukxcukxcecxCeceexCcxukcdxukCdC**1)(得,令)(两边取对数得：ln两边积分得：11ukxecxccCeCc00*0*0)(定解：积分常数通解：CukdxdC积分常数cc•1）瞬时排放的解析解（浓度随时间变化）•(1)一维流场、无弥散、有推流、有裒减，（重要）（推流作用》扩散作用）•控制方程为：•根据条件化简上面方程•得：•解：图像表示KCzCuyCuxCuzCEyCExCEtCzyxzyx222222KCzCuyCuxCuzCEyCExCEtCzyxzyx222222kCxCutCt=0t=1t=2X=ut初始条件：t=0时,c=C0，则其浓度为:•x=ut污染物正好到达：•=0当x≠ut污染物已过或未到•显然只有x=ut处有污染物。•(2)一维流场，有弥散、有推流、有裒减，（弥散、推流、裒减作用相当）•控制方程为：（重要）•求得通解，代入以下初边值条件•初值：t=0,c=c0;•边值：x=0，c=c0；x=∞，c=0ukxkteCeCtxC/00),(kCxCuxCEtCx22tDutxx