第四章 环境规划与管理的数学基础

第四章第四章第四章第四章环境规划与管理的环境规划与管理的环境规划与管理的环境规划与管理的数学基础数学基础数学基础数学基础第一节第一节第一节第一节环境数据处理方法环境数据处理方法环境数据处理方法环境数据处理方法第二节第二节第二节第二节最优化分析方法最优化分析方法最优化分析方法最优化分析方法第三节第三节第三节第三节常用决策分析方法常用决策分析方法常用决策分析方法常用决策分析方法第四节第四节第四节第四节环境数学模型环境数学模型环境数学模型环境数学模型第一节第一节第一节第一节环境数据处理方法环境数据处理方法环境数据处理方法环境数据处理方法列表法图示法一一一一、、、、数据的表示方法数据的表示方法数据的表示方法数据的表示方法将数据列成表格将数据列成表格将数据列成表格将数据列成表格，，，，将各变量的数值将各变量的数值将各变量的数值将各变量的数值依照一定的形式和顺序一一对应起来依照一定的形式和顺序一一对应起来依照一定的形式和顺序一一对应起来依照一定的形式和顺序一一对应起来，，，，它通常是整理数据的第一步它通常是整理数据的第一步它通常是整理数据的第一步它通常是整理数据的第一步，，，，能为标绘曲线图或能为标绘曲线图或能为标绘曲线图或能为标绘曲线图或整理成数学公式打下基础整理成数学公式打下基础整理成数学公式打下基础整理成数学公式打下基础。。。。将数据用图形表示出来将数据用图形表示出来将数据用图形表示出来将数据用图形表示出来，，，，它能用它能用它能用它能用更加直观和形象的形式将复杂的数据表现出来更加直观和形象的形式将复杂的数据表现出来更加直观和形象的形式将复杂的数据表现出来更加直观和形象的形式将复杂的数据表现出来,,,,可以直观地看出数据变化的特征和规律可以直观地看出数据变化的特征和规律可以直观地看出数据变化的特征和规律可以直观地看出数据变化的特征和规律,,,,为后一步数学模型的建立提供依据为后一步数学模型的建立提供依据为后一步数学模型的建立提供依据为后一步数学模型的建立提供依据。插值法计算数值1111、、、、列表法列表法列表法列表法例例例例：：：：研究电阻的阻值与温度的关系时研究电阻的阻值与温度的关系时研究电阻的阻值与温度的关系时研究电阻的阻值与温度的关系时，，，，测试结果如测试结果如测试结果如测试结果如下下下下：：：：测量序号测量序号测量序号测量序号温度温度温度温度t/t/t/t/℃℃℃℃电阻电阻电阻电阻R/R/R/R/ΩΩΩΩ111110101010．．．．555510101010．．．．42424242222229292929．．．．444410101010．．．．92929292333342424242．．．．777711111111．．．．32323232444460606060．．．．000011111111．．．．80808080555575757575．．．．000012121212．．．．24242424666691919191．．．．000012121212．．．．676767672222、、、、图示法图示法图示法图示法
图示法的第一步就是按列表法的要求列出因变量图示法的第一步就是按列表法的要求列出因变量图示法的第一步就是按列表法的要求列出因变量图示法的第一步就是按列表法的要求列出因变量yyyy与自变量与自变量与自变量与自变量xxxx相对应的相对应的相对应的相对应的yyyyiiii与与与与xxxxiiii数据表格数据表格数据表格数据表格。。。。
作曲线图时必须依据一定的法则作曲线图时必须依据一定的法则作曲线图时必须依据一定的法则作曲线图时必须依据一定的法则，，，，只有遵守这些只有遵守这些只有遵守这些只有遵守这些法则法则法则法则，，，，才能得到与实验点位置偏差最小而光滑的才能得到与实验点位置偏差最小而光滑的才能得到与实验点位置偏差最小而光滑的才能得到与实验点位置偏差最小而光滑的曲线图形曲线图形曲线图形曲线图形。。。。
坐标纸的选择坐标纸的选择坐标纸的选择坐标纸的选择--------常用的坐标系为直角坐标系常用的坐标系为直角坐标系常用的坐标系为直角坐标系常用的坐标系为直角坐标系，，，，包包包包括笛卡尔坐标系括笛卡尔坐标系括笛卡尔坐标系括笛卡尔坐标系（（（（又称普通直角坐标系又称普通直角坐标系又称普通直角坐标系又称普通直角坐标系）、）、）、）、半对半对半对半对数坐标系和对数坐标系数坐标系和对数坐标系数坐标系和对数坐标系数坐标系和对数坐标系。。。。2222、、、、图示法图示法图示法图示法•半对数坐标系•一个轴是分度均匀的普通坐标轴，另一个轴是分度不均匀的对数坐标轴。•右图中的横坐标轴（x轴）是对数坐标。在此轴上，某点与原点的实际距离为该点对应数的对数值，但是在该点标出的值是真数。为了说明作图的原理，作一条平行于横坐标轴的对数数值线。半对数坐标的标度法半对数坐标的标度法半对数坐标的标度法半对数坐标的标度法对数坐标系对数坐标系对数坐标系对数坐标系两个轴两个轴两个轴两个轴(x(x(x(x和和和和y)y)y)y)都是对数标度的坐标轴都是对数标度的坐标轴都是对数标度的坐标轴都是对数标度的坐标轴，，，，即每个轴的标度都即每个轴的标度都即每个轴的标度都即每个轴的标度都是按上面所述的原则作成的是按上面所述的原则作成的是按上面所述的原则作成的是按上面所述的原则作成的例例例例：：：：用分光光度计法测定溶液中铁的含量用分光光度计法测定溶液中铁的含量用分光光度计法测定溶液中铁的含量用分光光度计法测定溶液中铁的含量,,,,测得标准曲线数据如下测得标准曲线数据如下测得标准曲线数据如下测得标准曲线数据如下：：：：FeFeFeFe（（（（μμμμg/mLg/mLg/mLg/mL））））24681012246810122468101224681012吸光度吸光度吸光度吸光度（（（（AAAA））））0.0970.2000.3040.4080.5100.6130.0970.2000.3040.4080.5100.6130.0970.2000.3040.4080.5100.6130.0970.2000.3040.4080.5100.613测得未知液的吸光度为测得未知液的吸光度为测得未知液的吸光度为测得未知液的吸光度为0.4130.4130.4130.413，，，，试求未知液中铁的含量试求未知液中铁的含量试求未知液中铁的含量试求未知液中铁的含量。。。。工作曲线y=0.0516x-0.0061R2=100.10.20.30.40.50.60.702468101214Fe的浓度(μg/mL)吸光度(A)在图的纵坐标上在图的纵坐标上在图的纵坐标上在图的纵坐标上0.4130.4130.4130.413处找到直线上对应点处找到直线上对应点处找到直线上对应点处找到直线上对应点，，，，读出其对应的横坐标即读出其对应的横坐标即读出其对应的横坐标即读出其对应的横坐标即为未知液中铁的含量为未知液中铁的含量为未知液中铁的含量为未知液中铁的含量8.1228.1228.1228.1223333、、、、插值法计算数值插值法计算数值插值法计算数值插值法计算数值（（（（1111））））作图插值法作图插值法作图插值法作图插值法babcbabcyyyyxxxx−−=−−所以()()()bbababccbayxxyyxxyxx−−−−=−此式即为比例法内插公式，从图上可看出，因为用yc代替了yd,产生了dcyyyΔ=−的误差。（（（（2222））））比例法比例法比例法比例法（（（（3333））））牛顿内插公式牛顿内插公式牛顿内插公式牛顿内插公式一般的非线性函数都可以展开为多项式一般的非线性函数都可以展开为多项式一般的非线性函数都可以展开为多项式一般的非线性函数都可以展开为多项式2012nnyaaxaxax=++++⋯例例例例：：：：制作制作制作制作的查分表的查分表的查分表的查分表。。。。32yxx=++表中表中表中表中△△△△yyyy表示表示表示表示yyyy的依次差值的依次差值的依次差值的依次差值，，，，△△△△yyyy2222表示表示表示表示yyyy的差值的差值的差值的差值的差值的差值的差值的差值，，，，以此类推以此类推以此类推以此类推。。。。在上面的例子中在上面的例子中在上面的例子中在上面的例子中，，，，xxxx的差值为的差值为的差值为的差值为1111，，，，实际上实际上实际上实际上xxxx的差值可以为任的差值可以为任的差值可以为任的差值可以为任意恒量意恒量意恒量意恒量，，，，令此恒量为令此恒量为令此恒量为令此恒量为hhhh，，，，做出差分表的通式做出差分表的通式做出差分表的通式做出差分表的通式。。。。（（（（二二二二））））数据特征数据特征数据特征数据特征
数据特征是对环境总体状况进行估计判断的基础数据特征是对环境总体状况进行估计判断的基础数据特征是对环境总体状况进行估计判断的基础数据特征是对环境总体状况进行估计判断的基础，，，，是认是认是认是认识数据理论特性的基本出发点识数据理论特性的基本出发点识数据理论特性的基本出发点识数据理论特性的基本出发点，，，，通常可分为以下三类通常可分为以下三类通常可分为以下三类通常可分为以下三类：：：：
位置特征数位置特征数位置特征数位置特征数::::表示数据集中趋势或刻画频数分布图中心位表示数据集中趋势或刻画频数分布图中心位表示数据集中趋势或刻画频数分布图中心位表示数据集中趋势或刻画频数分布图中心位置的特征数置的特征数置的特征数置的特征数；；；；
离散特征数离散特征数离散特征数离散特征数::::用来描述数据分散程度用来描述数据分散程度用来描述数据分散程度用来描述数据分散程度；；；；
分布形态特征数分布形态特征数分布形态特征数分布形态特征数::::刻划了根据所获数据绘制的分布曲线图刻划了根据所获数据绘制的分布曲线图刻划了根据所获数据绘制的分布曲线图刻划了根据所获数据绘制的分布曲线图的形态的形态的形态的形态。。。。1.1.1.1.位置特征数位置特征数位置特征数位置特征数（（（（1111））））算术平均数算术平均数算术平均数算术平均数：：：：式中式中式中式中：：：：xxxx1111,x,x,x,x2222,,,,…,x,x,x,xnnnn为样本个体数据为样本个体数据为样本个体数据为样本个体数据，，，，nnnn为样本个数为样本个数为样本个数为样本个数nxnxxxxniin∑==+++=121⋯（（（（2222））））加权平均数加权平均数加权平均数加权平均数如果样本个体数据如果样本个体数据如果样本个体数据如果样本个体数据xxxx1111,x,x,x,x2222,,,,…,x,x,x,xnnnn取值因频取值因频取值因频取值因频数数数数不同或对总体重要性有所差别不同或对总体重要性有所差别不同或对总体重要性有所差别不同或对总体重要性有所差别，，，，则常采取加权平均方则常采取加权平均方则常采取加权平均方则常采取加权平均方法法法法。。。。∑∑===++++++=niiniiinnnwwx⋯⋯式中式中式中式中：：：：是个体数据出现频数是个体数据出现频数是个体数据出现频数是个体数据出现频数，，，，或是因该个体对样本或是因该个体对样本或是因该个体对样本或是因该个体对样本贡献不同而取的不同的数值贡献不同而取的不同的数值贡献不同而取的不同的数值贡献不同而取的不同的数值。。。。()nnnnGxxxxxxx12121⋯⋯==1.1.1.1.位置特征数位置特征数位置特征数位置特征数∑==+++=niinxnxxxnH1211111⋯（（（（4444））））调和平均数调和平均数调和平均数调和平均数（（（（3333））））几何平均数几何平均数几何平均数几何平均数（（（（5555））））中位数中位数中位数中位数
环境数据有时显得比较分散环境数据有时显得比较分散环境数据有时显得比较分散环境数据有时显得比较分散，，，，甚至个别的数据离群甚至个别的数据离群甚至个别的数据离群甚至个别的数据离群偏远偏远偏远偏远，，，，难以判断去留难以判断去留难以判断去留难