§54电路系统对任意激励的零状态响应--卷积积分

5.4电路系统对任意激励的零状态响应－卷积积分1.卷积积分定理：任一LTIS对任意激励信号f(t)的零状态响应应该等于该激励信号与电路系统冲击响应的卷积积分。即:)()()()()()()(00thtfdhtfdthftyttttzs5.4.1卷积积分定理：0()lim()ntPt))()((thtPnn)(lim)(ththnn0Pn(t)tLTISthn(t)1证明：因为任意信号f(t)可以分解为宽度为的无穷多个窄脉冲信号的迭加0okf(t)fn(t)yn(t)ynk(t)y(t)t()fk()()()()()nnnknftfkPtkfkPtk()()()()()nnnknytfkhtkfkhtk,,dkd积分求和任意信号：dtftf)()()(任意信号产生的零状态响应：dthftyzs)()()(响应迭加：当时，)0(因为对于一切物理可实现系统（因果系统），t0时，h(t)=0，而由于时，。所以积分上限应为t；又如果输入的信号是单边的，则积分下限应为t0（或0）。t0)(thttzsdthfty0)()()(2.物理意义：LTIS在任意时刻t对任意激励的零状态响应等于从激励函数开始作用的时刻（）到指定时刻（）区间内，无穷多个幅度不同，连续出现的冲击响应的总和。0tt这就是说，输入f(t)从t=t0到t这段时间内电路的连续作用，可以用一序列冲击信号对电路激励去等效，每个冲击信号)()(ktkf的强度为，相应的响应)()(fkf为，就是输入冲击信号的瞬间，而t可以理解为观察这个输入作用引起响应的瞬间。因为时刻作用的信号，到t时刻才观察到输出，这之间时间差值即为。即可以理解电路对输入作用的记忆时间。因为不能为负，所以积分上限只能取到t，而不能到∞。其实电路上的这种卷积积分只不过是数学上卷积的特例，并赋予物理意义。)()(thf0ttt2.利用卷积积分求电路系统零状态响应的方法：方法步骤:（1）求出系统的冲击响应h(t)（2）代公式进行卷积积分，或利用卷积性质，求得yzs(t)解:1.（1）求得电路的冲击响应：因为电路KCL：)(3)()()()()(3tUetUeLRthttidttdiRLttLRLL6R2HLiL(t)()ft例1：已知图示电路，（1）输入为A电流，求响应iL(t)。（2）输入为A电流，求响应i’L(t)2()teUt)2(2)2(tUet)()(3)1(3]21[6632)()()(32020203)(0tUeeeeeedeedeedhtftitttttttttttL2.)2()(3)(')2(3)2(tUeetittL（2）卷积求yzs(t)例2.已知一LTI网络，冲击响应为，求当输入信号为矩形波时的零状态响应。11f(t)t()100()()()1(1)()ttttzsytfhtdedeUt（2）求U(t-1)激励时的响应：根据延时不变性可得：)1()1()()1(2tUetytzs)()(tUetht解：因为输入信号f(t)=U(t)-U(t-1),（1）当U(t)激励时，其响应为yzs1(t)（3）求f(t)激励时的响应：根据LTIS的线性性：)1()1()()1()()()()1(21tUetUetytytyttzszszs3.LTIS的完全响应：利用卷积求得系统零状态响应，再与系统零输入响应叠加，即求得系统的完全响应为：（设系统特征根互异）nittzpszzpdthfeAtytytyi10)()()()()(4.卷积的图形解法(1).卷积的图形解释：卷积实际上是一种数学工具，我们可以用图解法来清楚的说明其含义。设：（1）褶叠：（将横轴t→，对褶过去）（2）平移（3）相乘积分)(hh(t)h()()h)(th()()ftf00001-1/22t-2-2111(a)(b)(c)(d)ta1tr1ttt(2).卷积积分积分限的确定原则：若函数的非零值左边界（即函数不为0的最小值）分别为tl1和tl2，其非零值右边界（即最大的值）分别为tr1和tr2，则积分下限为max[tl1,tl2]，上限为min[tr1,tr2]。即积分下限取它们左边界的最大者，而积分上限取它们右边界中的最小者。)()(21tff和f()f())(th00001-1/2t-2-1/2(a)(b)(d)(e)ttttt00(c)(f)tt)(tht-2)(th-1/2t-2t1f())(th1-1/2t-2t1t-2tf())(th1-1/2f()f())(h3/2123-1/215/169/1612t121t31t321tt3ttttdtthtf21216144)(211)()(112133()()1()2416tfthttd1224324)(211)()(tttdtthtf0)()(thtf()()0ftht(a)(b)(c)(d)(e)(){00(){tAfthtBe其余例：求如图（a）（b）所说函数f(t)和h(t)的卷积积分。解：（1）写出表达式：t0t00taAaf(t)t00h(t)tBBe-t(a)（b）Aaf(t)0Aaf(t)0t(C)（d）（2）计算卷积积分：Aaf(t)t00h(t)tBBe-t(a)（b）Aaf(t)0Aaf(t)0t(C)（d）)(*)()(thtftyⅰ.t0，无重叠。ⅱ.0≤t≤a，tl1=0,tl2=-∞,选tr1=a,tr2=t)()(thf和0()0()()()(1)ttttytfhtdABABedeⅲ.t≥a，tl1=0,tl2=-∞，tr1=a,tr2=t选tl1=0,tr=0)(0)()1()(ataateeABdABety一.卷积代数1.交换律：)()()()(1221tftftftf1212()()()()ftftfftdddt＝－则－＝令t2121()()()()()ftfftdftft5.4.3卷积的性质证明：)]()([)()()]()([321321tftftftftftf)()()()()]()([)(3121321tftftftftftftf3.结合律：证明：)]()([)(])()]()[(])()]()[()(])()([)()]()([321321321321321tftftfddtfffddtfffdtfdfftftftf2.分配律：二.卷积的微分和积分：1.微分：)()()()()]()([212121tfdttdfdttdftftftfdtddttdftfddttdffdtffdtdtftfdtd)()()()()()()]()([21212121证明：同理可证第二等式2.积分tttdftfdftfdff)()()()()]()([122121ttttttdftfddffddffdff)()(])([)(])()([)]()([11212121证明：3.高阶导数和多重积分设：)]()([)(21tftfty则有：)]()([)()(2)(1)(tftftyjiji推论：tdfdttdftftfty2121)()()()()(例：tttUttUtdttUdttdtUtU)()(*)()(*)()(*)(三、与冲击函数或阶跃函数的卷积1、与冲击函数的卷积：)()(*)(tfttf证明：)()()()()()()(tfdtfdtfttf或写为)()()()(tfdtf抽样性推论：)()(*)(00ttftttf2、与阶跃信号的卷积：tdftftUtUtf)()()(*)()()(tttdfdftdftUdtdtUtf)()(*)()(*)()(*)(证明：)(*)(*)(*)(2)2(tUetttUtUett例1、计算)()(313)()()()()()()()()()()()()]([)(22)(2222)2(tUeetUetUedtUeUetUetUetUetttUetUetttUtUettttttttttt解：原式例2、图示系统是由几个子系统组成的，各个子系统的冲击响应分别为：若激励试求总系统的零状态响应)3()()(),1()(tUtUthtthGD)1()()(tUtUtf)(tyhD(t)hD(t)hD(t)hG(t)f(t)h1h2h3y(t)h4解（1）求h(t):对因果系统而言，串联系统的冲击响应等于各串联子系统的冲击响应卷积（结合律）；并联系统的冲击响应等于各并联子系统的冲击响应相加（分配律）123400()[]*:()[()(1)(1)*(1)]*[()(3)][()(1)(2)]*[()(3)][()(3)]*()[()(3)]*(1)[()(3)]*(2)()*()(hthhhhhtttttUtUttttUtUtUtUttUtUttUtUttftttftt即)()[()(3)][(1)(4)][(2)(5)]()()(1)(2)(3)(4)(5)(2)():()()*()htUtUtUtUtUtUthtUtUtUtUtUtUtytythtft求)6()6()3()3(2)()]1()1()([*)]5()4()3()2()1()([)]1()([*)]5()4()3()2()1()([)()(*)()(*)(tUttUtttUtUtttUttttttdUUtUtUtUtUtUtUdtdtydttfdttdhtfthtt作业:1、2、3、4、5、6、10、12、13、14、15、16、17