§82线性电路对周期性激励的稳态响应

§82线性电路对周期性激励的稳态响应步骤：1、将周期性激励分解为傅里叶级数；2、根据叠加定理，求每一谐波源单独作用于电路的响应；3、将各谐波激励所引起的时域响应叠加起来，即得线性电路对非正弦周期性激励的稳态响应。例1一个周期性矩形脉冲电流源激励一个并联谐振电路。已知：电路的参数为R=20,L=1mH,C=1000pF。，2T试求：此并联谐振电路的端电压u(t)。T=6.28s，。mA2πpI解：(1)对周期性激励电流进行谐波分析。2222022)(pTttTtIti及此函数波形具有偶函数对称性，故bn=0201d)cos()(4TnttntiTa201pd)cos(4ttnIT)πsin(π2nTnIanttiTaITTd)(122200p20pd2ITtIT电流i(t)的傅里叶级数展开式为ttti113cos31cos4π()(mA)7cos715cos5111tt幅值频谱和相角频谱频谱图可直观而清晰地表示出一个信号包含有哪些谐波分量，以及各谐波分量所占的比重和其间的相角关系，便于分析周期信号通过电路后它的各谐波分量的幅值和初相发生的变化。将周期信号的各谐波分量的幅值和初相分别按照它们的频率依次排列起来则构成幅值频谱和相角频谱。Onω1In···ω13ω15ω17ω1幅值频谱nω1ψnOπ/2-π/2ω13ω15ω17ω1相角频谱4π5131171ttti113cos31cos4π()(mA)7cos715cos5111tt(2)计算电路对各次谐波的端口等效阻抗)j(j1)j(j1)j(11111LnRCnLnRCnnZCRnLCnLnRj])(1[j1211102j)1(10j20)j(2231nnnnZk50)j(1Zke375.0)3j(95.89j1Zke208.0)5j(99.89j1Zke146.0)7j(90j1Z(3)求激励源的直流分量及各谐波分量单独作用时的电压响应V0157.0V4π02.000RIUmAe1j90m1ImAe31j90m3I各谐波电流的幅值相量：mAe51j905mImAe71j907mIVe50=)j(j90m111mIZUVe125.0)3j(j179.953m13mIZUVe0416.0)5j(j0.015m15mIZU各谐波电压的幅值相量：V0208.0)7j(7m17mIZU(4)将响应的直流分量及各谐波分量的时间函数式相叠加，求出电压响应)()()()()(75310tutututuUtuttUUU113j3mj1m0eImeImttUU7j7m5j5m11eImeImV]7sin0208.0)01.05sin(0416.0)95.1793sin(125.0)90sin(500157.0[1111ttttω13ω1Umnω1电压响应的幅值频谱中基波含量最大是由于电路对基波发生谐振。O500.125例2已知ω=314rad/s,R1=R2=10,L1=0.106H，L2=0.0133H，C1=95.6μF，C2=159F，V)3sin210sin22010()(tttus求i1(t)及i2(t)。解：直流分量电压单独作用A11s010RUI020I基波分量电压单独作用0S)103103(jj1j2211LCL1与C1并联的等效导纳为L1与C1并联处相当于开路A1e=j1j452211ms21m11CRRUIIm基波分量电压单独作用时响应的时域解为A)45sin(1)()(2111ttiti三次谐波分量电压单独作用L1与C1并联的等效阻抗为5.12j3j1j3111LC电感L2在三次谐波频率下的阻抗为j3L2=j12.5，所以对三次谐波而言，L1与C1并联后再与L2串联，发生串联谐振，相当于短路Ae2j013msm13RUI023mI三次谐波分量电压单独作用时响应的时域解为A3sin2)(13ttiA0)(23ti电路的稳态解为)()()(1311101titiItiA]3sin2)45sin(1[tt)()()(2321202titiItiA)45sin(1t注意：(1)当激励函数中的直流分量单独作用时，电容相当于开路，电感相当于短路。(2)当激励函数中的各谐波分量分别作用时，电感和电容对不同频率的谐波所呈现的阻抗(或导纳)也不同。(3)激励函数中的各次谐波分别作用时求得的频域响应，必须变成时域响应才能进行叠加，而不可用它们的相量进行加减。返回