正弦激励下动态电路的稳态分析

清华大学电路原理教学组第6章正弦激励下动态电路的稳态分析6.1正弦量和相量6.5LC谐振电路6.4频率响应与滤波器6.6互感与变压器6.3正弦稳态电路的功率6.2用相量法分析正弦稳态电路6.7三相电路6.8周期非正弦激励下电路的稳态分析一、正弦量的三要素i(t)=Imsin(wt+y)i+_u(1)幅值(amplitude)(振幅、最大值)Im(2)角频率(angularfrequency)w2π2πfTwd()dttwyw单位：rad/s(3)初相位(initialphaseangle)y(wt+y)相位0m()sintitIy一般|y|初相位与时间起点有关，6.1正弦量和相量清华大学电路原理教学组二、同频率正弦量的相位差(phasedifference)设u(t)=Umsin(wt+yu),i(t)=Imsin(wt+yi)相位差j=(wt+yu)-(wt+yi)=yu-yij0，u领先(超前)i，或i落后(滞后)uwtu,iuiyuyij0j0，i领先(超前)u，或u落后(滞后)i清华大学电路原理教学组j=0，同相：j=(180o)，反相：规定：|j|(180°)特殊相位关系：wtu,iui0wtu,iui0wtu,iui0j=90°u领先i90°或i落后u90°不说u落后i270°或i领先u270°清华大学电路原理教学组1.定义有效值也称方均根值(root-mean-square，简记为rms)三、有效值(effectivevalue)TttiTI02defd)(1W2=I2RTRi(t)RITtRtiW021d)(TtRtiRTI022d)(TttiTI02d)(1物理含义电压有效值TttuTU02defd)(1清华大学电路原理教学组2.正弦电流、电压的有效值设i(t)=Imsin(wt+y)ttITITd)(sin1022mywTtttttTTT2121d2)(2cos1d)(sin0002ywywIIIITITI2707.0221mmm2m)sin(2)sin()(mywywtItItiTttiTI02defd)(1注意:只适用正弦量清华大学电路原理教学组1.问题的提出求：i(t),uL(t),uR(t)uiRiLUttmdsin()dwy()ttUuuyw)sin(mS四、正弦量的相量表示()sinetiAtBCw()siniAtBwiL+–uLRuS++uR清华大学电路原理教学组)sin(ddmutUtiLRiyw()siniAtBw()()()msincossinuRAtBLAtBUtΨ()()()()()()222222msincossinuRLARLtBtBRLRLUtΨ()()22msinarctansinuLARLBUtΨR清华大学电路原理教学组()m22mAILRUwarctanuuLBΨΨRwj()m22()sinarctanuULittΨRRL()22mARLUwarctanuLBΨRw()()()m22dsinarctan90dLuitLULutLtΨtRRL()()()()mS22sinarctanRLuRULutRituuttΨRRL所有支路电压电流均以相同频率变化!!清华大学电路原理教学组接下来……(b)幅值(Im)(a)角频率(w)(c)初相角(y)i(t)=Imsin(wt+y)所有支路电压电流均以相同频率变化!!用什么可以同时表示幅值和相位？复数!!KCL、KVL、元件特性如何得到简化？微分方程的求解如何得到简化？清华大学电路原理教学组(1)复数表示形式AbReIma0AbReIma0y|A|2.复数及运算jAabje||AAAyy清华大学电路原理教学组πj2ππecosjsinj22πj()2ππecos()jsin()j22j(π)ecos(π)jsin(π)1+j,–j,-1都可以看成旋转因子。ReIm0IIjIjI(3)旋转因子复数ejy=cosy+jsiny=1∠yA逆时针旋转一个角度y，模不变(2)复数运算A1±A2=(a1±a2)+j(b1±b2)加减运算——直角坐标乘除运算——极坐标212121yyAAAAAejy清华大学电路原理教学组复常数3.正弦量的相量(phasor)表示复函数)tj(e2)(ywItA若对A(t)取虚部：)sin(2)](Im[ywtItA)tj(e2)()sin(2ywywItAtIiA(t)包含了三要素：I，y，w。复常数包含了I,y。A(t)还可以写成tItAwyjjee2)()sin(2j)cos(2ywywtItItIwje2称为正弦量i(t)对应的相量。yII旋转因子相量相量的几何意义：)sin(2)(ywytItiIIj()2etIIAtIwyA(t)是旋转相量旋转相量在纵轴上的投影就是正弦函数。清华大学电路原理教学组)sin(2)(yywIItIti正弦量的相量表示:相量的模表示正弦量的有效值相量的幅角表示正弦量的初相位已知例1试用相量表示i,u。)V6014t311.1sin(3A)30314sin(4.141oouti解：V60220A30100ooUI例2试写出电流的瞬时值表达式。解：A)15314sin(250oti.50HzA,1550ofI已知清华大学电路原理教学组4.相量图(phasordiagram)iiIItωItiyy)sin(2)(uuUUtUtuyyw)sin(2)(yiyuUI5.相量运算(1)同频率正弦量相加减)e2Im()sin(2)()e2Im()sin(2)(j2222j1111ttUtUtuUtUtuwwywyw)()()(21tututuU21UUU得：)e2Im()e2Im(j2j1ttUUww)e2e2Im(j2j1ttUUww)e)(2Im(j21tUUw清华大学电路原理教学组例3V)60314sin(24)(V)30314sin(26)(o21ttuttu同频正弦量的加、减运算可借助相量图进行。相量图在正弦稳态分析中有重要作用，尤其适用于定性分析。V604V306o2o1UUV)9.41314sin(267.9)()()(o21ttututu60430621UUUReIm301U9.41UReIm9.41301U602UU464.3j23j196.5464.6j196.7V9.4167.9o602U清华大学电路原理教学组(2)正弦量的微分、积分运算IiItiwjddItiwj1dIi]e2Im[ddddjtIttiw证明：]ej2Im[jtIww]e2[ddImjtItw清华大学电路原理教学组6.相量法的应用求解正弦电流电路的稳态解(微分方程的特解)。例4)sin()(mutUtuyw一阶常系数线性微分方程自由分量(齐次方程通解)：Ae-(R/L)t强制分量(特解)：Imsin(wt+yi))sin()()()cos()sin()sin(2m2mmmmjywwywwywywiiiutLIRItLItRItURi(t)u(t)L+-222mm2m2mm)()(LRUILIRIUwwttiLtRitud)(d)()(解:清华大学电路原理教学组用相量法求：2222sin(arctan)uULitRRLwwywttiLtRitud)(d)()(jILIRUw2222sin(arctan)uULitRRLwwywj22)(LωRRwLRi(t)u(t)L+-取相量LRUIwj222222arctanarctanuuUULLRRLRLRywyarctanuiLRyyjwj清华大学电路原理教学组小结①正弦量相量时域频域②相量法只适用于激励为同频正弦量的线性时不变电路。③相量法可以用来分析正弦稳态电路。N线性N线性w1w2非线性w不适用正弦波形图相量图返回目录清华大学电路原理教学组1.电阻)sin(2)(ywtIti已知)sin(2)()(ywtRItRituR则uR(t)i(t)R+-相量形式：yyRIUIIR有效值关系：UR=RI相位关系：u,i同相相量模型R+-RUI相量关系IRURIU相量图一、元件特性的相量形式6.2用相量法分析正弦稳态电路清华大学电路原理教学组频域有效值关系U=wLI相位关系u超前i90°ILUwjo0IIjwL相量模型+-UIUI相量图2.电感i(t)u(t)L+-时域模型时域tItiwsin2)()90sin(2cos2d)(d)(otILtILttiLtu波形图清华大学电路原理教学组感抗的物理意义：(1)表示限制电流的能力；(2)感抗和频率成正比。wXLXL=U/I=wL=2fL，单位:感抗(inductivereactance);,,;,0),(0开路短路直流LLXXwwU=wLI(3)由于感抗的存在使电流落后电压。iuLwIULw错误的写法清华大学电路原理教学组频域有效值关系I=wCU相位关系i超前u90°UCIwjo0UU时域tUtuwsin2)()90sin(2cos2d)(d)(otCUtCUttuCti波形图3.电容时域模型i(t)u(t)C+-UI相量图相量模型IU+-Cwj1清华大学电路原理教学组容抗的物理意义：(1)表示限制电流的能力；(2)容抗的绝对值和频率成反比。容抗(capacitivereactance);,0,;,),(0C旁路作用隔直作用直流CXXwwI=wCU(3)由于容抗的存在使电流领先电压。iuCw1IUCw1错误的写法CIUw11CXCwwCX清华大学电路原理教学组二、电路定律的相量形式和电路的相量模型1.基尔霍夫定律的相量形式00)(00)(UtuIti2.电路元件的相量关系ICUtiCuILUtiLuIRURiuwwj1d1jdd清华大学电路原理教学组3.电路的相量模型(phasormodel)时域列写微分方程相量形式代数方程LCRuSiLiCiR+-jwL1/jwCSULICIRIR+-时域电路相量模型RCLiiiRCLIIISdddutiCtiLCL1tiCiRCRd1Sj1jUICILCLwwCRICIRwj1清华大学电路原理教学组4.相量图(phasordiagram)（1）同频率的正弦量才能表示在同一个相量图中；（2）以w角速度反时针方向旋转；（3）选定一个参考相量(设初相位为零)。URIRCUULICILUjwL1/jwCULICIRIR+-RU+-++--LUCU选为参考相量RU清华大学电路原理教学组1.复阻抗(compleximpedance)三、复阻抗和复导纳电抗电阻.IjwLR+-+-+-.ULU.CU.Cωj1+-RUIUUUIUZCLR复阻抗CLRwwj1j)1j(CLRw