Lecture02_理论基础

第二章结构优化设计的理论基础第二章结构优化设计的理论基础2.1数学预备知识2.2函数的极值与凸性2.3无约束极值问题的最优性条件2.4等式约束极值问题的最优性条件2.5不等式约束极值问题的最优性条件2.7Lagrange乘子的物理意义2.8结构优化设计的数值计算算法2.6一般约束极值问题的最优性条件第二章2.1数学预备知识2.1数学预备知识2.1数学预备知识2.1数学预备知识2.1数学预备知识2.1数学预备知识2.1数学预备知识2.1数学预备知识2.1数学预备知识梯度的几何意义2.1数学预备知识2.1数学预备知识2.1数学预备知识2.1数学预备知识2.1数学预备知识第二章2.2函数的极值与凸性2.2函数的极值与凸性一、无约束最优解与有约束最优解1.无约束最优解2.有约束最优解最优点Findmin()NfxRx***()min()NNffxRxRxx最优函数值无约束优化问题最优点Findmin()s.t.()0(1,,)()0(1,,)NkjfhkmgjnxRxxx()0(1,,)()0(1,,)kjhkmgjnxxx最优函数值有约束优化问题可行域***()min()NffxxRxx2.2函数的极值与凸性二、局部最优解与全局最优解1.全局最优解2.局部最优解若是问题的极小点，如果不等式对于所有的均成立，则称为全局极小点或全局最优解。*x*()()ffxxx*x如果存在的某个邻域，使得不等式对于任意的都成立，则称点为问题的局部极小点或局部最优解（简称局优解）。**()xx*()()ffxx*x*x*()x3.严格极小点如果在上述情况下，不等式处处严格成立，则称为严格全局极小点或严格局部极小点。*x2.2函数的极值与凸性三、函数的凸性（一）凸集1.定义设集合NR2.性质•任意多个凸集的交集是凸集•两个凸集的代数和是凸集•凸集的数乘是凸集•凸集的闭包是凸集，如果，若(1)(2),;[0,1]xx()(1)(2)(1)()xxxx()x仍然有，则称为一个凸集。2.2函数的极值与凸性2.2函数的极值与凸性（二）凸函数1.定义2.几何意义如果，若(1)(2),;[0,1]xx()(1)(2)(1)()xxxx有()fx，则称为一个凸函数。()(1)(2)(1)()()[()()]ffffxxxx(1)xx()fx(2)x()x(1)xx()fx(2)x()x凸函数：弦在弧上凹函数：弦在弧下2.2函数的极值与凸性（二）凸函数3.判别判别①(2)(1)(1)(2)(1)()()()()Tfffxxxxx，恒有DNDR设为非空开凸集，在上可微且连续，则凸函数的充分必要条件是：()fx()fxD(1)(2),xx为上判别②22()()fijNNffxxHxxNDR()fHx若函数在凸集上存在二阶导数并连续时，凸函数的充分必要条件为海赛矩阵半正定。()fx()fxD为上2.2函数的极值与凸性（二）凸函数4.性质①凸函数的非负线性组合仍为凸函数。②实值凸函数的非减函数仍为凸函数。③如果所有约束函数均为在上的凸函数，则中满足的子集为凸集。()jgx()0jgxNRNR（三）凸规划1.定义如果可行域为凸集，而且目标函数在上为凸函数，则称为凸规划问题。()fx2.定理凸规划问题的局部极小点就是其全局极小点。第二章2.3无约束极值问题的最优性条件GraduateCourseofOptimumDesignofStructures@HIT,LuDagang,Spring20072.3无约束极值问题的最优性条件2.3无约束极值问题的最优性条件2.3无约束极值问题的最优性条件2.3无约束极值问题的最优性条件2.3无约束极值问题的最优性条件2.3无约束极值问题的最优性条件，sxsxsxRx，sx2.3无约束极值问题的最优性条件平稳点与极值点2.3无约束极值问题的最优性条件2.3无约束极值问题的最优性条件2.3无约束极值问题的最优性条件第二章2.4等式约束极值问题的最优性条件GraduateCourseofOptimumDesignofStructures@HIT,LuDagang,Spring20072.4等式约束极值问题的最优性条件2.4等式约束极值问题的最优性条件＝▽h(x)=02.4等式约束极值问题的最优性条件2.4等式约束极值问题的最优性条件2.4等式约束极值问题的最优性条件第二章2.5不等式约束极值问题的最优性条件GraduateCourseofOptimumDesignofStructures@HIT,LuDagang,Spring20072.5不等式约束极值问题的最优性条件2.5不等式约束极值问题的最优性条件2.5不等式约束极值问题的最优性条件2.5不等式约束极值问题的最优性条件=02.5不等式约束极值问题的最优性条件2.5不等式约束极值问题的最优性条件2.5不等式约束极值问题的最优性条件2.5不等式约束极值问题的最优性条件K-K-T条件的几何意义（1）K-K-T条件),,2,1(0)(.)(minmjgtsfjxx),,2,1()()5(0)4(0)()3(0)()2(0)()()1(1mjggggfjjjjjmjjjxxxxxK-K-T条件（梯度条件）（约束条件）（松弛互补条件）（非负条件）（正则条件或约束规格）线性无关定义：)()(),(1xxxmjjjgfλL*xx0)(1gicf)(xx0)(2g)((0)xf(0)x)()(kfx)(kx1x2x处起作用的约束)(kxx0)(2g处没有起作用的约束（可行域内部没有约束限制）)0(x*x处起作用的约束xx0)(,0)(21ggx0)(jg0)(PxTf搜索方向满足；0)(PxTf，即；2夹角；PxTf)(与icf)(x*xx0)(1g)(xfx0)(2gx)(2g)(xf2夹角；PPx)(2gx)(1g2)(xf)(xf夹角；P2x0)(2gx)(2gx)(1gx0)(1g2)(xfPx0)(2gx)(2gx)(1gx0)(1g)(xfP*x)(xfPx0)(2gx)(2gx)(1gx0)(1g2*x最优点，一定在与之间，所以可以起作用的非负线性组合表示。*x)(*xfx*)(2gx*)(1g)(*xfx*)(jg),,2,1()()()1(1mjgfmjjjxx0)4(j起作用的约束经过最优点，0,jx0)()2(jgx0)(jg0)()3(xjjg最优点满足所有的约束条件，这就是K-K-T条件，2.5不等式约束极值问题的最优性条件2.5不等式约束极值问题的最优性条件2.5不等式约束极值问题的最优性条件2.5不等式约束极值问题的最优性条件2.5不等式约束极值问题的最优性条件2.5不等式约束极值问题的最优性条件-4-3-2-101234-4-3-2-101234x1x2ConstrainedOptimumPoint-7-7-5-5-3-3-1-111ABfggf2.5不等式约束极值问题的最优性条件2.5不等式约束极值问题的最优性条件2.5不等式约束极值问题的最优性条件2.5不等式约束极值问题的最优性条件2.5不等式约束极值问题的最优性条件2.5不等式约束极值问题的最优性条件2.5不等式约束极值问题的最优性条件第二章2.6一般约束极值问题的最优性条件GraduateCourseofOptimumDesignofStructures@HIT,LuDagang,Spring20072.6一般约束极值问题的最优性条件2.6一般约束极值问题的最优性条件2.6一般约束极值问题的最优性条件2.6一般约束极值问题的最优性条件2.6一般约束极值问题的最优性条件第二章2.7Lagrange乘子的物理意义GraduateCourseofOptimumDesignofStructures@HIT,LuDagang,Spring20072.7Lagrange乘子的物理意义2.7Lagrange乘子的物理意义2.7Lagrange乘子的物理意义2.7Lagrange乘子的物理意义2.7Lagrange乘子的物理意义2.7Lagrange乘子的物理意义第二章2.8结构优化设计的数值计算方法GraduateCourseofOptimumDesignofStructures@HIT,LuDagang,Spring20072.8结构优化设计的数值计算方法2.8结构优化设计的数值计算方法