简谐激励下强迫振动的响应特性

简谐激励下强迫振动的响应特性强迫振动的几种形式强迫振动的运动方程取不同形式时，振动特点不同其中简谐激励为最简单的激励形式单自由度运动微分方程的一般形式)()()(txtxtxph其中,为相应齐次方程的解瞬态响应为方程的特解稳态响应运动微分方程的解简谐激励下的响应)(txh)(txp（有阻尼系统中该项解将逐渐消失）振动的时域波形一、无阻尼情形无阻尼情形的运动方程瞬态解的一般形式：稳态解的一般形式：代入运动方程，得到振幅：因此，总振动的一般形式为：放大系数与静位移总振动方程中代入初始条件，可求得待定常数得到总振动的表达式振幅放大系数（幅值比）静位移无量纲频率比稳态解的振幅X通常可表达成211stXr0/stFk/nr其中：X无阻尼系统幅频特性稳态解的分段响应特性总响应共振由罗比塔法则00()cossinsin2stnnnnnxtxtxttt此时Case4:ωn≈ω设激励频率与固有频率接近000xx，则：令，为一小正数。则：2n2n224n2n因此有：激励频率与固有频率接近0/sinsin2Fmxttt0/sin2Fmt可变幅值幅值变化周期为2/出现拍的现象激励频率与固有频率接近拍振周期：两零幅值点或最大幅值点对应的时间222bn拍频：2(:)bnbnorfff拍的现象tFxkxmsin0txxsin1,1,10Fkm1.121.061.11.8wehaveωn-ω=2εPeriodofbeating:?Max.Amplitude:?拍的现象激励频率与固有频率比不同时的情况mgmkcxoΔkFFcF如右图所示的单自由度系统:m=5kg,c=0Ns/m,andk=2000N/m.如果F(t)=10sin(20t)(N),所有初条件为零,求系统响应x(t)=?SolutionTheequationofmotion:5200010sin20xxtn200020rad/s5例（1）问题描述mgmkcxoΔkFFcFtctcttx20sin20cos212tctcttctctx20cos20sin2020sin20cos21212tctcttctctx20sin20cos40020cos20sin4021212ttctcttctcttctc20sin1020sin20cos200020sin20cos200020cos20sin20021212102c)m(05.0200101cParticularsolution:Substituteaboveequationsinequationofmotiontoobtain例（1）tttBtAtx20cos05.020sin20cosThesolution:000Ax20cos200.05cos20sin20xtBtttt0.05000.0025(m)20xBAandBaredeterminedusingtheinitialconditionsHence,thecompleteresponseoftheundampedsystemis0.0025sin200.05cos20mxtttt例（1）Thesolution:详细推导0.0025sin200.05cos20mxtttt例（1）二、有阻尼情形运动方程一般形式假设稳态解形式并代入运动方程得用三角函数公式展开令两边同谐波项相等幅频特性相频特性稳态和瞬态问题！！全解！无量纲化振幅放大系数（幅值比）式中：力函数和响应相位差VectorrelationshipForceAmplitudePhaseAngleExcitationF(t)F00oRestoringkX0LagF(t)DampingExceedx(t)90oInertiamω2X0Exceedx(t)180ocx2xmΦ稳态响应的相位特性cωX0kx(Stiffnessdomination)Vectorrelationship212arctanΦ2222112220021kFX000,1,0,FXk稳态响应的低频特性r0stX（习惯表达方式）（外力主要与弹性力平衡）若(Inertiadomination)212arctanΦ2222112220021kFX200022,0,,nFFXkm稳态响应的高频特性（外力主要与惯性力平衡）(Dampingdomination)212arctanΦ2222112220021kFX00011,,,222FFXkc稳态响应的共振特性（共振时，外力与阻尼力平衡，惯性力与弹性力平衡）1max1222112dn02128212322222222'211221202212212122222max1212142111振幅达到最大值时的频率受迫振动峰值并不出现在阻尼系统的固有频率处，峰值频率略向左偏移，对于小阻尼ζ(i.e.,forlightdamping).2121n22211nd1ndpeak2arctancΦkmpeakdn相位特性和振幅一样，振幅达到最大值时的频率相位差0tanarcπ0tanarc0n000n00xxxxxx2arctanmkcΦ自由振动受迫振动应该注意，这里的相位差是表示响应滞后于激励的相位角，不应与自由振动的初相位相混淆两者主要区别：初相位取决于初始位移与初始速度的相对大小；相位差反映响应相对于激励力的滞后效应，是由系统本身具有阻尼引起的。相位差特性相频曲线总响应系统总响应为：式中为阻尼系统的瞬态响应，与自由振动的表达式相同。因此欠阻尼系统的总响应为：其中瞬态响应的幅值和相位可通过将初始条件代入上式予以确定，即联立求解以下方程获得：问题描述•（1）当外激励F(t)=10sin(10t)(N),求系统的稳态响应x2(t)=?•（2）当F(t)=10sin(10t)(N),而所有的初值条件为零，即x(0)=dx(0)/dt=0,求瞬态解及总响应x(t)?•当t=1s,2s,3s时，瞬态响应x1(t)的幅值及稳态响应x2(t)的幅值mgmkcxoΔkFFcF如右图所示的单自由度系统:m=5kg,c=20Ns/m,andk=2000N/m.例（2）建立广义坐标。取质量元件沿铅垂方向的位移作为广义坐标x。原点在系统的静平衡位置，向下为正。建模作受力分析图kFFcFmmgmgmkcxoΔkFFcF例（2）代入m=5kg,c=20Ns/m,andk=2000N/m.tFxkxcxmsin0n20(rad/s)km100.52022211.32210.520.50.1200.12002cmkF(t)=10sin(10t)，2dn119.9(rad/s)求频率及放大系数例（2）00FXk3101.3226.6110(m)20002220.50.1arctanarctan0.133rad10.5cΦkm26.61sin100.133mmxtt例（2）求稳态响应的幅值及相角133.0sin61.60A，mm87.0133.0sin61.6AtBtAtxtdd2sincose2133.010cos1.66cossinedddd2ttBtAt133.0cos1.669.1920BAmm2.39.19/133.0cos1.662AB2ddecossin6.61sin100.133txtAtBtt问题2，求瞬态响应例（2）1x2e0.87cos19.93.2sin19.9txttt6.61sin100.133mmt23.32ecos19.91.316.61sin100.133mmttt问题2，总响应的最终形式例（2）注意：即使初始条件均为零，瞬态解仍然不为零！Φttxtd21cose316.3mm133.010sin61.62ttxAmplitudeofx2(t)=6.61mmt=1s,Amplitudeofx1=0.45mmt=2s,Amplitudeofx1=0.061mmt=3s,Amplitudeofx1=8×10-3mm问题3例（2）衰减有、无阻尼系统对比无阻尼有阻尼无阻尼系统的幅频响应曲线一般激励下的响应特性冲量作用下的单自由度系统响应考虑具有粘性阻尼的弹簧-质量系统在t=0时受到一个单位冲量作用:对冲量的响应对于欠阻尼系统，其运动方程为则系统的瞬态响应为其中对冲量的响应如果质量块在冲量作用之前静止，即则系统的初始条件变为系统的响应为我们有:称为单位脉冲响应函数对冲量的响应如果冲量的大小是而不是1，那么初始速度变为此时系统的响应成为冲量及响应如右图所示。如果冲量是作用在任意时刻处，则该时刻速度变化为。假设冲量作用前，则系统响应为脉冲发生的时刻对任意外力的作用，可将任意力看成是一系列大小变化的冲量组成的。对一般力的响应假设在时刻，力在很短的时间作用在系统上，则在这一时刻的冲量就是，对于任意时刻，冲量发生的时间为，则该冲量在时刻引起的系统的响应为:则系统在t时刻的总响应等于之前所有时刻的微冲量引起的响应的叠加：对一般力的响应将单位脉冲响应函数的表达式代入，得式中的积分称作杜哈梅积分或卷积令，并用积分代替求和，可得上面两式即为单自由度欠阻尼系统对任意激励的响应。例子例子有阻尼系统，套用杜哈梅积分公式无阻尼系统有例子小结强迫振动与自由振动的区别强迫振动解的一般形式：稳态解+瞬态解稳态解在不同无量纲频段的表现形式有阻尼时的表现形式无阻尼时的拍振现象（激励频率接近固有频率）共振现象一般激励下响应的求取作业(page42,43)2-7,2-10,2-14