非正弦周期激励

1）非正弦周期信号的傅里叶级数分解、信号频谱概念2）非正弦周期函数有效值和平均功率3）非正弦周期信号激励下电路的稳态计算4）非周期信号的傅里叶变换5）*对称三相电路中的高次谐波分析第十一章非正弦周期信号激励下电路的稳态分析本章主要内容：常见周期性电信号U(t)tU(t)t1(t)t方波三角波阶跃波U(t)tU(t)tt()t脉冲波正弦波冲激波Z1Z2u1i1u2u1tt分解u2t合成非正弦周期信号分解和电路分析方法介绍:t计算直流和正弦交流分析傅氏级数展开叠加定理直流电路分析相量电路分析t计算直流和正弦交流分析t计算直流和正弦交流分析非正弦周期信号电路分析包含的内容:(1)信号本身包含的不同频率的分量值-----信号频谱分析傅里叶级数分解与傅里叶变换U(t)tU(t)t方波分解三角波分解信号分析:信号分解后所包含的不同频率分量的相对大小(2)电路对不同频率信号的输入输出特性---------电路的频率特性分析U1.U2.RLU1.U2.RC低通电路高通电路传递函数21()()()UjFjUj(3)不同频率的信号计算-------直流与正弦交流电路计算研究内容包括:1)周期信号分解(把周期信号分解为直流和正弦信号);2)分解后信号的计算及合成;3)电路在不同频率时的输入输出特性。进一步讨论信号传输中的畸变,衰减.电路的频率特性,滤波器.(1)周期信号三角函数形式的傅里叶级数u1tT/2T设周期非正弦信号为：（k为任意整数）()()ftftkT周期函数可表示成傅里叶三角级数0111()(cossin)2nnnaftantbt或011()cos()2nnnaftAnt12T6.1非正弦周期信号的傅里叶级数分解(信号分解)一般电工技术中的非正弦周期量均能满足这个条件1）形式101()(cossin)2kkkaftaktbkt002()TaftdtTtdtktfTaTkcos)(20tdtktfTbTksin)(20式中2)形式201()cos()kkkftAAkt22kkkbaAkkkbarctga002aA式中例1把如图方波信号进行分解tT/2TUUu102()-2TUttTUtTu解：2000222()d()d0TTTTaftdtUtUtTT102()cosd0TnftnttTa2110022()sindsindTTnbftnttUnttTT122()sindTTUnttT40Unn为奇数n为偶数111411()sinsin3sin535Uftttt式中12T为基波角频率，第一项称为基波分量，其余分量统称为高次谐波分量。由于傅里叶级数展开为无穷级数，因此要根据级数开展后的收敛情况，电路频率特性及精度要求，来确定所取的项数。111411()sinsin3sin535Ufttttf(t)tEmtf(t)取不同项数时波形的逼近情况吉布斯现象(3)非正弦周期信号指数形式的傅里叶级数形式01111()cossin2nnnnaftantbnt1111jjjj01eeee222jntntntntnnnaab11jj01jjee222ntntnnnnnaabab11jj011jjee222ntntnnnnnnaabab11jjj()ee2ntntnnnnnabftFjje22nnnnnabAF式中称为给定信号的复数频谱函数,它是函数，它代表了信号中各谐波分量的所有信息。的模为对应谐波分量的幅值的一半，幅角（当n取正值时）则为对应谐波分量的初相角。称为振幅频谱。称为相位频谱。nF1nnF1()nFn1()n10j1()2TjntnnnabFftedtT幅频特性:谐波幅值与频率的关系1357(1)连续周期信号的幅频特性和相频特性为离散信号.(3)离散频谱信号代表了一个连续的周期信号.相频特性:谐波初相位与频率的关系21357(2)幅频特性和相频特性组成周期信号的频谱.1()nFn1()n例2周期脉冲信号如图所示，求该信号的频谱函数，并作振幅频谱图。解：由波形图可知T22tu(t)022()22022TtutUtTt频谱函数为221122jj111()()ededTTntntUnuttUtTT11221jj11sinee2j2nnnUUnTnT若，则可得4T1sin4()44nUUnn若，则可得8T1sin8()88nUUnn1()nFn21141()nFnT22tu(t)T22tu(t)当变小时,频率幅值变小但分布范围增大,单个尖脉冲信号包含较多频率成份的分量.讨论:1sin()nUTUnTnT11n1()nFn1()nFn11n当T增大时:12T减小,谱线间隔减小,幅度也减小;当T趋向无限大(非周期信号)时:频谱曲线成为连续函数,其幅度为无穷小.11jjj()ee2ntntnnnnnabftFjje22nnnnnabAF10j1()2TjntnnnabFftedtT212j(j)limlim()ed1TTntnTTFFfttT6-4非周期信号与傅里叶变换概念定义式:j(j)()edtFfttj1()(j)ed2tftF变换对:()Fj2/2/4/4/22jjsinee2j2UUj22(j)edtFUttU22f(t)计算举例当变小时,频率幅值变小但分布范围增大,单个尖脉冲信号包含较多频率成份的分量.1()nFn11n12T(1)周期信号的频谱图是一系列离散的谱线组成的，所有谱线都出现在基波频率的整数倍的频率上。周期信号的这种频谱称为离散频谱。(2)从频谱函数表达式中可看出，当脉冲重复周期增大时，基波频率将变小，谱线之间的间隔缩小，同时振幅也随之减小。(3)非周期信号的频谱图是连续谱线组成的，谱线幅值趋于无穷小。非周期信号的这种频谱称为连续频谱。(4)频谱函数代表了一个时域信号,信号分析常对频谱函数进行.例：非正弦周期信号的幅值频谱为————对称，相位频谱为————对称。例：非正弦周期信号其频谱图为？例：非正弦周期信号f(t)，周期T，可以分解成三种傅里叶级数的形式，分别为f(t)=___，f(t)=___,f(t)=___,基波角频率=___。例：非正弦周期信号f(t)频谱图已知，求其傅里叶级数f(t)11jjj()ee2ntntnnnnnabftF3034511123tjtjee6.2非正弦周期信号电路的稳态计算RCLUsiUs(t)为非正弦周期信号，求电流响应i(t)一般计算步骤：1）把周期非正弦激励源分解为傅里叶级数，即分解为直流分量与各次谐波分量之和，根据所需精度确定项数；2）分别计算直流分量和各频率谐波分量激励下的电路响应。直流分量用直流电路分析方法；不同频率的正弦分量采用正弦电路相量分析计算方法，这时需注意电路的阻抗特性随频率而变化，各分量单独计算时应作出对应电路图；3）在时域内把属于同一响应的各谐波响应分量相加得到总的响应值。注意：各分量的瞬时表达式才可叠加（因为不同频率的相量式相加是无意义的）。例1:电路如图所示，已知，，，电源电压基波角频率，试求10R10mHL120FCs()10250sin230sin(330)Vuttt314rad/s()it()LutCLRi()Ltu()Stuab流过电阻的电流及电感两端电压。解：本题的激励电压源已分解成各次谐波分量，因此可直接进行各次谐波的计算。1)直流分量，可用一般直流电路的解题方法RabU0IoUL0010VU0010A1A10UIR00VLURabI1.U1.jC1jLUL1.1()250sinutt1500VU2）基波分量ab端入端阻抗11j(j)j3.14(j26.5)1010.619.61j3.14j26.5jjabLCZRLC111500A4.719.6A10.619.6abUIZ电感两端电压111500V104.719.6V16.870VLUURI即有1()24.7sin(19.6)Aitt1()216.8sin(70)VLutt三次谐波分量，其等效电路如图所示，RabI3.U3.3jC13jLUL3.33030VU31j3(j)j9.42(j8.83)310141861j9.42j8.83j3j3abLCZRLC3333030A0.21116A14186abUIZ电感两端电压33329.926VLUURI即有3()20.21sin(3116)Aitt3()229.9sin(326)VLutt电流和电感电压分别为013124.7sin(19.6)RItiii20.21sin(3116)At013216.8sin(70)LLLLuuuut229.8sin(326)Vt注意：各分量的瞬时表达式才可叠加。（因为不同频率的相量式相加是无意义的）013IIII)(sin210kkmktkIIiTdtuTU021非正弦电压、电流的最大值、有效值和平均值1）最大值：一个周期内的最大值2）有效值:TdtiTI021()it对于非正弦周期信号电流，可展为傅里叶级数代入有效值表达式有i(t)t由三角函数的正交性可得周期非正弦交流电流的有效值为:2222200121kkIIIIII同理可推得非正弦周期电压有效值为2222200122kkUUUUUU3）平均值：实际平均值绝对平均值TidtTI001dtiTITAV0120m011sin()dTkkkIIIkttT非正弦周期信号的功率012sin()kikkiIIkt012sin()kukkuUUkt瞬时功率：()()()ptutit平均功率：0011()d()()dTTPpttutittTT001cos()kkkUkIkUIUIP001coskkkkUIUI非正弦信号的平均功率等于各谐波信号平均功率之和。i+uWN【例1】)905sin(20)603sin(10)45sin(5010tttiV3.124)230()2100(100222U40)220()210()250(102222IV5sin30sin100100ttuttt