数学证明方法【汇编4篇】

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数学证明方法【汇编4篇】【导读引言】网友为您整理收集的“数学证明方法【汇编4篇】”精编多篇优质文档,以供您学习参考,希望对您有所帮助,喜欢就下载吧!数学证明题证明方法【第一篇】数学证明题证明方法(转)2011-04-2221:36:39|分类:|标签:|字号大中小订阅2011/04/22从命题的题设出发,经过逐步推理,来判断命题的结论是否正确的过程,叫做证明。要证明一个命题是真命题,就是证明凡符合题设的所有情况,都能得出结论。要证明一个命题是假命题,只需举出一个反例说明命题不能成立。证明一个命题,一般步骤如下:(1)按照题意画出图形;(2)分清命题的条件的结论,结合徒刑,在“已知”一项中写出题设,在“求证”一项中写出结论;(3)在“证明”一项中,写出全部推理过程。一、直接证明1、综合法(1)定义:一般地,利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法.(2)综合法的特点:综合法又叫“顺推证法”或“由因导果法”.它是从已知条件和某些学过的定义、公理、公式、定理等出发,通过推导得出结论.2、分析法(1)定义:一般地,从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止,这种证明的方法叫做分析法.(2)分析法的特点:分析法又叫“逆推证法”或“执果索因法”.它是要证明结论成立,逐步寻求推证过程中,使每一步成立的充分条件,直到最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止.二、间接证明反证法1、定义:一般地,假设原命题不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证明了原命题成立,这样的证明方法叫做反证法.2、反证法的特点:反证法是间接证明的一种基本方法.它是先假设要证的命题不成立,即结论的反面成立,在已知条件和“假设”这个新条件下,通过逻辑推理,得出与定义、公理、定理、已知条件、临时假设等相矛盾的结论,从而判定结论的反面不能成立,即证明了命题的结论一定是正确的.3、反证法的优点:对原结论否定的假定的提出,相当于增加了一个已知条件.4反证法主要适用于以下两种情形:(1)要证的结论与条件之间的联系不明显,直接由条件推出结论的线索不够清晰;(2)如果从正面证明,需要分成多种情形进行分类讨论,而从反面进行证明,只要研究一种或很少的几种情形数学证明题解题方法【第二篇】数学证明题解题方法第一步:结合几何意义记住零点存在定理、中值定理、泰勒公式、极限存在的两个准则等基本原理,包括条件及结论。知道基本原理是证明的基础,知道的程度(即就是对定理理解的深入程度)不同会导致不同的推理能力。如2006年数学一真题第16题(1)是证明极限的存在性并求极限。只要证明了极限存在,求值是很容易的,但是如果没有证明第一步,即使求出了极限值也是不能得分的。因为数学推理是环环相扣的,如果第一步未得到结论,那么第二步就是空中楼阁。这个题目非常简单,只用了极限存在的两个准则之一:单调有界数列必有极限。只要知道这个准则,该问题就能轻松解决,因为对于该题中的数列来说,“单调性”与“有界性”都是很好验证的。像这样直接可以利用基本原理的证明题并不是很多,更多的是要用到第二步。第二步:借助几何意义寻求证明思路。一个证明题,大多时候是能用其几何意义来正确解释的,当然最为基础的是要正确理解题目文字的含义。如2007年数学一第19题是一个关于中值定理的证明题,可以在直角坐标系中画出满足题设条件的函数草图,再联系结论能够发现:两个函数除两个端点外还有一个函数值相等的点,那就是两个函数分别取最大值的点(正确审题:两个函数取得最大值的点不一定是同一个点)之间的一个点。这样很容易想到辅助函数F(x)=f(x)-g(x)有三个零点,两次应用罗尔中值定理就能得到所证结论。再如2005年数学一第18题(1)是关于零点存在定理的证明题,只要在直角坐标系中结合所给条件作出函数y=f(x)及y=1-x在上的图形就立刻能看到两个函数图形有交点,这就是所证结论,重要的是写出推理过程。从图形也应该看到两函数在两个端点处大小关系恰好相反,也就是差函数在两个端点的值是异号的,零点存在定理保证了区间内有零点,这就证得所需结果。如果第二步实在无法完满解决问题的话,转第三步。第三步:逆推。从结论出发寻求证明方法。如2004年第15题是不等式证明题,该题只要应用不等式证明的一般步骤就能解决问题:即从结论出发构造函数,利用函数的单调性推出结论。在判定函数的单调性时需借助导数符号与单调性之间的关系,正常情况只需一阶导的符号就可判断函数的单调性,非正常情况却出现的更多(这里所举出的例子就属非正常情况),这时需先用二阶导数的符号判定一阶导数的单调性,再用一阶导的符号判定原来函数的单调性,从而得所要证的结果。该题中可设F(x)=ln*x-ln*a-4(x-a)/e*,其中eF(a)就是所要证的不等式。数学证明方法【第三篇】数学证明方法1直接证明法从正面证明命题真实性的证明方法叫做直接证法.凡是用演绎法证明命题真实性的都是直接证法.它是中学数学中常用的证明方法.综合法、分析法、分析综合法、比较法。(1)综合法:从已知条件入手,运用已经学过的公理、定义、定理等进行一步步的推理,一直推到结论为止.这种思维方法叫综合法.这种方法是“由因导果”,即从已知到可知,从可知到未知的思维过程.(2)分析法:从问题的结论入手,运用已经学过的公理、定义、定理,一步步寻觅使结论成立的条件,一直“追”到这个结论成立的条件就是已知条件为止.可见分析法是“执果求因”的思维过程,它与综合法的思维过程相反.分析法属于逻辑方法范畴,它的严谨体现在分析过程步步可逆。分析法的步骤为未知需知已知。在操作中“要证”、“只要证”、“即要证”这些词语也是不可缺少的。分析法的书写形式一般为“因为......,为了证明......,只需证明......,即......,因此,只需证明......,因为......成立,所以‘......(结论)’成立”。(3)分析综合法:把分析法和综合法“联合”起来,从问题的两头向中间“靠拢”,从而发现问题的突破口.这种思维方法叫做分析综合法.对于比较复杂的题目,往往采用这种思维方法.在证明的过程中,往往分析法、综合法常常是不能分离的。分析综合法充分表明分析与综合之间互为前提、互相渗透、互相转化的辩证统一关系。分析的终点是综合的起点,综合的终点又成为进一步分析的起点。(4)比较法2间接证明法不是直接证明论题的真实性,而是通过证明论题的否定论题的不真实,或者证明它的等效命题成立,从而肯定论题真实性的证明方法,叫做间接证明法.反证法、同一法、归纳法(不完全归纳法、完全归纳法、数学归纳法)、类比法、换元法、放缩法、判别式法、函数法(1)反证法:反证法就是从否定命题的结论入手,并把对命题结论的否定作为推理的已知条件,进行正确的逻辑推理,使之得到与已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题等相矛,矛盾的原因是假设不成立,所以肯定了命题的结论,从而使命题获得了证明。实施的具体步骤是:第一步,反设:作出与求证结论相反的假设(即结论的否定成立);第二步,归谬:从否定结论出发,逐层进行推理,得出与公理或前述的定理、定义或题设条件,或与临时假设等自相矛盾(即说明结论不能否定);第三步,结论:根据排中律,说明反设不成立,从而肯定原命题成立。(2)同一法:两个互逆或互否的命题不一定是等效的,只有当一个命题的条件和结论都唯一存在,且它们所指的概念是同一概念时,该命题与其逆命题才等效,这个原理叫做同一原理.对符合同一原理的命题,当直接证明有困难时可以改证与它的等效的逆命题,这种证明方法叫做同一法.1当命题的条件与结论所含事项都唯一存在时,先作出符合命题结论的所有图形;同一法的步骤:○2证明所作图形符合已知条件;3根据唯一性,4最后肯定○○确定所作图形或所作图形与已知图形重合;○原命题成立.(3)不完全归纳法:从一个或几个(但不是全部)特殊情况作出一般性结论的归纳推理。不完全归纳法又叫做普通归纳法。(4)完全归纳法:是一种在研究了事物的所有(有限种)特殊情况后得出一般结论的推理方法,又叫做枚举法.与不完全归纳法不同,用完全归纳法得出的结论是可靠的.通常在事物包括的特殊情况数不多时,采用完全归纳法。(5)数学归纳法高等数学证明方法【第四篇】(3)反证法这种证法是从反面考虑问题。先假设在已知条件成立的情况下,要证的结论不成立,而后从已知条件出发,运用基本概念和基本定理,通过逻辑推理导出矛盾(或与已知条件矛盾;或与某一已知概念、公式、公理、定理等矛盾;或自相矛盾等),这样则否定假设,从而肯定原结论正确。例如,证明不是的多项式.事实上,利用反证法,设是的多项式,不妨记此多项式为次多项式,即,则有于是次多项式有无穷多个不同实根,这与次多项式最多只有个不同实根相矛盾,由此证明了不是的多项式.又如,证明不存在(为自然数).事实上,利用反证法,假设存在且设,则有又因为所以有故这与产生矛盾,因此不存在.(2)分析法这种方法基本思路是逆着想。先假设结论正确,运用已有的定义、定理、公式、性质,从后向前一步一步地分析,直至推出已知条件,即由结论找需知,再找需知,„„,直至已知。这种“执果溯因”的方法,叫做分析法。分析法是探求证题途径的重要方法之一。它的优点在于思考过程比较自然,目的明确,较为容易找到证明的思路,但缺点是分析的过程叙述起来往往比较繁琐,因而过程多在草稿纸上进行,不正式写出。在实际解题时,特别对于一些较难的问题,常常先用分析法寻找解题的途径,然后再用综合法叙述解题过程,这种方法也可叫做分析综合法。例如,设在时连续,且;而在时有单调递增导数,试证在时是单调递增的。事实上,欲证为单调递增,只需证明就行了,而由于因此就归结为证明.利用拉格朗日中值定理及已知条件,有单调递增因此在时是单调递增的.又如,用极限定义证明一数列或函数有已知极限时,多采用分析综合法证明。比如证明,其方法如下:,欲使不等式成立,由所以只需,即成立.取,于是当时,就有,从而保证了希望的不等式成立.综合以上分析,就有,当时,,根据极限定义,有高等数学中研究基本理论的主要方法是证明问题,证明问题的方法没有固定的程序,证题的技巧又灵活多样,因而和一般计算题比较难度较高,不易掌握。下面介绍几种常用的证明方法,以便在寻求基本思路和探索规律方面起到一定一定的引导作用,尽可能减少盲目性,提高自觉性。(1)综合法这种方法的基本思路是顺着想。由已知条件出发,运用已有的定义、定理、公式、性质推导出所要求的结论。即由条件推可知,再推可知,„„,直到结论。这种“由因导果”的方法,叫做综合法。运用综合法证明问题最广泛,但在使用这种方法时,必须注意充分与必要的关系,每一步都要明确是由什么命题推证什么命题,依据是什么,这种特点充分表现了数学的严密性和逻辑性。例如,设,证明.事实上,由已知条件可知序列有递推关系式:当时,因有所以为递减有界序列,故.再对递推关系式关于取极限,得,解出;当时,令,则,而所以又如,若函数对任意实数有且,证明.事实上,由已知条件:不会恒为零,由上式可得.因此就有

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