数学二项式定理教案样例【汇集4篇】

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数学二项式定理教案样例【汇集4篇】【导读引言】网友为您整理收集的“数学二项式定理教案样例【汇集4篇】”精编多篇优质文档,以供您学习参考,希望对您有所帮助,喜欢就下载吧!教案二项式定理教师版【第一篇】二项式定理●知识梳理1.二项展开式的通项公式是解决与二项式定理有关问题的基础.2.二项展开式的性质是解题的关键.3.利用二项式展开式可以证明整除性问题,讨论项的有关性质,证明组合数恒等式,进行近似计算等.●点击双基1.已知(1-3x)9=a0+a1x+a2x2+…+a9x9,则|a0|+|a1|+|a2|+…+|a9|等于解析:x的奇数次方的系数都是负值,∴|a0|+|a1|+|a2|+…+|a9|=a0-a1+a2-a3+…-a9.∴已知条件中只需赋值x=-1即可.答案:B2.(2004年江苏,7)(2x+x)4的展开式中x3的系数是2解析:(2x+x)4=x2(1+2x)4,在(1+2x)4中,x的系数为C24·2=24.答案:C3.(2004年全国Ⅰ,5)(2x3-)7的展开式中常数项是D.-421xr)-14解析:设(2x3-r)7的展开式中的第r+1项是(2x3)(-(-1)r·x当-r2,61+3(7-r)=0,即r=6时,它为常数项,∴C67(-1)·2=14.答案:A34.(2004年湖北,文14)已知()的展开式中各项系数的和是128,则展开式中x5的系数是_____________.(以数字作答)3解析:∵()n的展开式中各项系数和为128,313r)r=C7·x∴令x=1,即得所有项系数和为2n=128.r∴n=7.设该二项展开式中的r+1项为(x2)(x,令即r=3时,x5项的系数为C37=35.答案:355.若(x+1)n=xn+…+ax3+bx2+cx+1(n∈N*),且a∶b=3∶1,那么n=_____________.2解析:a∶b=C3n∶Cn=3∶1,n=11.答案:11●典例剖析例1如果在(x+124x)n的展开式中,前三项系数成等差数列,求展开式中的有理项.解:展开式中前三项的系数分别为1,由题意得2×n2n2,,,得n=8.设第r+1项为有理项,有理项为T1=x4,T5=358r8·x4,则r是4的倍数,所以r=0,4,,T9=1256x2.评述:求展开式中某一特定的项的问题常用通项公式,用待定系数法确定r.例2求式子(|x|+解法一:(|x|+1|x|1|x|-2)3的展开式中的常数项.1|x|-2)3=(|x|+-2)(|x|+1|x|-2)(|x|+1|x|1|x|-2)得到常数项的情况有:①三个括号中全取-2,得(-2)3;②一个括号取|x|,一个括号取∴常数项为(-2)3+(-12)=-20.解法二:(|x|+1|x|,一个括号取-2,得C13C12(-2)=-12,-2)3=(|x|-1|x|)6.设第r+1项为常数项,r则(-1)r·(1|x|r)(-1),得6-2r=0,r=3.∴T3+1=(-1)3·C36=-20.思考讨论(1)求(1+x+x2+x3)(1-x)7的展开式中x4的系数;(2)求(x+4x-4)4的展开式中的常数项;(3)求(1+x)3+(1+x)4+…+(1+x)50的展开式中x3的系数.解:(1)原式=1=14.(2)((1-x)7=(1-x4)(1-x)6,展开式中x4的系数为(-1)4C6--4),展开式中的常数项为C8(-1)4=1120.(3)方法一:原式展开式中x3的系数为C51.方法二:原展开式中x3的系数为3333343434C33+C4+C5+…+C50=C4+C4+…+C50=C5+C5+…+C50=…=C51.评述:把所给式子转化为二项展开式形式是解决此类问题的关键.n例3设(n∈N*,q≠±1),An=C1na1+C2na2+…+Cnan.(1)用q和n表示An;(2)(理)当-[(C1n+C2]n+…+Cn)-(Cnq+Cnq+…+Cnq)(2n-1)-[(1+q)n-1][2n-(1+q)n].(2)[1-()n].因为-3●闯关训练夯实基础1.一串装饰彩灯由灯泡串联而成,每串有20个灯泡,只要有一只灯泡坏了,整串灯泡就不亮,则因灯泡损坏致使一串彩灯不亮的可能性的种数为-12020解析:C120+C220+…+C20=2-1.答案:D2.(2004年福建,文9)已知(x-是-ax)8展开式中常数项为1120,其中实数a是常数,则展开式中各项系数的和-或38-2r或28rr解析:(-ax1)r=(-a)rC8·x8.令8-2r=0,∴r=∴(-a)4C8=1120.∴a=±2.当a=2时,令x=1,则(1-2)8=1.当a=-2时,令x=-1,则(-1-2)8=38.答案:C3.(2004年全国Ⅳ,13)(x-1x)8展开式中x5的系数为_____________.解析:设展开式的第r+1项为令8-3r2r88-r·(-1x)=(-1)Cxrr3r2.2=5得r=2时,x5的系数为(-1)2·C8=28.答案:284.(2004年湖南,理15)若(x3+)n的展开式中的常数项为84,则n=_____________.92解析:(x)令3n-92rn3n-r·(x)=Cn·x,∴2n=3r.∴n必为3的倍数,r为偶数.6试验可知n=9,r=6时,Crn=C9=84.答案:95.已知(xlgx+1)n展开式中,末三项的二项式系数和等于22,二项式系数最大项为20000,求x的值解:由题意Cn+Cn+Cnnnn=22,10即C2n+Cn+Cn=22,∴n=6.∴第4项的二项式系数最大.lgx∴C3)3=20000,即x3lgx=(x∴x=10或x=110.培养能力6.若(1+x)6(1-2x)5=a0+a1x+a2x2+…+a11x11.求:(1)a1+a2+a3+…+a11;(2)a0+a2+a4+…+a10.解:(1)(1+x)6(1-2x)5=a0+a1x+a2x2+…+a11x11.令x=1,得a0+a1+a2+…+a11=-26,又a0=1,所以a1+a2+…+a11=-26-1=-65.(2)再令x=-1,得a0-a1+a2-a3+…-a11=0.①+②得a0+a2+…+a10=12①②(-26+0)=-32.评述:在解决此类奇数项系数的和、偶数项系数的和的问题中常用赋值法,令其中的字母等于1或-在二项式(axm+bxn)12(a>0,b>0,m、n≠0)中有2m+n=0,如果它的展开式里最大系数项恰是常数项.(1)求它是第几项;(2)求ab的范围.--(12-r)+nrrr解:(1)设(axm)12r·(bxn)r=C12a12rbrxm为常数项,则有m(12-r)+nr=0,即m(12-r)-2mr=0,∴r=4,它是第5项.(2)∵第5项又是系数最大的项,43C12a8b4≥C12a9b3,①∴有45C12a8b4≥C12a7b5.②由①得a9b3,∵a>0,b>0,∴由②得abb≥a,即≤ab≤94.≥85,∴≤在二项式(x+24x)n的展开式中,前三项的系数成等差数列,求展开式中的有理项.分析:根据题意列出前三项系数关系式,先确定n,再分别求出相应的有理项.解:前三项系数为C0n,12C1n,1410C2n,由已知Cn=Cn+142C2n,即n-9n+8=0,解得n=8或n=1(舍去)(x)∵4-3r4r88-r(24x)=C·-rr812r·x且0≤r≤8,r∈Z,358∴r=0,r=4,r=8.∴展开式中x的有理项为T1=x4,T5=评述:展开式中有理项的特点是字母x的指数4-探究创新9.有点难度哟!求证:21256x2.-3r4∈Z即可,而不需要指数4-3r4∈)n1n)n=1+1+C2n×12!1n2+C3n×1n3+…+Cnn×1nn=2+×=3-()1n3+…+Cnn×1nn2.所以21.在使用通项公式时,要注意:(1)通项公式是表示第r+1项,而不是第r项.(2)展开式中第r+1项的二项式系数Cn与第r+1项的系数不同.(3)通项公式中含有a,b,n,r,五个元素,只要知道其中的四个元素,就可以求出第五个元素.在有关二项式定理的问题中,常常遇到已知这五个元素中的若干个,求另外几个元素的问题,这类问题一般是利用通项公式,把问题归纳为解方程(或方程组).这里必须注意n是正整数,r是非负整数且r≤证明组合恒等式常用赋值法.●教师下载中心r教学点睛1.要正确理解二项式定理,准确地写出二项式的展开式.2.要注意区分项的系数与项的二项式系数.3.要注意二项式定理在近似计算及证明整除性中的应用.4.通项公式及其应用是二项式定理的基本问题,要熟练掌握.拓展题例例题求(a-2b-3c)10的展开式中含a3b4c3项的系数.解:(a-2b-3c)10=(a-2b-3c)(a-2b-3c)…(a-2b-3c),从10个括号中任取3个括号,从中取a;再从34剩余7个括号中任取4个括号,从中取-2b;最后从剩余的3个括号中取-3c,得含a3b4c3的项为C10a3C7·(-2b)4333433433434342(-3)abc.所以含abc项的系数为-C10C7×16×(-3c)=C10C7C3数学排列、组合、二项式定理基本原理数学教案【第二篇】教学目标(1)正确理解加法原理与乘法原理的意义,分清它们的条件和结论;(2)能结合树形图来帮助理解加法原理与乘法原理;(3)正确区分加法原理与乘法原理,哪一个原理与分类有关,哪一个原理与分步有关;(4)能应用加法原理与乘法原理解决一些简单的应用问题,提高学生理解和运用两个原理的能力;(5)通过对加法原理与乘法原理的学习,培养学生周密思考、细心分析的良好习惯。教学建议一、知识结构二、重点难点分析本节的重点是加法原理与乘法原理,难点是准确区分加法原理与乘法原理。加法原理、乘法原理本身是容易理解的,甚至是不言自明的。这两个原理是学习排列组合内容的基础,贯穿整个内容之中,一方面它是推导排列数与组合数的基础;另一方面它的结论与其思想在方法本身又在解题时有许多直接应用。两个原理回答的,都是完成一件事的所有不同方法种数是多少的问题,其区别在于:运用加法原理的前提条件是,做一件事有n类方案,选择任何一类方案中的任何一种方法都可以完成此事,就是说,完成这件事的各种方法是相互独立的;运用乘法原理的前提条件是,做一件事有n个骤,只要在每个步骤中任取一种方法,并依次完成每一步骤就能完成此事,就是说,完成这件事的各个步骤是相互依存的。简单的说,如果完成一件事情的所有方法是属于分类的问题,每次得到的是最后结果,要用加法原理;如果完成一件事情的方法是属于分步的问题,每次得到的该步结果,就要用乘法原理。三、教法建议关于两个计数原理的教学要分三个层次:第一是对两个计数原理的认识与理解.这里要求学生理解两个计数原理的意义,并弄清两个计数原理的区别.知道什么情况下使用加法计数原理,什么情况下使用乘法计数原理.(建议利用一课时).第二是对两个计数原理的使用.可以让学生做一下习题(建议利用两课时):①用0,1,2,……,9可以组成多少个8位号码;②用0,1,2,……,9可以组成多少个8位整数;③用0,1,2,……,9可以组成多少个无重复数字的4位整数;④用0,1,2,……,9可以组成多少个有重复数字的4位整数;⑤用0,1,2,……,9可以组成多少个无重复数字的4位奇数;⑥用0,1,2,……,9可以组成多少个有两个重复数字的4位整数等等.第三是使学生掌握两个计数原理的综合应用,这个过程应该贯彻整个教学中,每个排列数、组合数公式及性质的推导都要用两个计数原理,每一道排列、组合问题都可以直接利用两个原理求解,另外直接计算法、间接计算法都是两个原理的一种体现.教师要引导学生认真地分析题意,恰当的分类、分步,用好、用活两个基本计数原理.教学设计示例加法原理和乘法原理教学目标正确理解和掌握加法原理和乘法原理,并能准确地应用它们分析和解决一些简单的问题,从而发展学生的思维能力,培养学生分析问题和解决问题的能力.教学重点和难
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