XXXX竞赛培训讲稿1-随机模型与假设检验

201507181随机性模型选讲理学院数学教研部郑继明E-mail:[e-mail]201507182Outline1.简单的随机性模型2.报童的卖报问题3.传染病的随机感染4.为什么航空公司要超订机票5.假设检验my教案=125&id=zhengjm201507183按建模时：确定性因素?随机性因素?随机因素可以忽略(随机因素影响可以简单地以平均值的作用出现)随机因素影响必须考虑概率模型统计回归模型马氏链模型数学模型分类确定性模型随机性模型201507184§1简单的随机性模型1.1取球问题问题：盒中放有12个乒乓球，其中有9个是新的，第一次比赛时从盒中任取3个，用后仍放回盒中，第二次比赛时再从盒中任取3个，求第二次取出的球都是新球的概率。201507185分析：第二次取球是在第一次比赛之后，所以当第二次取球时盒中就不一定有9个新球了，因为第一次用的3个球可能有0、1、2、3个新球，所以第二次全取新球直接受这四种可能性的影响，可用全概率公式求解。设A表示“第二次取出的球都是新球”的事件；（i＝0,1,2,3）表示“第一次比赛时用了i个新球”iB则得：312339)(CCCBpiii|Ap(31239)CCBii于是由全概率公式ApBpApii()()(30|)iB146.030254412015071861.2电能供应问题问题：某车间有耗电为5KW的机床10台，每台机床使用时是各自独立地且间隙地工作，平均每台每小时工作12min。该车间配电设备的容量为32KW，求该车间配电设备超载的概率。201507187分析：每台耗电量为5KW，而配电设备容量为32KW，显然，有七台或七台以上的机床同时工作时，设备会发生超载现象。下面求出现这种现象的概率。观察10台完全相同的机床在同一时刻的工作情况与观察一台机床在10个时刻的工作情况是一样的。我们关心的问题是机床是否正在工作。对于任一时刻，机床要么工作，要么不工作，只有两个结果，而10台机床的工作是相互独立的，每台机床正在工作的概率相同且，这是贝努利概型.516012ip201507188由二项分布知，“在同一时刻不少于七台机床同时工作”的概率)51,,10,10()51,10,9()51,10,8()51,10,7(BBBBpkkkkC1010710)511()51(00086.0注：该车间设备超载的可能性(概率)是非常小的。2015071891.3客车停站问题问题：一辆送客汽车载有20位乘客从起点站开出，沿途有10个车站可以下车，若到达一个车站没有乘客下车就不停车，设每位乘客在每一个车站下车是等可能的，试求汽车平均停车次数。2015071810设随机变量X表示停车次数则101iiXX因为每位乘客在每一车站下车是等可能的，所以每一位乘客在第i站不下车的概率为，10910,,2,101iiiXi站无人下车第站有人下车第记所以20)109(1}1{iXp20)109(}0{iXp2015071811202020)109(1])109(1[1)109(0)(iXE从而得汽车平均停车次数：])109(1[)()()(20101101101iiiiiXEXEXE787.8])109(1[102020150718121.4蒲丰投针问题问题：平面上画有等距离为的一些平行线，向此平面任投一长为的针，试求此针与任一平行线相交的概率。)0(aa)(all以M表示针落下后的中点,x表示M到最近一条平行线的距离，表示针与平行线的交角，如图2015071813分析：有两种可能(针与这些平行线中的某一根相交，或都不相交。)没有理由认为这两种可能性是一样大的。用几何概率去解决。基本事件区域020:ax其面积为：2)(aL20150718140sin20:lxA而A的面积为,ldlALsin2)(0针与平行线相交的充要条件是故所求概率为alalAALp221)()(下面用MATLAB求解2015071815注：rand(n)=rand(n,n)rand(m,n)生成一个满足均匀分布的mn随机矩阵，矩阵的每个元素都在(0,1)之间。随机函数round(x):四舍五入取整取整函数试验方法先设定进行试验的总次数采用循环结构，统计指定事件发生的次数计算该事件发生次数与试验总次数的比值MATLAB相关知识2015071816随机投掷均匀硬币，验证国徽朝上与朝下的概率是否都是1/2(稳定性)n=10000;%给定试验次数m=0;fori=1:nx=randperm(2)-1;y=x(1);ify==0%0表示国徽朝上，1表示国徽朝下m=m+1;endendfprintf('国徽朝上的频率为：%f\n',m/n);试验一：投掷硬币2015071817设某班有m个学生，则该班至少有两人同一天生日的概率是多少？试验二：生日问题解：设一年为365天，且某一个学生的生日出现在一年中的每一天都是等可能的，则班上任意两个学生的生日都不相同的概率为：3651365!365(365)!365mmmPpm所以，至少有两个学生同一天生日的概率为：11pp2015071818n=1000;p=0;m=50;%设该班的人数为50fort=1:na=[];q=0;fork=1:mb=randperm(365);a=[a,b(1)];endc=unique(a);iflength(a)~=length(c)p=p+1;endendfprintf('任两人不在同一天生日的频率为：%f\n',1-p/n);试验二源程序2015071819clear;m=50;p1=1:365;p2=[1:365-m,365*ones(1,m)];p=p1./p2;p=1-prod(p);fprintf('至少两人同一天生日的概率为：%f\n',p);试验二的理论值计算1365!11(365)!365mppm2015071820,2015071821functionbuffon(l,d,n)%l平行线间距%d针长，n为投针次数m=0;fori=1:nalpha=rand(1)*pi;y=rand(1)*d/2;ify=l/2*sin(alpha)m=m+1;endendfprintf('针与平行线相交的频率为：%f\n',m/n);fprintf('计算出来的pi为：%f\n',2*n*l/(m*d));源程序2.12015071822function[pai,number]=buffon1(a,b,N)%a，b分别为平行线间距和针长，N为投针次数x=unifrnd(0,pi,N,1);y=unifrnd(0,a,N,1);number=0;%相交计数器fori=1:Nify(i)=b*sin(x(i))number=number+1;endendpai=2*b*N/(a*number);fprintf('针与平行线相交的频率为：%f\n',number/N);fprintf('计算出来的pi为：%f\n',pai);源程序2.22015071823§2报童的卖报问题问题：报童每天清晨从邮局购进报纸零售，晚上将卖不出去的退回，设报纸每份的购进价为b，零售价为a，退回价为c，当然应有abc。请你给报童筹划一下，他应如何确定每天购进报纸的数量，以获得最大的收入。2015071824分析：报童购进数量应根据需求量确定，但需求量是随机的，所以报童每天如果购进的报纸太少，不够卖，会少赚钱；如果购进太多，卖不完就要赔钱，这样由于每天报纸的需求量是随机的，致使报童每天的收入也是随机的因此衡量报童的收入，不能是报童每天的收入，而应该是他长期（几个月、一年）卖报的日平均收入。从概率论大数定律的观点看，这相当于报童每天收入的期望值，以下简称平均收入。2015071825记报童每天购进n份报纸时平均收入为G(n)，考虑到需求量为r的概率是p(r)，所以)(nGnrrprncbrba0)()])(()[()1()()(1nrrnpba假设报童已经通过自己的经验或其它渠道掌握了需求量的随机规律，即在他的销售范围内每天报纸的需求量为r份的概率是p(r),（r＝0,1,2,…）。问题归结为在p(r)、a、b、c已知时，求n使G(n)最大。2015071826通常需求量r的取值和购进量n都相当大，将r视为连续变量，这时p(r)转化为概率密度函数f(r)，(1)式变为：ndrrfrncbrbanG0)()])(()[()()2()()(drrnfban计算nrnfbadrrfcbnnfbadndG0)()()()()()(ndrrfba)()(2015071827nndrrfbadrrfcb0)()()()(得令0dndG)3()()(0cbbadrrfdrrfnn使报童日平均收入达到最大的购进量n应满足(3)，或cbbadrrfdrrfnn00)(1)()4()(0ncabadrrf2015071828)4()(0ncabadrrf根据需求量的概率密度f(r)的图形很容易从(4)式确定购进量n。n=?在图中，用分别表示曲线f(r)下的两块面积，则(3)式又可记作：21,PP)5(21cbbaPP)3()()(0cbbadrrfdrrfnn2015071829)5(21cbbaPP因为当购进n份报纸时：ndrrfP01)(是卖不完的概率；ndrrfP)(2是卖完的概率；购进的份数n应该使卖不完与卖完的概率之比，恰好等于卖出一份赚的钱a－b与退回一份赔的钱b－c之比。(3)(或5)式表明：2015071830当报童与邮局签订的合同使报童每份赚钱与赔钱之比越大时，报童购进的份数就应该越多。例如：若每份报纸的购进价为0.15元，售出价为0.2元，退回价为0.12元，需求量服从均值500份、均方差50份的正态分布，报童每天应购进多少份报纸才能平均收入最高，这个最高收入是多少？2015071831解：查表可得n＝μ＋0.32σ＝516即每天购进516份报纸。按照(2)式，可得最高收入G≈23.484元。因为08.0,05.0caba851P按(4)式，（其中μ＝500,σ＝50）),(~2Nr因为2015071832问题：·人群中有病人（带菌者）和健康人（易感染者）.·任何两人之间的接触是随机的.·当健康人与病人接触时健康人是否被感染也是随机的.·通过实际数据或经验掌握了这些随机规律.怎样估计平均每天有多少健康人被感染，这种估计的准确性有多大？§3传染病的随机感染—一个完整的建模介绍求解方法??2015071833(参见美-堆盐问题87A求解)2015071834模型假设1.人群只分病人和健康人两类，病人数和健康人数分别记为i和s，总数n不变，即nsi（1）2.人群中任何二人的接触是相互独立的，具有相同概率，每人每天平均与m人接触。3.当健康人与一病人接触时，健康人被感染的概率为。注：符号说明2015071835排列与组合，概率计算随机变量与分布函数，离散型随机变量的分布律nknknnkpqpknpqnqpnkX1110二项分布).,(~pnbX预备知识建模时可能用到的一些物理定律、数学公式或方法等建模目的是寻找健康人中每天平均被感染的人数与已知参数的关系.,,,min模型分析2015071836模型建立利用二项分布的性质并注意到人群总数为n,有pnm)1(记假设2中任何二人接触的概率为,p—一健康人与一名指定病人接触的概率.一健康