搜索
夜风非常冷整理第二章数学应用一、解答技巧1、学习和掌握新题型2、重点掌握新变化和基本理论知识3、在掌握方程法的基础上加强思维训练4、学会使用代入法和排除法5、反复练习，提高做题速度二、基本解题思路1、方程的思路2、代入与排除的思路3、猜证结合的思路三、常见题型和基本理论知识1、数字计算(1)直接补数法概念：如果两个数的和正好可以凑成整十、整百、整千，称这两个数互为补数。例题：计算274+135+326+265解：原式=(274+326)+(135+265)=600+400=1000(2)间接补数法例题：计算1986+2381解：原式=2000-14+2381=2000+2381-14=6381-14=6367(凑整去补法)(3)相近的若干数求和例题：计算1997+2002+1999+2003+1991+2005解：把2000作为基准数，原式=2000x6+(-3+2-1+3-9+5)=12000-3=11997(4)乘法运算中的凑整法基本的凑整算式：5x2=10，25x4=100，125x4=500，625x4=2500例题：计算(8.4x2.5+9.7)/(1.05/1.5+8.4/0.28)解：原式=(2.1x4x2.5+9.7)/(0.7+30)夜风非常冷整理=30.7/30.7=1练习：计算0.0495x2500+49.5x2.4+51x4.95解：原式=0.0495x100x25+4.95x10x2.4+51x4.95=4.95x25+4.95x24+4.95x51=4.95x(25-24+51)=4.95x100=495(5)尾数计算法概念：当四个答案完全不同时，可以采用为数计算法选择出正确答案。例题：99+1919+9999的个位数是()A.1B.2C.3D.7解析：答案各不相同，所以可采用尾数法。9+9+9=27答案：7，选D练习：计算(1.1)2+(1.2)2+(1.3)2+(1.4)2的值是：A.5.04B.5.49C.6.06D.6.30解析：(1.1)2的尾数为1，(1.2)2的尾数为4，(1.3)2的尾数为9，(1.4)2的尾数为6，所以最后和的尾数为1+3+9+6的和的尾数，即0答案：D(6)自然数n次方的尾数变化情况例题：19991998的末位数字是()解析：9n的尾数是以2为周期进行变化的，分别为9，1，9，1，……答案：12n的尾数变化是以4为周期变化的，分别为2，4，8，63n的尾数变化是以4为周期变化的，分别为3，9，7，17n的尾数变化是以4为周期变化的，分别为7，9，3，18n的尾数变化是以4为周期变化的，分别为8，4，2，64n的尾数变化是以2为周期变化的，分别为4，69n的尾数变化是以2为周期变化的，分别为9，15n、6n尾数不变夜风非常冷整理练习：19881989+19891988的个位数是解析：19881989的尾数是由81989的尾数确定的，1989/4=497余1，所以81989的尾数和81的尾数是相同的，即为8；19891988的尾数是由91988的尾数确定的，1988/2=994余0，所以91988的尾数和92的尾数是相同的，即为1。答案：8+1=9(7)提取公因式法例题：计算1235x6788-1234x6789解：原式=1235x6788-1234x6788-1234=6788x(1235-1234)-1234=6788-1234=5554练习：计算999999x777778+333333x666666解一：原式=333333x3x777778+333333x666666=333333x(3x777778+666666)=333333x(2333334+666666)=333333x3000000=999999000000解二：原式=999999x777778+333333x3x222222=999999x777778+999999x222222=999999x(777778+222222)=999999x1000000=999999000000解一和解二在公因式的选择上有所不同，导致计算的简便程度不相同(8)因式分解例题：计算2002x20032003-2003x20022002解析：20032003=2003x10001；20022002=2002x10001原式=2002x2003x10001-2003x2002x10001(9)代换的方法例题：计算(1+0.23+0.34)x(0.23+0.34+0.65)-(1+0.23+0.34+0.65)x(0.23+0.34)解：设A=0.23+0.34，夜风非常冷整理B=0.23+0.34+0.65原式=(1+A)xB-(1+B)xA=B-A=0.65练习：已知X=1/49，Y=1/7，计算7X-3(2Y2/3+X/5)-(Y2+2X/5)+2Y2解：根据已知条件X=1/49，Y=1/7，可进行X=Y2的代换原式=7X-3(2X/3+X/5)-(X+2X/5)+2X=7X-2X-3X/5-X-2X/5+2X=5X=5/49(10)利用公式法计算例题：计算782+222+2x78x22解：核心公式：完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2原式=(78+22)2=10000其它核心公式：平方差公式：a2-b2=(a-b)(a+b)立方和公式：a3+b3=a2-ab+b2立方差公式：a3-b3=a2+ab+b2完全立方公式：(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b32、比较大小(1)作差法：对任意两数a、b，如果a-b﹥0则a﹥b；如果a-b﹤0则a﹤b；如果a-b=0则a=b。(2)作比法：当a、b为任意两正数时，如果a/b﹥1则a﹥b；如果a/b﹤1则a﹤b；如果a/b=1则a=b。当a、b为任意两负数时，如果a/b﹥1则a﹤b；如果a/b﹤1则a﹥b；如果a/b=1则a=b。(3)中间值法：对任意两数a、b，当很难直接用作差法和作比法比较大小时，通常选取中间值c，如果a﹥c而c﹥b，则a﹥b。夜风非常冷整理例题：分数中最大的一个是解析：取中间值和原式的各个分数进行比较，可以发现除了比大，其余分数都比小答案：最大3、比例问题(1)和谁比(2)增加或减少多少(3)运用方程法或代入法例题：b比增加了20%，则b是a的多少？a又是b的多少？解析：列方程a(1+20%)=b，所以b是a的1.2倍，所以a是b的练习：鱼塘里养了一批鱼，第一次捕上来200条，做好标记后放回鱼塘，数日后再捕上100条，发现有标记的鱼有5条，问鱼塘里大约有多少条鱼？解析：方程法，设鱼塘里有x条鱼，100/5=x/200，x=4000答案：鱼塘里大约有4000条鱼。4、工程问题(1)关键概念：工作量、工作效率、工作效率的单位(2)关键关系式：工作量=工作效率x工作时间总工作量=各分工作量之和例题：一项工作，甲单独做10天完成，乙单独做15天完成，问两人合作3天完成工作的几分之几？解析：设工作量为1，甲的工作效率为1/10，乙的工作效率为1/15，两人一天完成工作量为1/10+1/15=1/6，3天完成工作量为1/6x3答案：1/2练习：铺设一条自来水管道，甲队单独铺设8天可以完成，乙队每天可铺设50米。夜风非常冷整理如果甲乙两队同时铺设，4天可以完成全长的2/3，这条管道全长是多少米？解析：设乙需要X天完成这项工程，由题意可得，解得X=24又乙队每天可铺设50米，所以50x24=1200米答案：这条管道全长是1200米5、行程问题(1)相遇问题甲从A地到B地，乙从B地到A地，两人在途中相遇，实质上是甲和乙一起走了A、B之间这段路程，如果两人同时出发，那么A、B之间的路程=甲走的路程+乙走的路程=（甲的速度+乙的速度）x相遇时间=速度和x相遇时间相遇问题的核心是“速度和”问题。例题：两列对开的列车相遇，第一列车的车速为10米／秒，第二列车的车速为12.5米／秒，第二列车上的旅客发现第一列车在旁边开过时共用了6秒，则第一列车的长度为多少米?解析：两列火车的速度和为10+12.5=22.5米／秒，两列火车这样的速度共同行驶了6秒，行驶的距离是第一列火车的长度，即22.5x6=135米答案：第一列车的长度为135米。(2)追及问题两人同时行走，甲走得快，乙走得慢，当乙在前，甲过一段时间能追上乙，这就产生了“追及问题”。实质上，要计算甲在某一段时间内比乙多走的路程。追及路程=甲走的路程-乙走的路程=（甲的速度-乙的速度）x追及时间=速度差x追及时间追及问题的核心是“速度差”问题。例题：甲乙两船同时从两个码头出发，方向相同，乙船在前面，每小时行24千米，甲船在后，每小时行28千米，4小时后甲船追上乙船，求两个码头相距多少千米？解析：甲对乙的追及速度差=28-24=4千米/时，追及时间为4小时，则追及的距离为4x4=16千米，即两码头之间的距离答案：两个码头相距16千米。(3)流水问题船顺水航行时，一方面按自己本身的速度即船速在水面上行进，同时整个水面又按水的流动速度在前进，因此船顺水航行的实际速度（简称顺水速度）就等于船速与水速的和，即：顺水速度=船速+水速夜风非常冷整理同理：逆水速度=船速-水速可推知：船速=（顺水速度+逆水速度）/2；水速=（顺水速度-逆水速度）/2例题：小王从甲地到乙地，以为有风，去时用了2小时，回来用了3小时。已知甲乙两地的距离是60公里，求风速是多少？解析：设风速为X，小王的速度为Y，根据题意得X+Y=30，Y-X=20。则X=5，Y=25答案：风速是5公里/时。6、方阵问题核心公式：(1)方阵总人数=最外层每边人数的平方（方阵问题的核心）(2)方阵最外层每边人数=方阵最外层总人数/4+1(3)方阵外层比内层一行、一列的总人数多2(4)一行、一列的总人数=每边人数x2-1例题：小红把平时节省下来的全部五分硬币先围成一个正三角形，正好用完，后来又改围成一个正方形，也正好用完。如果正方形的每条边比三角形的每条边少用5枚硬币，则小红所有五分硬币的总价值是多少元？解析：设围成一个正方形时，每边有硬币X枚，此时硬币总数为4(X-1)，当变成三角形时，硬币总数为3(X+5-1)，由此可得4(X-1)=3(X+5-1)，解得X=16，硬币总数为60枚答案：小红所有五分硬币的总价值是3元。7、和、差倍问题已知不同大小两个数的和（或差）与它们的倍数关系，求这两个数的值。（和+差）/2=较大数；（和-差）/2=较小数；较大数-差=较小数。例题：甲、乙、丙、丁4个数的和为549，如果甲加上2，乙减去2，丙乘以2，丁除以2以后，4个数相等，求这4个数各是多少？解析：设相等的数为x，则甲=x-2，乙=x+2，丙=2x，丁=x/2，由题意可得x-2+x+2+2x+x/2=549，x=122答案：甲、乙、丙、丁这4个数分别是120、124、244、61。8、年龄问题一般方法：夜风非常冷整理几年后年龄=大小年龄差/倍数差-小年龄几年前年龄=小年龄-大小年龄差/倍数差年龄问题的核心是大小年龄差是各不变的量，而年龄的倍数却年年不同。例题：甲对乙说：当我的岁数是你现在岁数时，你才4岁。乙对甲说：当我的岁数到你现在岁数时，你将有67岁。甲乙现在各有：A.45岁，26岁B.46岁，25岁C.47岁，24岁D.48岁，23岁解析：设甲的年龄为X，乙的年龄为Y，由题意可得Y-(X-Y)=4，X+(X-Y)=67解得X=46，Y=25此题应直接用代入法答案：B9、利润问题核心公式(1)利润=销售价（卖出价）-成本(3)销售价=成本x（1+利润率）例题：某个体商贩在一次买卖中，同时卖出两件上衣，每件都以135元出售，若按成本计算，其中一件盈利25％，另一件亏本25％，则他在这次买卖中A．不赔不赚B．赚9元C．赔18元D．赚18元解析：根据利润问题的核心公式，第一件上衣成本第二件上衣的成本（亏损即利润率为负），由此可得总成本为288元，而总销售额为270元，所以赔了18元答案：C10、面积问题(1)基本公式三角形的面积长方形面积S=axb正方形面积S=a2梯形面积圆