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了解函数单调性和导数的关系/能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间/了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件/会用导数求函数的极大值、极小值/会求闭区间上函数的最大值、最小值/会利用导数解决某些实际问题2.11导数的应用1．函数在某区间上单调的充分条件一般地，设函数y＝f(x)在某个区间内有导数，如果在这个区间内y′＞0，那么函数y＝f(x)为这个区间内的增函数；如果在这个区间内y′＜0，那么函数y＝f(x)为这个区间内的减函数．2．极大值一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＜f(x0)，就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值＝f(x0)，x0是极大值点．3．极小值一般地，设函数f(x)在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x0)．就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值＝f(x0)，x0是极小值点．4．求可导函数f(x)的极值的步骤(1)确定函数的定义区间，求导数f′(x)．(2)求方程f′(x)＝0的根．(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干个开区间，并列成表格检查．f′(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值．5．利用导数求函数的最值步骤(1)求f(x)在(a，b)内的极值；(2)将f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较得出函数f(x)在[a，b]上的最值．1．对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x－1)f′(x)≥0，则必有()A．f(0)＋f(2)2f(1)B．f(0)＋f(2)≤2f(1)C．f(0)＋f(2)≥2f(1)D．f(0)＋f(2)2f(1)解析：(x－1)f′(x)≥0，或①函数y＝f(x)在(－∞，1]上单调递减，f(0)f(1)；在[1，＋∞)上单调递增，f(2)f(1)，∴f(0)＋f(2)2f(1)．②函数y＝f(x)可为常数函数，f(0)＋f(2)＝2f(1)．故选C项．答案：C2．函数f(x)＝x3－3x2＋2在区间[－1,1]上的最大值是()A．－2B．0C．2D．4解析：f′(x)＝3x2－6x，令f′(x)＝0，得x＝0，x＝2(舍去)．比较f(－1)，f(0)，f(1)的大小知f(x)max＝f(0)＝2，选C项．答案：C3．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：f′(x)0单调递增，f(x)′0单调递减．f′(x)＝0→f′(x)＝0→f′(x)0.由题中图象可知只有1个极小值点．答案：A4．(2010·开封高三月考)函数f(x)=x3+bx2+cx+d的大致图象如右图，则等于()解析：由题图可知f(－1)＝f(0)＝f(2)＝0，解得：b＝－1，c＝－2，d＝0，则f′(x)＝3x2－2x－2，则答案：C此类题主要考查求函数的导数、单调性的判定以及单调性的应用，是高考考查的重点，考题可能以小题形式出现，也可以以中档大题形式出现．应注意函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导，则f′(x)＞0是函数y＝f(x)在(a，b)上递增的充分条件，并非充要条件．【例1】设a为实数，函数f(x)＝x3－ax2＋(a2－1)x在(－∞，0)和(1，＋∞)都是增函数，求a的取值范围．解答：f′(x)＝3x2－2ax＋(a2－1)，其判别式Δ＝4a2－12a2＋12＝12－8a2.(1)若Δ＝12－8a2＝0，即a＝±.当x∈(－∞，)或x∈(，＋∞)时，f′(x)0，f(x)在(－∞，＋∞)为增函数．所以a＝±.(2)若Δ＝12－8a20，恒有f′(x)0，f(x)在(－∞，＋∞)为增函数．(3)若Δ＝12－8a20，即，令f′(x)＝0，解得当x∈(－∞，x1)或x∈(x2，＋∞)时，f′(x)0，f(x)为增函数；当x∈(x1，x2)时，f′(x)0，f(x)为减函数．依题意x1≥0且x2≤1.由x1≥0得从而a∈[1，)．综上，a的取值范围为变式1.设x＝1和x＝2是函数f(x)＝x5＋ax3＋bx＋1的两个极值点．(1)求a和b的值；(2)求f(x)的单调区间．解答：(1)∵f′(x)＝5x4＋3ax2＋b，由假设知：f′(1)＝5＋3a＋b＝0f′(2)＝24×5＋22×3a＋b＝0，解得a＝，b＝20.(2)由(1)知f′(x)＝5x4＋3ax2＋b＝5(x2－1)(x2－4)＝5(x＋1)(x＋2)(x－1)(x－2)当x∈(－∞，－2)∪(－1,1)∪(2，＋∞)时，f′(x)＞0当x∈(－2，－1)∪(1,2)时，f′(x)＜0，因此f(x)的单调增区间是(－∞，－2)，(－1,1)，(2，＋∞)，f(x)的单调减区间是(－2，－1)，(1,2)．1.此类题主要考查求函数的极值以及极值的应用，经常与单调性、最值知识结合应用于与函数有关的数学问题中，高考时可以以选择题、填空题形式出现，也可出现在中档大题中．2．应注意函数y＝f(x)在x＝x0处可导，且函数y＝f(x)在x＝x0处取得极值，则f′(x0)＝0.3．要特别关注三次函数的单调性和极值问题．【例2】已知函数f(x)＝x(x－a)(x－b)在x＝s，x＝t处取到极值，其中a0，b0.(1)设A(s，f(s))，B(t，f(t))，求证线段AB中点在曲线y＝f(x)上；(2)若a＋b2，判断过原点且与曲线y＝f(x)相切的两条直线是否垂直．解答：(1)f(x)＝x(x－a)(x－b)＝x3－(a＋b)x2＋abx，f′(x)＝3x2－2(a＋b)x＋ab，由已知条件即则3(s2－t2)－2(a＋b)(s－t)＝0，∴s＋t＝，∴线段AB中点在曲线y＝f(x)上．(2)设过原点且与曲线y＝f(x)相切的直线与曲线的切点为(t，t3－(a＋b)t2＋abt)，则＝3t2－2(a＋b)t＋ab，整理得t＝，或t＝0(舍去)．则过原点的与曲线y＝f(x)相切的两条直线的斜率分别为ab，因此过原点且与曲线y＝f(x)相切的两条直线不垂直．变式2.已知函数f(x)＝ax3＋cx＋d(a≠0)是R上的奇函数，且f(1)＝0，f′(1)＝2.(1)求a、c、d的值；(2)在y＝f(x)的图象C上任取一点P，在点P处的切线l与曲线C的另一个交点为Q，设点P的横坐标为t，线段PQ的中点R的纵坐标为u.①用t表示u；②当t0时，求u的最大值．解答：(1)∵f(x)＝ax3＋cx＋d，∴f′(x)＝3ax2＋c.根据已知条件即解得(2)由f(x)＝x3－x，f′(x)＝3x2－1，P点坐标(t，t3－t)，①②联立整理得(x－t)2(x＋2t)＝0，则Q点坐标为(－2t，－8t3＋2t)，要注意区分函数最大(小)值与函数极值的区别、联系．函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，是局部性概念，而函数的最大(小)值是比较整个定义区间的函数值得出的，是对整个定义域而言的．在闭区间[a，b]上连续函数f(x)的最大(小)值，是开区间(a，b)内所有极大(小)值与f(a)、f(b)中的最大(小)值．【例3】请您设计一个帐篷，它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥(如图所示)．试问当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为多少时，帐篷的体积最大？解答：由题图，设OO1为xm，则1x4.由题设可得正六棱锥底面边长为(单位：m)：于是底面正六边形的面积为(单位：m2)：帐篷的体积为(单位：m3)：求导数，得令V′(x)＝0，解得x＝－2(不合题意，舍去)，x＝2.当1x2时，V′(x)0，V(x)为增函数；当2x4时，V′(x)0，V(x)为减函数．所以当x＝2时，V(x)最大．当OO1为2m时，帐篷的体积最大.1．在利用导数确定函数单调性时要注意结论“若y＝f(x)在(a，b)内可导，且f′(x)＞0，则f(x)在区间(a，b)上是增函数”的使用方法．此结论并非充要条件如f(x)＝x3.在(－∞，＋∞)上是递增的，但f′(0)＝0；因此已知函数的单调区间求函数关系式中字母范围时，要对f′(x)＝0处的点进行检验．2．若函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：(1)求f(x)在(a，b)内的极值；(2)将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较其中最大的是最大值，最小的是最小值；(3)特殊地对于开区间内的单峰函数极大值即为函数的最大值，极小值即为函数的最小值.【方法规律】(本题满分12分)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx，且f′(－1)＝0.(1)试用含a的代数式表示b；(2)求f(x)的单调区间；(3)令a＝－1，设函数f(x)在x1，x2(x1x2)处取得极值，记点M(x1，f(x1))，N(x2，f(x2))，证明：线段MN与曲线f(x)存在异于M、N的公共点.解答：(1)由已知f′(x)＝x2＋2ax＋b，又f′(－1)＝0，则1－2a＋b＝0，即b＝2a－1.(2)f′(x)＝x2＋2ax＋2a－1＝(x＋2a－1)(x＋1)．若－(2a－1)＝－1即a＝1，f′(x)＝(x＋1)2≥0，则f(x)的递增区间为(－∞，＋∞)；若－(2a－1)－1，即a1，则f(x)的递增区间为(－∞，1－2a)，(－1，＋∞)，递减区间为(1－2a，－1)；若－(2a－1)－1，即a1，则f(x)的递增区间为(－∞，－1)，(1－2a，＋∞)，递减区间为(－1，1－2a)．【答题模板】(3)由a＝－1，f′(x)＝(x＋1)(x－3)，f(x)＝x3－x2－3x，①则当x＝－1，x＝3时，f(x)取到极值f(－1)＝f(3)＝9－9－9＝－9.即两极值点处的坐标为(3，－9)．不妨设M、N(3，－9)，所以过、(3，－9)两点的直线MN的方程为由①②消去y整理得x3－3x2－x＋3＝0，令g(x)＝x3－3x2－x＋3，g(0)＝3；g(2)＝8－12－2＋3＝－1，g(0)0，g(2)0知g(x)在(0,2)上存在零点，即线段MN与曲线f(x)存在异于M、N的公共点．1.导数的应用是高考考查的重点和热点，更多的与曲线的切线，函数的性质、不等式、数列等内容进行综合考查，以解答题的形式出现，充分体现数形结合，分类讨论等重要的数学思想方法，体现数学应用的重要性．2．本题主要考查通过求导、解决函数的单调性和函数零点存在等问题．3．近年来对以三次函数为背景的问题的考查愈演愈烈．对三次函数图象和性质有必要进行系统的挖掘和研究.【分析点评】点击此处进入作业手册