搜索
第1页共8页初中数学竞赛培训讲义第十讲等腰三角形的性质研究一竞赛知识简介（－）等腰三角形的性质1.有关定理及其推论定理：等腰三角形有两边相等；定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形；2.定理及其推论的作用等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边相等与角相等之间的关系，由两边相等推出两角相等，是今后证明两角相等常用的依据之一。等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线“三线合一”的性质是今后证明两条线段相等，两个角相等以及两条直线互相垂直的重要依据。（二）等腰三角形的判定1.有关的定理及其推论定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”。）推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。2.定理及其推论的作用。等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化关系，它是证明线段相等的重要定理，也是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据，是本节的重点。3.等腰三角形中常用的辅助线等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问第2页共8页B/A/EDCBAGFEDCBANMCBA题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平分线，有时则需要作高或中线，这要视具体情况来定。二赛题讲解1利用“等边对等角”性质求角例1如图，,AABBⅱ分别是,EABDBC行的平分线，若AABBABⅱ==，求BACÐ的度数.拓展训练1、如图，在ABCD中，ABBC=,在BC上取点M，在MC上取点N，使MNNA=，若BAMNAC??，求MACÐ的度数.2、如图，,AEAD是直线，且ABBCCDDEEFFGGA======，求DAEÐ的值.第3页共8页PDCBAQPFEDCBA3、已知ABCD的三角形的边长的长分别为,,abc，且aabcbcbca++=+-，试判定ABCD的形状.4、在ABCD中，已知ABAC=，且过ABCD某一顶点的直线可将ABCD分成两个等腰三角形，求ABCD各内角的度数.5、四边形ABCD中，ABDC=,,EF分别是,BCAD的中点，EF交,BADC于,PQ,求证：BPECQF??.2、等腰三角形中的全等构造例2在ABCD中，AD是BACÐ的平分线，BPAD^，垂足是P，已知5,2,9ABBPAC===，求证：3ABCC??.第4页共8页FDCBAMDCBADCBADCBA例3如图，在四边形ABCD中，ABAD=,若2360BADBCD???,求证：ABADAC==例4如图，在ABCD中，ABAC=,D是BC上一点，求证：22DBDCABAD?-.拓展练习1、如图，在ABCD中，7,11ABAC==,点M是BC的中点，AD是BACÐ的平分线，MF∥AD,求FC的长.2、如图，ABCD中，ADBC^于D，ABBDCD+=,求证：2BC??第5页共8页FEDCBAFEDCBADCBA3、如图，在ABCD中，46ABC??,D是BC上一点，DCAB=,21DAB??,求CADÐ的度数.3、等边三角形中的几何问题例5如图，ABCD中，分别以,,BCCAAB为边向外作等边三角形，记,,DEF分别是等边三角形的中心.(1)求证：DEFD是等边三角形.(2)若4,5,6BCCAAB===，求DEFD的面积.例6边长为a等边ABCD中，,DE是边,BCCA上的点，AD与BE交于点F.(1)若BDCE=,AFBÐ的度数.(2)13BDCEa==，求证：CFAD^.拓展训练1、一个六边形的六个内角均为120°，连续四边的长依次是1,3,3,2，求该六边形的周长和面积.第6页共8页PCBAFEDCBAMCBA2、P是等边ABCD内一点,3,4,150PAPBAPB==??，求PC的长.3、如图，菱形ABCD中，120BAD??,,EF是,BCCD边上的点，若AEFD中有一个内角是60°，求证：AEFD是等边三角形.4、构造等边三角形解题例7如图，ABCD中，44BACBCA???,M为ABCD内一点，使得30,16MCAMAC?靶=?，求BMCÐ的度数.拓展练习1、ABCD中，ABAC=,80BAC??,O为ABCD内一点，且10,OBC??20,OCA??求BAOÐ的度数.第7页共8页DCBADCBADCBA2、如图，在等腰ABCD中，ABAC=,20A??,在边AB上取点D，使得ADBC=，求BDCÐ的度数.例8如图，在ABCD中，90,30,CCADACBCAD?靶=?=.求证：.CDBD=.拓展练习1、如图，在ABCD中，90,BACABAC??,D是ABCD内一点，且15DACDCA???，求证：BDBA=.第8页共8页QPCBAQPCBAEDCBAPCBA练习题1、在ABCD中，12,132,ABCACBBM?靶=?和CN分别是这两个角的外角平分线，且点,MN分别在直线AC和AB上，则（）.ABMCN.BBMCN=.CBMCN.D,BMCN的大小关系不能确定.2、如图，已知等腰ABCD中，,,ABACPQ=分别是,ACAB上的点，且APPQQBBC===，求PCQÐ的度数.3、如图，在ABCD中，60,40BACACB?靶=?,,PQ分别在,BCCA上，并且,APBQ分别是,BACABC行的角平分线，求证：AQBQABBP+=+.4、如图，ABCD中，60B??,延长BC到D，延长BA到E，使AEBD=，联接,CEDE，若CEDE=，求证：ABCD是等边三角形.5、如图，ABCD中，40ABCACB???,P为ABCD内一点，使得20PCAPAB???，求BPCÐ的度数.