单因素方差分析培训

1单因素方差分析培训培训时间：2012年5月培训部门：生产运营部2什么是方差?方差是各个数据与平均数之差的平方和的平均数,即：s=[(x1-x)+(x2-x)+...+(xn-x)】/n其中，x——样本的平均数，n——样本的数量，xn——个体；s——方差。方差反映的是数据的离散度2223方差意义方差也是比较数据的一个非常有用的工具，比较两组数据大小一般用平均数，但是有的时候平均数不能非常准确的表示数据。例：有现在有六只鸡，每三只一组，每组鸡的重量为：第一组：2.5，3，3.5第二组：1，3，5两组鸡重量的平均数是一样的，但是这两组鸡却有明显的差别，这是平均数就不能体现二者的差别，所以我们引入了方差的概念。4什么是方差分析(ANOVA)?1.检验多个总体均值是否相等通过分析观察数据的误差判断各总体均值是否相等2.是从观测变量的方差入手，研究诸多控制变量中哪些变量是对观测变量有显著影响的变量.–一个或多个分类尺度的自变量•2个或多个(k个)处理水平或分类5什么是方差分析?(例题分析)消费者对四个行业的投诉次数行业观测值零售业旅游业航空公司家电制造业12345675766494034534468392945565131492134404451657758【例】为了对几个行业的服务质量进行评价，消费者协会在四个行业分别抽取了不同的企业作为样本。最近一年中消费者对总共23家企业投诉的次数如下表6什么是方差分析?(例题分析)1.分析四个行业之间的服务质量是否有显著差异，也就是要判断“行业”对“投诉次数”是否有显著影响2.作出这种判断最终被归结为检验这四个行业被投诉次数的均值是否相等3.如果它们的均值相等，就意味着“行业”对投诉次数是没有影响的，即它们之间的服务质量没有显著差异；如果均值不全相等，则意味着“行业”对投诉次数是有影响的，它们之间的服务质量有显著差异7方差分析中的有关术语1.因素或因子(factor)：所要检验的对象要分析行业对投诉次数是否有影响，行业是要检验的因素或因子2.水平或处理(treatment)：因子的不同表现零售业、旅游业、航空公司、家电制造业就是因子的水平3.观察值：在每个因素水平下得到的样本值每个行业被投诉的次数就是观察值8方差分析中的有关术语1.试验这里只涉及一个因素，因此称为单因素四水平的试验2.总体★因素的每一个水平可以看作是一个总体★比如零售业、旅游业、航空公司、家电制造业可以看作是四个总体3.样本数据被投诉次数可以看作是从这四个总体中抽取的样本数据9方差分析的基本思想和原理(图形分析)不同行业被投诉次数的散点图020406080012345行业被投诉次数零售业旅游业航空公司家电制造111.仅从散点图上观察还不能提供充分的证据证明不同行业被投诉的次数之间有显著差异–这种差异也可能是由于抽样的随机性所造成的2.需要有更准确的方法来检验这种差异是否显著，也就是进行方差分析–之所以叫方差分析，因为虽然我们感兴趣的是均值，但在判断均值之间是否有差异时则需要借助于方差–它是通过对数据误差来源的分析判断不同总体的均值是否相等（不仅是数量层面的相等）。因此，进行方差分析时，需要考察数据误差的来源。方差分析的基本思想和原理方差体现的是一组数据的离散度13方差分析的基本思想和原理(两类误差)1.随机误差因素的同一水平(总体)下，样本各观察值之间的差异比如，同一行业下不同企业被投诉次数是不同的这种差异可以看成是随机因素的影响，称为随机误差2.系统误差因素的不同水平(不同总体)下，各观察值之间的差异如：不同行业之间的被投诉次数之间的差异这种差异可能是由于抽样的随机性所造成的，也可能是由于行业本身所造成的，后者所形成的误差是由系统性因素造成的，称为系统误差14方差分析的基本思想和原理(两类方差)1.组内方差(withingroups):MSE因素的同一水平(同一个总体)下样本数据的方差比如，零售业被投诉次数的方差组内方差只包含随机误差2.组间方差(betweengroups)：MSA因素的不同水平(不同总体)下各样本之间的方差比如，四个行业被投诉次数之间的方差组间方差既包括随机误差，也包括系统误差结合计算实例15方差分析的基本思想和原理(F检验：方差的比较)1.若不同不同行业对投诉次数没有影响，则组间误差中只包含随机误差，没有系统误差。F=MSA/MSE12.若不同行业对投诉次数有影响，在组间误差中除了包含随机误差外，还会包含有系统误差。F=MSA/MSE13.当这个比值大到某种程度（临界值Fa）时，就可以说不同水平之间存在着显著差异，也就是自变量对因变量有影响16方差分析的基本假定1.每个总体都应服从正态分布对于因素的每一个水平，其观察值是来自服从正态分布总体的简单随机样本比如，每个行业被投诉的次数必需服从正态分布2.各个总体的方差必须相同》》需进行方差齐性检验各组观察数据是从具有相同方差的总体中抽取的比如，四个行业被投诉次数的方差都相等3.观察值是独立的比如，每个行业被投诉的次数与其他行业被投诉的次数独立17F(X)-3б-2б-бμб2б3б68.26%95.45%99.73%X正态分布图正态分布特点18方差分析中基本假定如果原假设成立，即H0:m1=m2=m3=m4–四个行业被投诉次数的均值都相等–意味着每个样本都来自均值为、方差为2的同一正态总体Xf(X)123419方差分析中基本假定若备择假设成立，即H1:mi(i=1，2，3，4)不全相等–至少有一个总体的均值是不同的–四个样本分别来自均值不同的四个正态总体Xf(X)312420问题的一般提法1.设因素有k个水平，每个水平的均值分别用1、2、、k表示2.要检验k个水平(总体)的均值是否相等，需要提出如下假设：原假设H0:12…k备择假设H1:1,2,，k不全相等3.设1为零售业被投诉次数的均值，2为旅游业被投诉次数的均值，3为航空公司被投诉次数的均值，4为家电制造业被投诉次数的均值，提出的假设为H0:1234H1:1,2,3,4不全相等21单因素方差分析一.数据结构二.分析步骤三.关系强度的测量四.用Excel进行方差分析22单因素方差分析的数据结构(one-wayanalysisofvariance)观察值(j)因素(A)i水平A1水平A2…水平Ak12::nx11x21…xk1x12x22…xk2::::::::x1nx2n…xkn23分析步骤：•提出假设•构造检验统计量•统计决策24提出假设1.一般提法原假设：H0:m1=m2=…=mk自变量对因变量没有显著影响备择假设：H1:m1，m2，…，mk不全相等自变量对因变量有显著影响2.注意：拒绝原假设，只表明至少有两个总体的均值不相等，并不意味着所有的均值都不相等25构造检验的统计量构造统计量需要计算:水平的均值（组均值）全部观察值的总均值误差平方和总误差平方和=组内平方和+组间平方和均方(MS)：组内方差、组间方差结合实例计算演练讲解26构造检验的统计量(计算水平的均值)1.假定从第i个总体中抽取一个容量为ni的简单随机样本，第i个总体的样本均值为该样本的全部观察值总和除以观察值的个数2.计算公式为),,2,1(1kinxxinjijii式中：ni为第i个总体的样本观察值个数xij为第i个总体的第j个观察值27构造检验的统计量(计算全部观察值的总均值)1.全部观察值的总和除以观察值的总个数2.计算公式为kkiiikinjijnnnnnxnnxxi21111式中：28构造检验的统计量(例题分析)29构造检验的统计量(计算总误差平方和SST)1.全部观察值与总平均值的离差平方和2.反映全部观察值的离散状况3.其计算公式为ijxxkinjijixxSST112前例的计算结果：SST=(57-47.869565)2+…+(58-47.869565)2=115.929530构造检验的统计量(计算水平项平方和SSA)1.各组平均值与总平均值的离差平方和2.反映各总体的样本均值之间的差异程度，又称组间平方和3.该平方和既包括随机误差，也包括系统误差4.计算公式为kiiikinjixxnxxSSAi12112前例的计算结果：SSA=1456.608696),,2,1(kixix31构造检验的统计量(计算误差项平方和SSE)1.每个水平或组的各样本数据与其组平均值的离差平方和2.反映每个样本各观察值的离散状况，又称组内平方和3.该平方和反映的是随机误差的大小4.计算公式为kinjiijixxSSE112前例的计算结果：SSE=270832构造检验的统计量(三个平方和的关系)总离差平方和(SST)、误差项离差平方和(SSE)、水平项离差平方和(SSA)之间的关系kinjijkiiikinjijiixxxxnxx11212112SST=SSA+SSE前例的计算结果：4164.608696=1456.608696+270833构造检验的统计量(三个平方和的作用)SST：反映全部数据总的误差程度；SSE：反映随机误差的大小；SSA：反映随机误差和系统误差的大小》如果原假设成立，则表明没有系统误差，SSA除以自由度后的均方与组内平方和SSE和除以自由度后的均方差异就不会太大；》如果组间均方显著地大于组内均方，说明各水平(总体)之间的差异不仅有随机误差，还有系统误差》判断因素的水平是否对其观察值有影响，实际上就是比较组间方差与组内方差之间差异的大小34构造检验的统计量(计算均方MS)1.各误差平方和的大小与观察值的多少有关，为消除观察值多少对误差平方和大小的影响，需要将其平均，这就是均方，又称方差。2.计算方法：是用误差平方和除以相应的自由度3.三个平方和对应的自由度分别是SST的自由度为n-1，其中n为全部观察值的个数SSA的自由度为k-1，其中k为因素水平(总体)的个数SSE的自由度为n-k35构造检验的统计量(计算均方MS)1.组间方差：SSA的均方，记为MSA，计算公式为1kSSAMSA2.组内方差：SSE的均方，记为MSE，计算公式为knSSEMSE536232.48514608696.1456MSA前例计算结果：526316.1424232708MSE前例计算结果：36构造检验的统计量(计算检验统计量F)1.将MSA和MSE进行对比，即得到所需要的检验统计量F2.当H0为真时，二者的比值服从分子自由度为k-1、分母自由度为n-k的F分布，即),1(~knkFMSEMSAF406643.3526316.142536232.485F前例计算结果：随即误差+系统误差随即误差37构造检验的统计量(F分布与拒绝域)如果均值相等，F=MSA/MSE1aF分布Fa(k-1,n-k)0拒绝H0不拒绝H0Fа：显著性水平38统计决策将统计量的值F与给定的显著性水平a的临界值Fa进行比较，作出对原假设H0的决策根据给定的显著性水平a，在F分布表中查找与第一自由度df1＝k-1、第二自由度df2=n-k相应的临界值Fa若FFa，则拒绝原假设H0，表明均值之间的差异是显著的，所检验的因素对观察值有显著影响若FFa，则不拒绝原假设H0，不能认为所检验的因素对观察值有显著影响39单因素方差分析表(基本结构)40单因素方差分析(例题分析)41用Excel进行方差分析42用Excel进行方差分析第1步：选择“工具”下拉菜单第2步：选择“数据分析”选项第3步：在分析工具中选择“单因素方差分析”，然后选择“确定”第4步：当对话框出现时在“输入区域”方框内键入数据单元格区域在a方框内键入0.05（可根据需要确定）在“输出选项”中选择输出区域用Excel进行方差分析43单因素方差分析的进一步分析方差齐性分析多重比较