2022年全国甲卷数学理科高考真题答案

绝密★启用前2022年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）理科数学参考答案注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.C2.B.3.D4.B5.A6.B7.D8.B9.C10.A11.C12.A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.1114.3315..63516.##311+3三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分．17.（1）解：因为，即①，221nnSnan222nnSnnan当时，②，2n21121211nnSnnan①②得，，22112212211nnnnSnSnnannan即，12212211nnnannana即，所以，且，1212121nnnanan11nnaa2nN*n所以是以为公差的等差数列．na1（2）．7818.（1）证明：在四边形中，作于，于，ABCDDEABECFABF因为，//,1,2CDABADCDCBAB所以四边形为等腰梯形，ABCD所以，12AEBF故，，32DE223BDDEBE所以，222ADBDAB所以，ADBD因为平面，平面，PDABCDBDABCD所以，PDBD又，PDADD所以平面，BDPAD又因平面，PAPAD所以；BDPA（2）.5519.（1）；0.6（2）分布列见解析，.13EX【解析】依题可知，的可能取值为，所以，X0,10,20,30,00.50.40.80.16PX，100.50.40.80.50.60.80.50.40.20.44PX，200.50.60.80.50.40.20.50.60.20.34PX.300.50.60.20.06PX即的分布列为XX0102030P0.160.440.340.06期望.00.16100.44200.34300.0613EX20.（1）；24yx（2）.:24ABxy21.已知函数．lnxfxxaxxe（1）(,1]e（2）由题知,一个零点小于1,一个零点大于1fx不妨设121xx要证,即证121xx121xx因为,即证121,(0,1)xx121fxfx因为,即证12fxfx221fxfx即证1e1lneln0,(1,)xxxxxxxxx即证1e11e2ln02xxxxxxx下面证明时，1x1e11e0,ln02xxxxxxx设，11(),eexxgxxxx则11122111111()eee1ee1xxxxxgxxxxxxxx111e1e1eexxxxxxxxx设22e1111,ee0xxxxxxxxxxx所以,而1ex1eex所以,所以1ee0xxx()0gx所以在单调递增()gx(1,)即,所以()(1)0gxg1ee0xxxx令11()ln,12hxxxxx2222211121(1)()10222xxxhxxxxx所以在单调递减()hx(1,)即,所以；()(1)0hxh11ln02xxx综上,,所以.1e11e2ln02xxxxxxx121xx（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22.（1）；2620yxy（2）的交点坐标为，，的交点坐标为，．31,CC1,121,232,CC1,121,2[选修4-5：不等式选讲]23.（1）证明：由柯西不等式有，222222221112abcabc所以，23abc当且仅当时，取等号，21abc所以；23abc（2）证明：因为，，，，由（1）得，2bc0a0b0c243abcac即，所以，043ac1143ac由权方和不等式知，22212111293444acacacac当且仅当，即，时取等号，124ac1a12c所以113ac