2022届广东省广州市中学教学研究会高三调研考试数学试卷参考答案

数学试卷第1页共8页S3GFED2G1G1图2022届广东省广州市中学教学研究会高三调研考试数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、试室号和座位号填写在答题卡上。2．用2B铅笔将考生号及试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．⒈i为虚数单位，ii)21(A．i2B．i2C．i2D．i2⒉已知向量)3,2(a与)6,(xb共线，则xA．4B．4C．9D．9⒊一个数列，它的前4项分别是21，43，85，167，这个数列的一个通项公式是A．nnan212B．nnna212C．nnan212D．nnna212⒋已知0x，则xx4的A．最大值为2B．最小值为2C．最大值为4D．最小值为4⒌若p：)(xf是奇函数，q：)(xfy的图象经过坐标原点，则p是q的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件⒍如图1，正方形321GGSG中，E、F分别是21GG、32GG的中点，D是EF的中点，沿SE、SF、EF将正方形折成一个四面体，使1G、2G、3G重合，重合后的点记为G，则在四面体EFGS中A．SG平面EFGB．SD平面EFGC．GF平面SEFD．GD平面SEF⒎双曲线C以椭圆1121622yx的焦点为顶点，以椭圆的顶数学试卷第2页共8页点为焦点，则双曲线C的方程为A．1121622yxB．112422yxC．141222yxD．141622yx⒏一个质量为kg3的物体作直线运动，设运动距离s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数21)(tts表示，并且物体的动能221mvEk．则物体开始运动后第s5时的动能是A．150B．75C．275D．245二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。9．已知双曲线E的中心在原点，对称轴为坐标轴，渐近线方程为2yx，则双曲线E的离心率为A．52B．5C．533D．35510．如图是函数()sin()fxAx(0)的部分图象，则(第10题图)A．1()2sin()24fxxB．1()2sin()22fxxC．1()2sin()22fxxD．1()2cos()2fxx11．已知0ab，则A．222ababB．222ababC．()0aabD．2baab12．已知随机变量X的取值为不大于()nnN的非负整数，它的概率分布列为X0123…np0p1p2p3p…np其中(0,1,2,3,,)ipin满足[0,1]ip，且0121npppp．定义由X生数学试卷第3页共8页成的函数230123()ininfxppxpxpxpxpx，()gx为函数()fx的导函数，()EX为随机变量X的期望．现有一枚质地均匀的正四面体型骰子，四个面分别标有1，2，3，4个点数，这枚骰子连续抛掷两次，向下点数之和为X，此时由X生成的函数为1()fx，则A．()(2)EXgB．115(2)2fC．()(1)EXgD．1225(2)4f三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13.某校在对学生是否喜欢数学的抽样调查中，随机抽取了300名学生，相关的数据如下表所示：由表中数据直观分析，该校学生的性别与是否喜欢数学之间________关系（填“有”或“无”）．14.命题p：每个指数函数都是单调函数，则它的否定p：________________．15.若a、0b，则abba2；若a、b、0c，则33abccba；若a、b、c、0d，则44abcddcba。猜想：若1a、2a、3a、……、0na，则________________．16.如图1，平行六面体1111DCBAABCD中，AC与BD相交于M，设aAB、bAD、1cAA，则⑴1MB（用a、b、c表示）；⑵若a、b、c三向量是两两成o60角的单位向量，则||1MB．喜欢数学课程不喜欢数学课程总计男3785122女35143178总计72228300数学试卷第4页共8页ABCD1A1B1C图4三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17.（本小题满分10分）在ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c．⑴若AAcos2)6sin(，求A的值；⑵若31cosA，cb3，求证：ABC是直角三角形．18.（本小题满分12分）如图4，在直三棱柱111CBAABC中，090ABC，2AB，41CCBC，D是1AA的中点．⑴求四棱锥CDCAB111的体积；⑵求证：DB1平面BCD．19.（本小题满分12分）已知数列}{na（Nn）是递增的等比数列，且531aa，431aa．⑴求数列na的通项公式；⑵若1log2nnab，且45321bbbbbm，求正整数m的最大值．数学试卷第5页共8页0.070.060.050.040.030.020.017580859095100分数O频率组距图520.（本小题满分12分）某次学业水平考试有1000人参加，其成绩的频率分布直方图如图5所示，规定85分及其以上为优秀．⑴若成绩在)80,75[区间有50人，求成绩为优秀的学生人数；⑵用分层抽样的方法从成绩在)85,80[和)95,90[区间的学生中抽取5人进行研究，问应抽取多少名成绩在)95,90[区间的学生？⑶从⑵所抽取的5人中随机抽取2人，求成绩在)85,80[和)95,90[区间的学生恰好各有1人的概率．21.（本小题满分12分）已知椭圆C：)0(12222babyax的一个顶点为)2,0(A，离心率36e．⑴求椭圆C的方程；⑵若B是A关于坐标原点的对称点，试探究在椭圆C是否存在点P，使ABP为等腰三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）．22.（本小题满分12分）已知函数2)21(ln)(xaxxf，Ra是常数．⑴当1a时，求函数)(xf在区间],1[e上的最大值和最小值；⑵若在区间),1(上，函数)(xf的图象恒在直线axy2下方，求实数a的取值范围．数学试卷第6页共8页2022届广东省广州市中学教学研究会高三调研考试评分参考一、单选题CABDDABA二、多选题ABBCDACDCD二、填空题13.有14.存在一个指数函数，它不是单调函数（等价表达可相应给分）15.nnnaaaanaaaa32132116.2121cba（2分），25（3分）三、解答题17.⑴由AAcos2)6sin(得AAAcos26sincos6cossin……2分，所以AAAcos221cos23sin……3分，AAcos23sin23，3tanA……4分，因为A0，所以3A……6分⑵由余弦定理得Abccbacos2222……8分，28c……9分，因为22229bcca……11分，ABC是直角三角形……12分18.⑴DABBCCBAABCCDCABVVV1111111……1分，BCSCCBCABDABB131211……3分，24)42(213144221……5分，8……6分（或：hSVCDCACDCAB1111131……1分，hCACCDA1111)(2131……2分，111111)(2131CBBACCDA……3分，42)24(2131……5分，8……6分）⑵111CBAABC是直三棱柱，所以ABCBB底面1，BCBB1，又090ABC，所以ABBC，因为BABBB1，所以11AABBBC面……7分，DB111AABB面，所以BCDB1……8分。数学试卷第7页共8页在ABD中，090BAD，2ADAB，所以045ADB，同理，01145DBA……11分，所以0190DBB，DBDB1……9分。因为BDBBC，所以DB1平面BCD……10分。19.⑴由531aa，431aa解得11a，43a或41a，13a……1分，因为}{na递增，所以11a，43a……2分。}{na是等比数列，设公比为q，则213qaa……3分，即214q，解得2q……4分，因为}{na递增，所以2q……5分，所以数列na的通项公式为1112nnnqaa……6分。⑵121log2nabnn……8分，23212)12(1mmmbbbbm……10分，8945b……11分，45321bbbbbm即892m，89m，正整数m的最大值为9maxm……12分。20.⑴依题意，成绩为优秀的学生为5001.002.006.007.0……2分，750（人）……3分⑵应抽取成绩在)95,90[区间的学生为506.004.006.0……5分，3（人）……6分⑶记⑵所抽取的成绩在)95,90[区间的学生为1A、2A、3A，成绩在)85,80[区间的学生为1B、2B，从中随机抽取2人，不同的取法有21AA、……、21BB（不重不漏地列举）……9分，共10种……10分。其中，两区间的学生恰好各有1人的取法有（不重不漏地列举）……11分，共6种。因为每个取法的可能性相等，所以所求概率53106P……12分，21.⑴依题意，2b……1分，解22236bacace……3分，得122a……4分，所以椭圆C的方程为141222yx……5分⑵依题意)2,0(B是椭圆C的下顶点……6分，以BA为底边的等腰三角形ABP有两个，此时P为椭圆C的左右端点……8分；BA是椭圆C的短轴，以A数学试卷第8页共8页为圆心、BA为半径的圆与椭圆C相交（不含B点）于1P、2P，1ABP、2ABP都是等腰三角形……10分；以B为圆心、BA为半径的圆与椭圆C相交（不含A点）于3P、4P，3ABP、4ABP都是等腰三角形……11分；设椭圆C的左右端点分别为M、N，则ABAM4，所以1P、2P与3P、4P分别与M、N重合，所以一共存在两个点P，使ABP为等腰三角形……12分。22.⑴1a时，221ln)(xxxf在区间],1[e上单调增加……2分，所以)(xf在区间],1[e上的最大值21)(2eefM……3分，最小值21)1(fm……4分。⑵记axxaxaxxfxF2)21(ln2)()(2，),1(xaxaxxF2)12(1)(/……5分，由0)(/xF得012)12(2axxa若21a，则011)(/xxF……6分，xxxFln)(单调递减，01)1()(FxF……7分，函数)(xf的图象恒在直线axy2下方……8分若21a，则021a，当)1(124aax时，02)21(ln)(2axxaxxF，函数)(xf的图象不恒在直线axy2下方若21a，0]1)12)[(1()(/xaxxF……1