高考必备公式结论方法细节二三角函数与平面向量检测

1□高考必备公式、结论、方法、细节二：三角函数与平面向量一、必备公式1．三角函数(1)同角三角函数①平方关系：(又叫1字替换式)；②商数关系：(又叫切弦互化式)；(2)和差倍角关系①cos(α±β)＝________；②sin(α±β)＝________；③tan(α±β)＝；④sin2α＝；⑤cos2α＝＝＝；⑥tan2α＝；(3)辅助角公式：，其中，，，．2．正余弦定理(1)正弦定理：asinA＝＝csinC＝2R，其中R为；注意：正弦定理变式与性质：①边化正弦：a＝2RsinA，b＝，c＝2RsinC；②正弦化边：sinA＝a2R，sinB＝，sinC＝c2R；③a∶b∶c＝；④a＋b＋csinA＋sinB＋sinC＝；(2)余弦定理：①a2＝；②b2＝c2＋a2－2cacos_B；③c2＝a2＋b2－2abcos_C注意：变式：①cosA＝；②cosB＝c2＋a2－b22ac；③cosC＝a2＋b2－c22ab(3)三角形面积：①S△ABC＝12absinC＝12bcsinA＝＝abc4R②S△ABC＝12()·r(r是切圆的半径)3．平面向量：(1)两点间向量表示：若A(x1，y1)、B(x2，y2)，则AB→＝；(2)向量运算公式：若a＝(x1，y1)、b＝(x2，y2)，则：2①a±b＝；②λa＝；③a·b＝＝；④|a|＝＝；⑤cos〈a，b〉＝＝；⑥a在b方向上的投影为：＝；(3)平行与垂直定理：①共线定理：a∥b⇔______⇔___；②垂直定理：a⊥b⇔⇔___.二、必备结论1．三角函数符号判断口诀：，三切四余弦；2．诱导公式：①口诀：，符号看象限；②原则：、大化小、小化锐；3．函数y＝tanx的定义域是：{x|x∈R且，k∈Z}4．形如函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像及性质(1)图像变换：①相位变换：y＝sinx→y＝sin(x＋φ)的规则是：左加(φ＞0)或右减(φ＜0)个单位；②周期变换：y＝sin(x＋φ)→y＝sin(ωx＋φ)的规则是：纵坐标不变，将横坐标缩小(伸长)为原来的倍；③振幅变换：y＝sin(ωx＋φ)→y＝Asin(ωx＋φ)的规则是：坐标不变，将坐标缩小(伸长)为原来的|A|倍；注意：y＝sinωx→y＝sin(ωx＋φ)变换规则是：先提取后者x的系数ω，然后在左(右)平移个单位；(2)基本性质：①定义域：解三角函数不等式用“”②值域：；③单调性：(3)周期公式：①y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acos(ωx＋φ))的最小正周期T＝；②y＝|Asin(ωx＋φ)|的周期T＝.(3)对称性：换元思想，将y＝Asin(ωx＋φ)中的“ωx＋φ”看成y＝sinx中的“x”，采用整体代入求解．①对称轴：最值处，令sin(ωx＋φ)＝，则ωx＋φ＝(k∈Z)，可求得对称轴方程；②对称中心：零点处，令sin(ωx＋φ)＝，ωx＋φ＝(k∈Z)，可求得对称中心的横坐标；(4)奇偶性：利用“反向诱导法”理解掌握①若y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R是奇函数⇔φ＝(k∈Z)；若y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R是偶函数⇔φ＝(k∈Z)；②若y＝Acos(ωx＋φ)，x∈R是奇函数⇔φ＝(k∈Z)；若y＝Acos(ωx＋φ)，x∈R是偶函数⇔φ＝(k∈Z)；③函数y＝Atan(ωx＋φ)，x∈R是奇函数⇔φ＝(k∈Z)．35．平面向量：①是与a同方向的单位向量．②共线第二定理：若A、B、C三点⇔OC→＝xOA→＋yOB→且x＋y＝．6．平面向量与三角形的心：①OA→＋OB→＋OC→＝0⇔点O为△ABC的(交点)；②OA→·OB→＝OB→·OC→＝OC→·OA→⇔点O是△ABC的(交点)③若动点P满足OP→＝OA→＋λAB→|AB→|＋AC→|AC→|，则点P的轨迹一定通过△ABC的(交点)．7．三角形中：①sin(A＋B)＝，cos(A＋B)＝；②sinA＋B2＝，cosA＋B2＝；③三角形中，任何一个角的值恒大于0；④ab⇔AB⇔sinAsinB⇔cosAcosB．三、必备方法1．三角函数求值、化简时，常用方法有：(1)化简的基本原则是：①切化弦：公式tanx＝sinxcosx；②降次数：公式cos2α＝，sin2α＝；(2)和积转换法：运用公式(sinθ±cosθ)2＝±2sinθcosθ解决sinθ±cosθ与sinθcosθ关系的变形、转化；(3)巧用“1”的变换：1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝sin2θ1＋1tan2θ＝tanπ4；(4)整角转化：运用相关角的互补、互余等特殊关系，如2α＝()＋(α－β)，α＝(α＋β)－，β＝α＋β2－α－β2等2．换元法：即整体思想，对于函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t＝，将其转化为研究y＝sint的性质．3．确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)的步骤和方法：4(1)观察确定A，b：确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，b＝M＋m2.(2)通过公式求ω：即ω＝2πT.(3)特殊点代入求φ：通常代入“点”或“点”；四、必备细节1．角度制与弧度制不可使用；2．利用平方关系求值时，开方时要根据角的象限或范围，判断后，正确取舍．3．函数y＝Asin(ωx＋φ)的值域求解时，由内向外，先求t＝的范围，再结合y＝sint的图像；4．由函数y＝sinx的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象，如先伸缩，再平移时，要把x前面的提取出来．5．平面向量：(1)相等向量具有传递性，但平行向量不一定具有传递性．(2)平行向量所在直线不一定平行．(3)向量平移后，起终点坐标，但向量坐标．2．两个向量的夹角为，则有a·b0，反之不成立；两个向量夹角为钝角，则有0，反之不成立．5□高考必备公式、结论、方法、细节二：三角函数与平面向量一、必备公式1．三角函数(1)同角三角函数①平方关系：sin2α＋cos2α＝1(又叫1字替换式)；②商数关系：sinαcosα＝tanα(又叫切弦互化式)；(2)和差倍角关系①cos(α±β)＝_____cosαcosβsinαsinβ___；②sin(α±β)＝_____sinαcosβ±cosαsinβ____；③tan(α±β)＝tanα±tanβ1tanαtanβ；④sin2α＝____2sinαcosα__；⑤cos2α＝cos2α－sin2α＝1－2sin2α＝2cos2α－1；⑥tan2α＝________2tanα1－tan2α__________；(3)辅助角公式：asinx＋bcosx＝a2＋b2sin(x＋φ)，其中，tanφ＝ba，|φ|＜π2，a＞0．2．正余弦定理(1)正弦定理：asinA＝bsinB＝csinC＝2R，其中R为外接圆半径；注意：正弦定理变式与性质：①边化正弦：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；②正弦化边：sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R；③a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C；④a＋b＋csinA＋sinB＋sinC＝2R；(2)余弦定理：①a2＝b2＋c2－2bccos_A；②b2＝c2＋a2－2cacos_B；③c2＝a2＋b2－2abcos_C注意：变式：①cosA＝b2＋c2－a22bc；②cosB＝c2＋a2－b22ac；③cosC＝a2＋b2－c22ab(3)三角形面积：①S△ABC＝12absinC＝12bcsinA＝12acsinB＝abc4R②S△ABC＝12(a＋b＋c)·r(r是切圆的半径)3．平面向量：6(1)两点间向量表示：若A(x1，y1)、B(x2，y2)，则AB→＝(x2－x1，y2－y1)；(2)向量运算公式：若a＝(x1，y1)、b＝(x2，y2)，则：①a±b＝(x1±x2，y1±y2)；②λa＝(λx1，λy1)；③a·b＝|a||b|cosθ＝x1x2＋y1y2；④|a|＝a2＝x21＋y21；⑤cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22；⑥a在b方向上的投影为：|a|cosθ＝a·b|b|；(3)平行与垂直定理：①共线定理：a∥b⇔___a＝λb___⇔___x1y2＝x2y1_；②垂直定理：a⊥b⇔___a·b＝0___⇔__x1x2＋y1y2＝0_.二、必备结论1．三角函数符号判断口诀：一正二正弦，三切四余弦2．诱导公式：①口诀：奇变偶不变，符号看象限；②原则：负化正、大化小、小化锐；3．函数y＝tanx的定义域是：{x|x∈R且x≠π2＋kπ，k∈Z}4．形如函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像及性质(1)图像变换：①相位变换：y＝sinx→y＝sin(x＋φ)的规则是：左加(φ＞0)或右减(φ＜0)|φ|个单位；②周期变换：y＝sin(x＋φ)→y＝sin(ωx＋φ)的规则是：纵坐标不变，将横坐标缩小(伸长)为原来的|1ω|倍；③振幅变换：y＝sin(ωx＋φ)→y＝Asin(ωx＋φ)的规则是：横坐标不变，将纵坐标缩小(伸长)为原来的|A|倍；注意：y＝sinωx→y＝sin(ωx＋φ)变换规则是：先提取后者x的系数ω，然后在左(右)平移|φω|个单位；(2)基本性质：①定义域：解三角函数不等式用“数形结合”②值域：由内向外③单调性：同增异减(3)周期公式：①y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acos(ωx＋φ))的最小正周期T＝2π|ω|②y＝|Asin(ωx＋φ)|的周期T＝π|ω|.(3)对称性：换元思想，将y＝Asin(ωx＋φ)中的“ωx＋φ”看成y＝sinx中的“x”，采用整体代入求解．①对称轴：最值处，令sin(ωx＋φ)＝1，则ωx＋φ＝kπ＋π2(k∈Z)，可求得对称轴方程；②对称中心：零点处，令sin(ωx＋φ)＝0，ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，可求得对称中心的横坐标；7(4)奇偶性：利用“反向诱导法”理解掌握①函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R是奇函数⇔φ＝kπ(k∈Z)；函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R是偶函数⇔φ＝kπ＋π2(k∈Z)；②函数y＝Acos(ωx＋φ)，x∈R是奇函数⇔φ＝kπ＋π2(k∈Z)；函数y＝Acos(ωx＋φ)，x∈R是偶函数⇔φ＝kπ(k∈Z)；③函数y＝Atan(ωx＋φ)，x∈R是奇函数⇔φ＝kπ(k∈Z)．5．平面向量：①a|a|是与a同方向的单位向量．②共线第二定理：若A、B、C三点共线⇔OC→＝xOA→＋yOB→且x＋y＝1．6．平面向量与三角形的心：①OA→＋OB→＋OC→＝0⇔点O为△ABC的重心(中线交点)；②OA→·OB→＝OB→·OC→＝OC→·OA→⇔点O是△ABC的垂心(高线交点)③若动点P满足OP→＝OA→＋λAB→|AB→|＋AC→|AC→|，则点P的轨迹一定通过△ABC的内心(角平分线交点)．7．三角形中：①sin(A＋B)＝sinC，cos(A＋B)＝－cosC；②sinA＋B2＝cosC2，cosA＋B2＝sinC2；③三角形中，任何一个角的正弦值恒大于0；④ab⇔AB⇔sinAsinB⇔cosA＜cosB．三、必备方法1．三角函数求值、化简时，常用方法有：(1)化简的基本原则是：①切化弦：公式tanx＝sinxcosx；②降次数：公式cos2α＝1＋cos2α2，sin2α＝1－cos2α2；(2)和积转换法：运用公式(sinθ±cosθ)2＝1±2sinθcosθ解决sinθ±cosθ与sinθcosθ关系的变形、转化；(3)巧用“1”的变换：1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝sin2θ1＋1tan2θ＝tanπ4；(4)整角转化：运用相关角的互补、互余等特殊关系，如2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝α＋β2－α－β2等82．换元法：即整体思想，对于函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t＝ωx＋φ，将其转化为研究y＝sint的性质．3．