2022年新高考全国卷数学高考真题原版答案

2022年普通高等学校招生全国统一考试（新高考全国Ⅰ卷）数学本试卷共4页，22小题，满分150分。考试用时120分钟。注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若集合，则（）{4},{31}MxxNxx∣∣MNA．B．C．D．{02}xx123xx{316}xx1163xx2．若，则（）i(1)1zzzA．B．C．1D．2213．在中，点D在边AB上，．记，则（）ABC△2BDDACACD，mnCBA．B．C．D．32mn23mn32mn23mn4．南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔时，相应水面的面积为；水位为海拔时，相应1485m．21400km．1575m．水面的面积为，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位21800km．从海拔上升到时，增加的水量约为（）（）1485m．1575m．72.65A．B．C．D．931.010m931.210m931.410m931.610m5．从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（）A．B．C．D．161312236．记函数的最小正周期为T．若，且π()sin(0)4fxxb2ππ3T的图像关于点中心对称，则（）()yfx3π,22π2fA．1B．C．D．332527．设，则（）0.110.1e,ln0.99abc，A．B．C．D．abccbacabacb8．已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且36π，则该正四棱锥体积的取值范围是（）333lA．B．C．D．8118,42781,442764,43[18,27]二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．已知正方体，则（）1111ABCDABCDA．直线与所成的角为B．直线与所成的角为1BC1DA901BC1CA90C．直线与平面所成的角为D．直线与平面ABCD所成的角为1BC11BBDD451BC4510．已知函数，则（）3()1fxxxA．有两个极值点B．有三个零点()fx()fxC．点是曲线的对称中心D．直线是曲线的切线(0,1)()yfx2yx()yfx11．已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线(1,1)A2:2(0)Cxpyp(0,1)B交C于P，Q两点，则（）A．C的准线为B．直线AB与C相切1yC．D．2|||||OPOQOA2||||||BPBQBA12.已知函数及其导函数的定义域均为，记.若，()fx()fxR()()gxfx322fx均为偶函数，则（）(2)gxA．B．C．D．(0)0f102g(1)(4)ff(1)(2)gg三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．的展开式中的系数为________________（用数字作答）．81()yxyx26xy14．写出与圆和都相切的一条直线的方程221xy22(3)(4)16xy________________．15．若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是()exyxa________________．16．已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率2222:1(0)xyCabab1F2F为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是121F2AF||6DEADEA________________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．nSna11,nnSaa13（1）求的通项公式；na（2）证明：．121112naaa18．（12分）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．ABCAcossin21sin1cos2ABAB（1）若，求B；23C（2）求的最小值．222abc19．（12分）如图，直三棱柱的体积为4，的面积为．111ABCABC1ABCA22（1）求A到平面的距离；1ABC（2）设D为的中点，，平面平面，求二面角1AC1AAAB1ABC11ABBA的正弦值．ABDC20．（12分）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：不够良好良好病例组4060对照组1090（1）能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？（2）从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”，与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风(|)(|)PBAPBA(|)(|)PBAPBA险程度的一项度量指标，记该指标为R．（ⅰ）证明：；(|)(|)(|)(|)PABPABRPABPAB（ⅱ）利用该调查数据，给出的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R的(|),(|)PABPAB估计值．附：，22()()()()()nadbcKabcdacbd2PKk0.0500.0100.001k3.8416.63510.82821．（12分）已知点在双曲线上，直线l交C于P，Q两点，直线(2,1)A2222:1(1)1xyCaaa的斜率之和为0．,APAQ（1）求l的斜率；（2）若，求的面积．tan22PAQPAQ△22．（12分）已知函数和有相同的最小值．()exfxax()lngxaxx（1）求a；（2）证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，yb()yfx()ygx并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．绝密☆启用前试卷类型：A2022年普通高等学校招生全国统一考试（新高考全国Ⅰ卷）数学参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.D2.D3.B4.C5.D6.A7.C8.C二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.ABD10.AC11.BCD12.BC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.-2814.或或3544yx7252424yx1x15.,40,16.13四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（1）12nnna（2）12112,11nannnn∴12111naaa1111112121222311nnn18.（1）；π6（2）．42519.（1）2（2）3220.（1）由已知，222()200(40906010)=24()()()()50150100100nadbcKabcdacbd又，，2(6.635)=0.01PK246.635所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.（2）（i）因为，(|)(|)()()()()=(|)(|)()()()()PBAPBAPABPAPABPARPBAPBAPAPABPAPAB所以()()()()()()()()PABPBPABPBRPBPABPBPAB所以；(|)(|)(|)(|)PABPABRPABPAB(ii)；6R21.（1）；1（2）．162922.（1）1a（2）由（1）可得和的最小值为.e()xxfx()lngxxx11ln11ln11当时，考虑的解的个数、的解的个数.1bexxblnxxb设，，exSxxbe1xSx当时，，当时，，0x0Sx0x0Sx故在上为减函数，在上为增函数，Sx,00,所以，min010SxSb而，，e0bSbe2bSbb设，其中，则，e2bubb1be20bub故在上为增函数，故，ub1,1e20ubu故，故有两个不同的零点，即的解的个数为2.0SbexSxxbexxb设，，lnTxxxb1xTxx当时，，当时，，01x()0Tx¢1x0Tx故在上为减函数，在上为增函数，Tx()0,11,所以，min110TxTb而，，ee0bbTee20bbTb有两个不同的零点即的解的个数为2.lnTxxxblnxxb当，由（1）讨论可得、仅有一个零点，1blnxxbexxb当时，由（1）讨论可得、均无零点，1blnxxbexxb故若存在直线与曲线、有三个不同的交点，ybyfx()ygx=则.1b设，其中，故，()eln2xhxxx0x1()e2xhxx设，，则，e1xsxx0xe10xsx故在上为增函数，故即，sx0,00sxse1xx所以，所以在上为增函数，1()1210hxxx()hx0,而，，(1)e20h31e333122()e3e30eeeh故在上有且只有一个零点，且：hx0,0x0311ex当时，即即，00xx0hxelnxxxxfxgx当时，即即，0xx0hxelnxxxxfxgx因此若存在直线与曲线、有三个不同的交点，ybyfx()ygx=故，001bfxgx此时有两个不同的零点，exxb1010,(0)xxxx此时有两个不同的零点，lnxxb0404,(01)xxxx故，，，11exxb00exxb44ln0xxb00ln0xxb所以即即，44lnxbx44exbx44e0xbxbb故为方程的解，同理也为方程的解4xbexxb0xbexxb又可化为即即，11exxb11exxb11ln0xxb11ln0xbxbb故为方程的解，同理也为方程的解，1xblnxxb0xblnxxb所以，而，1004,,xxxbxb1b故即.0410xxbxxb1402