2022年全国甲卷数学理科高考真题原卷

2022年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若，则（）13iz1zzzA．B．C．D．13i13i13i3313i332．某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：则（）A．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%B．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%C．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差3．设全集，集合，则{2,1,0,1,2,3}U2{1,2},430ABxxx∣（）()UABðA．B．C．D．{1,3}{0,3}{2,1}{2,0}4．如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为（）A．8B．12C．16D．205．函数在区间的图像大致为（）33cosxxyxππ,22A．B．C．D．6．当时，函数取得最大值，则（）1x()lnbfxaxx2(2)fA．B．C．D．1112127．在长方体中，已知与平面和平面所成的角均为1111ABCDABCD1BDABCD11AABB，则（）30A．B．AB与平面所成的角为2ABAD11ABCD30C．D．与平面所成的角为1ACCB1BD11BBCC458．沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在上，AABAAB．“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：．当CDABAAB2CDsABOA时，（）2,60OAAOBsA．B．C．D．1133211432933294329．甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和2πS甲，体积分别为和．若，则（）S乙V甲V乙=2SS甲乙=VV甲乙A．B．C．D．52210510410．椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对2222:1(0)xyCabab称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（）,APAQ14A．B．C．D．3222121311．设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范π()sin3fxx(0,π)围是（）A．B．C．D．513,36519,36138,631319,6612．已知，则（）3111,cos,4sin3244abcA．B．C．D．cbabacabcacb二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．设向量，的夹角的余弦值为，且，则_________．ab13||1,||3ab(2)abb14．若双曲线的渐近线与圆相切，则2221(0)xymm22430xyy_________．m15．从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为________．16．已知中，点D在边BC上，．当取ABC△120,2,2ADBADCDBDACAB得最小值时，________．BD三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17．（12分）记为数列的前n项和．已知．nSna221nnSnan（1）证明：是等差数列；na（2）若成等比数列，求的最小值．479,,aaanS18．（12分）在四棱锥中，底面PABCDPD．,,1,2,3ABCDCDABADDCCBABDP∥（1）证明：；BDPA（2）求PD与平面所成的角的正弦值．PAB19．（12分）甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．（1）求甲学校获得冠军的概率；（2）用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．20．（12分）设抛物线的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两2:2(0)Cypxp,0Dp点．当直线MD垂直于x轴时，．3MF（1）求C的方程；（2）设直线与C的另一个交点分别为A，B，记直线的倾斜角分别为,MDND,MNAB．当取得最大值时，求直线AB的方程．,21．（12分）已知函数．lenxfxxxax（I）若，求a的取值范围；0fx（2）证明：若有两个零点，则．fx12,xx121xx（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（t为参数），曲线的参数方程xOy1C26txyt，2C为（s为参数）．26sxys，（1）写出的普通方程；1C（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为3C，求与交点的直角坐标，及与交点的直角坐标．2cossin03C1C3C2C23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知a，b，c均为正数，且，证明：22243abc（1）；23abc（2）若，则．2bc113ac绝密★启用前2022年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）理科数学参考答案注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.C2.B.3.D4.B5.A6.B7.D8.B9.C10.A11.C12.A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.1114.3315..63516.##311+3三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分．17.（1）解：因为，即①，221nnSnan222nnSnnan当时，②，2n21121211nnSnnan①②得，，22112212211nnnnSnSnnannan即，12212211nnnannana即，所以，且，1212121nnnanan11nnaa2nN*n所以是以为公差的等差数列．na1（2）．7818.（1）证明：在四边形中，作于，于，ABCDDEABECFABF因为，//,1,2CDABADCDCBAB所以四边形为等腰梯形，ABCD所以，12AEBF故，，32DE223BDDEBE所以，222ADBDAB所以，ADBD因为平面，平面，PDABCDBDABCD所以，PDBD又，PDADD所以平面，BDPAD又因平面，PAPAD所以；BDPA（2）.5519.（1）；0.6（2）分布列见解析，.13EX【解析】依题可知，的可能取值为，所以，X0,10,20,30,00.50.40.80.16PX，100.50.40.80.50.60.80.50.40.20.44PX，200.50.60.80.50.40.20.50.60.20.34PX.300.50.60.20.06PX即的分布列为XX0102030P0.160.440.340.06期望.00.16100.44200.34300.0613EX20.（1）；24yx（2）.:24ABxy21.已知函数．lnxfxxaxxe（1）(,1]e（2）由题知,一个零点小于1,一个零点大于1fx不妨设121xx要证,即证121xx121xx因为,即证121,(0,1)xx121fxfx因为,即证12fxfx221fxfx即证1e1lneln0,(1,)xxxxxxxxx即证1e11e2ln02xxxxxxx下面证明时，1x1e11e0,ln02xxxxxxx设，11(),eexxgxxxx则11122111111()eee1ee1xxxxxgxxxxxxxx111e1e1eexxxxxxxxx设22e1111,ee0xxxxxxxxxxx所以,而1ex1eex所以,所以1ee0xxx()0gx所以在单调递增()gx(1,)即,所以()(1)0gxg1ee0xxxx令11()ln,12hxxxxx2222211121(1)()10222xxxhxxxxx所以在单调递减()hx(1,)即,所以；()(1)0hxh11ln02xxx综上,,所以.1e11e2ln02xxxxxxx121xx（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22.（1）；2620yxy（2）的交点坐标为，，的交点坐标为，．31,CC1,121,232,CC1,121,2[选修4-5：不等式选讲]23.（1）证明：由柯西不等式有，222222221112abcabc所以，23abc当且仅当时，取等号，21abc所以；23abc（2）证明：因为，，，，由（1）得，2bc0a0b0c243abcac即，所以，043ac1143ac由权方和不等式知，22212111293444acacacac当且仅当，即，时取等号，124ac1a12c所以113ac